Goniometrie

Goniometrie > Goniometrische verhoudingen

123456Goniometrische verhoudingen

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1

Met de stelling van Pythagoras bereken je eerst de lengte van `AB` :
`AP^2 + PB^2 = AB^2` geeft `10^2 + 5^2 = 125 = AB^2` , zodat `AB = sqrt(125)` .

Omdat `/_APB = /_PQB = 90^@` en `/_B = /_B` zijn alle hoeken van de driehoeken `APB` en `PQB` gelijk en zijn de driehoeken gelijkvormig. Dit betekent dat de verhoudingen van de overeenkomstige zijden gelijk zijn. In schema:

AP = 10	PB = 5	AB = sqrt(125)
PQ = ?	QB	PB = 5

Dus is `(PB)/(AB) = 5/(sqrt(125)) = (PQ)/(AP) = (PQ)/10` .
Uit `5/(sqrt(125)) = (PQ)/10` vind je `PQ = 50/(sqrt(125)) ~~ 4,47` m.

Nu gebruik je goniometrie: `cos(/_QPB) = (PQ)/(PB) ~~ (4,47)/5 ~~ 0,894` en dus `/_QPB ~~ 26,6^@ ~~ 27^@` .

Opgave 1

`/_APB = /_PQB = 90^@` en `/_B = /_B` en dus (hoeken van een driehoek zijn samen `180^@` ) ook `/_PAB =/_QPB` .

Nee, bijvoorbeeld zijn niet alle rechthoeken gelijkvormig terwijl ze wel dezelfde hoeken hebben.
Alleen bij driehoeken is het gelijk zijn van de (overeenkomstige) hoeken voldoende. Bij andere figuren moet je ook nagaan of de overeenkomstige zijden ook gelijke verhoudingen hebben.

Omdat `/_APB = /_PQA = 90^@` en `/_A = /_A` zijn alle hoeken van de driehoeken `APB` en `AQP` gelijk en zijn de driehoeken gelijkvormig. Dit betekent dat de verhoudingen van de overeenkomstige zijden gelijk zijn. In schema:

`AP = 10`	`PB = 5`	`AB ~~ 11,180`
`AQ`	`PQ = ?`	`AP = 10`

Dus is `(AP)/(AB) ~~ 10/(11,180) = (PQ)/(PB) = (PQ)/5` .
Uit `10/(11,180) ~~ (PQ)/5` vind je `PQ ~~ 4,47` m.

Opgave 2

Voorzie de figuur van letters bij hoekpunten, bijvoorbeeld zo.

`Delta ABC ∼ Delta CEF` .

`AB = ?`	`BC = 3`	`AC`
`CE = 2`	`EF = 2,5`	`CF`

Hieruit volgt: `(AB)/(CE) = (BC)/(EF)` , dus `(AB)/(2) = (3)/(2,5)` en `AB = 6/(2,5) = 2,4` m.
Dus de ladder moet op minstens `4,4` m van de muur op de grond komen.

Gebruik de stelling van Pythagoras: `AD^2 + DF^2 = AF^2` geeft `4,4^2 + 5,5^2 = AF^2` .
Dus `AF=sqrt(4,4^2 + 5,5^2) ~~ 7,04` m, dus de ladder moet minstens `7,05` m lang zijn.

Opgave 3

Zie in de theorie .

Je weet de overstaande rechthoekszijde niet, dus sinus en tangens vallen af.

In `Delta APB` geldt: `tan(/_A) = (PB)/(AP) = 5/10 = 0,5` en dus `/_A ~~ 26,6^@ ~~ 27^@` .

In `Delta APQ` geldt: `sin(/_A) = (PQ)/(AP) = (4,47)/10 = 0,447` en dus `/_A ~~ 26,6^@ ~~ 27^@` .

Overigens volgde uit de gelijkvormigheid van de driehoeken `APB` en `PQB` ook al dat `/_A = /_QPB` .

Opgave 4

Maak eerst een schets van de driehoek.
Door hoogtelijn (loodlijn) `CD` te tekenen, verdeel je de driehoek in twee gelijke rechthoekige driehoeken.
In `Delta ADC` is `cos(/_A) = (AD)/(AC) = 3/10 = 0,3` , dus `/_A ~~ 72,5^@ ~~ 73^@` .
Verder is `/_B = /_A ~~ 73^@` .
En is `/_C ~~ 180^@ - 2*73^@ = 34^@` .

Opgave 5

`tan(31^@) = h/50` geeft `h = 50*tan(31^@) ~~ 30,04` .
De hoogte van de koeltoren is ongeveer `31,54` m.

Opgave 6

Noem de afstanden tot de schepen `a_1` en `a_2` .
Dan is `tan(22^@)= 40/(a_1)` en `tan(16^@)= 40/(a_2)` .
Hieruit volgt dat `a_1 ≈ 99,0` m en `a_2 ≈ 139,5` m. Hun onderlinge afstand is daarom ongeveer `40,5` m.

Opgave 7

De diepte van het profiel is `20 - 5 = 15` mm en `BC` is daar de helft van.

`2,7 + 10 + 2,7 = 15,4` mm.

Daarvoor moet je `AC` berekenen.
Dat kan nu met de stelling van Pythagoras, of opnieuw met goniometrie, wat jij wilt...
Je vindt `AB ~~ 8,0` mm.
De totale omtrek is dan `30 + 2*20 + 3*10 + 4*8,0 = 132,0` mm.

