Vlakke figuren

Vlakke figuren > Bijzondere lijnen

123456Bijzondere lijnen

Voorbeeld 2

Je ziet hiernaast $Δ A B C$ waarin de drie zwaartelijnen zijn getekend. Deze lijnstukken verbinden een hoekpunt met het midden van de overstaande zijde. Hun snijpunt is het zwaartepunt $Z$ van de driehoek. Een opvallende eigenschap van het zwaartepunt is dat dit punt de zwaartelijnen in twee stukken verdeeld die de verhouding $2 : 1$ hebben.

Laat dit zien met behulp van gelijkvormigheid.

> antwoord

Teken lijnstuk $E F$ .
Uit de gelijkvormigheid van de driehoeken $A B C$ en $F E C$ volgt $E F / / A B$ en $E F = \frac{1}{2} \cdot A B$ .
En daarom is `ΔABZ ∼ ΔEFZ` . De overeenkomstige zijden vormen dus een verhoudingstabel:

$A B$	$B Z$	$A Z$
$E F$	$F Z$	$E Z$

De vergrotingsfactor van $Δ A B Z$ naar $Δ E F Z$ bedraagt $\frac{1}{2}$ , dus $E Z = \frac{1}{2} \cdot A Z$ en $F Z = \frac{1}{2} \cdot B Z$ . En dus is $A Z : E Z = B Z : F Z = 2 : 1$ .

Opgave 7

Bekijk Voorbeeld 2.

Teken zelf $Δ A B C$ met de zwaartelijnen $A E$ en $B F$ en teken lijnstuk $E F$ .
Waarom zijn de driehoeken $A B C$ en $F E C$ gelijkvormig?

Leg uit, dat dit betekent dat $E F / / A B$ en $E F = \frac{1}{2} \cdot A B$ .

Leg uit, dat uit het voorgaande volgt dat `ΔABZ ∼ ΔEFZ` .

Hoe kom je aan de vergrotingsfactor van $Δ A B Z$ naar $Δ E F Z$ ?

Opgave 8

De stelling dat de zwaartelijnen in een driehoek elkaar verdelen in stukken die zich verhouden als $2 : 1$ kun je gebruiken bij meetkundige berekeningen.

Van een gelijkbenige driehoek $A B C$ is $A B = A C = 6$ en $B C = 4$ cm. De drie zwaartelijnen snijden elkaar in punt $Z$ .
Bereken de lengte van lijnstuk $A Z$ .

verder | terug