Vlakke figuren

Vlakke figuren > Bijzondere lijnen

Overzicht

123456Bijzondere lijnen

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1

Een middelloodlijn van een lijnstuk is lijn die loodrecht op dat lijnstuk staat en door het midden ervan gaat.

Teken de middelloodlijnen in een andere driehoek.

Het middelpunt is $M$ .

Opgave 1

Je mag zelf weten hoe je driehoek er uit komt te zien.

Ja.

Doen, zet de passerpunt in `D` en de potloodpunt in bijvoorbeeld `A` .
De andere twee hoekpunten moeten precies op de cirkel liggen.

Opgave 2

Je mag zelf weten hoe je driehoek er uit komt te zien.

Ja.

Het middelpunt is het snijpunt van de drie deellijnen. De straal is een loodlijnstuk vanuit dit snijpunt naar één van de zijden.

Opgave 3

Maak er wat moois van.

Ja.

Opgave 4

Neem bijvoorbeeld driehoek $A B C$ met $A B = 8$ cm, $A C = 7$ cm en $B C = 6$ cm.

Doen, zie het voorbeeld.

Ja, als het goed is wel.

Opgave 5

Neem bijvoorbeeld driehoek $A B C$ met $A B = 8$ cm, $A C = 5$ cm en $B C = 4$ cm.

Doen, twee hoogtelijnen liggen buiten de driehoek.

Ja, als je ze langer maakt.

Opgave 6

Teken de drie deellijnen door de hoeken op te meten en middendoor te delen. De drie bissectrices gaan door punt $D$ . Zet de stalen passerpunt in $D$ en de potloodpunt op een zijde in een punt dat zo dicht mogelijk bij $D$ ligt. Omcirkelen en klaar...

Opgave 7

Omdat ze `/_C` gemeenschappelijk hebben en $C F = \frac{1}{2} \cdot C A$ en $C E = \frac{1}{2} \cdot C B$ .

De vergrotingsfactor van $Δ A B C$ naar $Δ F E C$ bedraagt $\frac{1}{2}$ . Dus is $E F = \frac{1}{2} \cdot A B$ .
Verder volgt uit de gelijkvormigheid bij a dat `/_BAC = /_EFC` , dus $E F / / A B$ .

Omdat $E F / / A B$ is `/_BAZ = /_FEZ` , `/_ABZ = /_EFZ` (Z-hoeken). En verder is `/_AZB = /_EZF` (X-hoeken). Beide driehoeken hebben dus gelijke overeenkomstige hoeken.

Die volgt uit $E F = \frac{1}{2} \cdot A B$ , zie b.

Opgave 8

Maak eerst een schets van de situatie. De zwaartelijnen noem je $A E$ , $B F$ en $C D$ .

Omdat de driehoek gelijkbenig is, is de zwaartelijn $A E$ ook hoogtelijn, dus kun je de stelling van Pythagoras gebruiken: $A E^{2} + 2^{2} = 6^{2}$ . Daarom is $A E = \sqrt{32} = 4 \sqrt{2}$ .
Omdat $A Z : Z E = 2 : 1$ is `AZ = 2/3*4sqrt(2) = 8/3 sqrt(2)~~3,77` .

Opgave 9

Eigen antwoord. Zorg er voor dat $A D$ loodrecht op $B C$ staat.

`ΔABD ~= ΔACD`

Uit de congruentie volgt dat `/_BAD = /_CAD` en dat $B D = D C$ . Punt $D$ is dus het midden van zijde $B C$ .

Opgave 10

Doen.

Omdat `/_P = /_P` en `/_S = /_U = 90^@` .

Met de stelling van Pythagoras is $R U^{2} + 2^{2} = 8^{2}$ en dus $R U = \sqrt{8^{2} - 2^{2}} = \sqrt{60} = 2 \sqrt{15}$ .

Vanwege de gelijkvormigheid (maak een verhoudingstabel) bij b is $Q S = \frac{1}{2} \cdot R U = \sqrt{15}$ . En de hoogtelijn $P T$ is even lang.

Opgave 11

Teken zo'n driehoek. De zwaartelijnen zijn ook middelloodlijnen en deellijnen en hoogtelijnen. Het snijpunt $M$ van de middelloodlijnen is ook snijpunt van de deellijnen en dus middelpunt van zowel de omgeschreven cirel als de ingeschreven cirkel. De omgeschreven cirkel gaat door de hoekpunten van de driehoek, de ingeschreven cirkel door de middens van de zijden.

Bij de hoogtelijnen hoort een hoogte van `sqrt(6^2 - 3^2) = sqrt(27)` .

De straal van de omgeschreven cirkel is de lengte van (bijvoorbeeld) `MC` .
Elke middelloodlijn is ook zwaartelijn en wordt daarom door `M` verdeeld in de verhouding `2:1` . Dus `MC = 2/3 * sqrt(27) = 2sqrt(3)` .

De straal van de ingeschreven cirkel is dan `1/3 * sqrt(27) = sqrt(3)` .

Opgave 12

Doen, teken de zwaartelijnen er in.

Omdat $Δ P Q T$ rechthoekig is, kun je de stelling van Pythagoras toepassen. Dus $Q T = 5$ cm. Dat betekent dat $Q R = 10$ cm. Met behulp van de stelling van Pythagoras vind je dan $R U = \sqrt{244}$ .

Omdat $R Z : R U = 2 : 1$ is $R U = \frac{1}{3} \sqrt{244}$ .

Opgave 13

Neem drie punten op de rand van het ronde bord. Teken twee middelloodlijnen van twee van die punten en bepaal het snijpunt daarvan. De cirkel met dat snijpunt als middelpunt en door één van de drie punten gaat door alle drie deze punten en vormt de rand van het bord.

Opgave A1

Maak een driehoek van karton en teken de drie zwaartelijnen. Als het goed is gaan ze ook nu door één punt.

Doen, hopelijk lukt het allemaal. Je kunt aan alle drie de punten van de driehoek weer andere (even zware) kleinere driehoeken ophangen en zo een mobile maken.

Opgave A2

De oppervlakte van een driehoek is de helft van het product van basis en hoogte. De oppervlakte van $Δ A B C$ is dus $\frac{1}{2} \cdot A B \cdot C E$ .

De oppervlakte van $Δ A D C$ is $\frac{1}{2} \cdot A D \cdot C E$ .

De oppervlakte van $Δ D B C$ is $\frac{1}{2} \cdot D B \cdot C E$ .

Omdat $C D$ een zwaartelijn is, is $A D = D B$ . En dus zijn deze oppervlaktes gelijk.

Steeds kun je op elke zijde twee driehoeken naast elkaar maken met dezelfde basis (de helft van die zijde) en dezelfde hoogte (de afstand van `Z` tot die zijde).

Opgave T1

Teken de middelloodlijnen van `AB` en `AC` en je vindt het middelpunt van de omgeschreven cirkel.

Omdat de middelloodlijnen van de twee rechthoekszijden door dat punt gaan, evenals de middelloodlijn van de hypothenusa.

`1/2 sqrt(125) = 1 1/2 sqrt(5) ~~ 3,35`

Opgave T2

Teken de drie zwaartelijnen. Hun snijpunt is het gevraagde punt.

Teken de drie hoogtelijnen, twee daarvan vallen buiten de driehoek. Hun snijpunt is het gevraagde punt.

verder | terug