`90^@ + 20^@ = 110^@` .

Opgave 8

Maak een schets van de situatie.
In de rechthoekige driehoek `ADC` is `AD = sqrt(1,8^2 - 1,2^2) ~~ 1,34` m.
Verder is `sin(/_A) = (1,2)/(1,8)` en dus is `/_A ~~ 41,8^@` , zodat `/_ACD ~~ 48,2^@` .
In de rechthoekige driehoek `DBC` is `/_DCB ~~ 70^@ - 48,2^@ = 21,8^@` .
Verder is `tan(21,8^@) = (DB)/(1,2)` zodat `DB ~~ 0,48` m.
De lengte van `BC` kun je nu berekenen met de stelling van Pythagoras of met goniometrie, je vindt `BC ~~ 1,29` m.

`AB ~~ 1,34 + 0,48 = 1,82` m en `BC ~~ 1,29` m.

Opgave 9

$B C = 5 \cdot \tan (10) \approx 0,9$ .
$A B \approx \sqrt{5^{2} + {0,88}^{2}} \approx 5,1$

$D F = 12 \cdot \cos (72) \approx 3,7$ .
$F E = 12 \cdot \sin (72) \approx 11,4$ .

$H I = 10 / \tan (37) \approx ~ 13,3$ .
$H G \approx \sqrt{10^{2} + {13,27}^{2}} \approx 16,6$ .

Hoogtelijn $M N$ tekenen.
$M N = 14 \cdot \sin (27) \approx 6,36$ en $L N = 14 \cdot \cos (27) \approx 12,47$ .
$K N \approx \sqrt{7^{2} - {6,36}^{2}} \approx 2,92$ , dus $K L \approx 12,47 + 2,92 \approx 15,4$ .

Opgave 10

`tan(/_B) = 3/7` geeft `/_B ≈ 23^@` . En dus is `/_C ≈ 67^@` .

`cos(/_E) = 5/17` geeft `/_E ≈ 73^@` . En dus is `/_D ≈ 17^@` .

`KI = 3` (stelling van Pythagoras).
`cos(/_H) = 4/5` geeft `/_H ≈ 37^@` .
`sin(/_G) = 6/7` geeft `/_G ≈ 59^@` .
`/_I = 180^@ - 59^@ - 37^@ = 84^@` .

Opgave 11

Teken de situatie en zet de gegevens er in. Maak een rechthoekige driehoek.

Als `alpha` de gevraagde hoek is, dan is `sin(alpha) = 80/82` en daaruit volgt `alpha ≈ 77,3^@` .

Opgave 12

Teken de situatie en zet de gegevens er in.

De hoogte van het driehoekje dat het zijaanzicht van de "hoofdsteun" van de iPad voorstelt bereken je met de stelling van Pythagoras: $h = \sqrt{{4,3}^{2} - {2,8}^{2}} \approx 3,26$ .
Voor de gevraagde hellingshoek `alpha` geldt: `sin(alpha) = (3,26)/(18,5)` , zodat `alpha ≈ 10^@` .

Zie figuur.

De gevraagde hoek is twee keer de grootte van `beta` en `sin(beta) = (2,8)/(4,3)` . Dus is de gevraagde hoek ongeveer `81^@` .

De bovenrand van de tablet zit dan `18,5 * sin(81,3^@) ≈ 18,3` cm boven tafel.

Opgave 13

Zet in de figuur een rechthoekige `Delta ABC` met `/_A = 80^@` en `/_B = 90^@` . Punt `C` ligt dan bovenaan het schuine profiel.

`tan(/_A) = (BC)/(AB) = 10/(AB)` geeft `AB ~~ 10/(tan(80^@)) ~~ 1,76` .
Dus de gevraagde afmeting is ongeveer `10 + 2*1,76 ~~ 13,5` mm.

Opgave 14

De totale breedte is de omtrek van een cirkel met diameter `20` mm en vier rechte stukken waarvan niet alle lengtes bekend zijn plus rechtsboven een omgebogen rand van `8` mm.
Het schuine rechte stuk `AB` heeft een lengte van `AB = sqrt(180^2 + 40^2) ~~ 184` mm.
Het schuine rechte stuk `CD` heeft een lengte van `CD = sqrt(180^2 + 140^2) ~~ 228` mm.
De totale breedte van de plaat zink is `pi*20 + 40 + 184 + 140 + 228 + 8 ~~ 663` mm.

`tan(alpha) = 180/40` geeft `alpha ~~ 77,5^@` .
`tan(beta) = 180/140` geeft `beta ~~ 52,1^@` .
Ga ervan uit dat de buigmachine zo is ingesteld, dat steeds over een zo klein mogelijke hoek wordt gebogen.
Bij `A` moet over een hoek van `77,5^@` worden gebogen.
Bij `B` moet over een hoek van `77,5^@` worden gebogen.
Bij `C` moet over een hoek van `52,1^@` worden gebogen.
En bij `D` moet over een hoek van `180^@` worden gebogen.

Opgave A1

Noem de gevraagde hoek `alpha` , dan is `tan(1/2 alpha) = 9/12` en is `1/2 alpha ~~ 36,9^@` .
De gevraagde hoek is ongeveer `74^@` .

Gebruik de stelling van Pythagoras.
De helft van zo'n latje is `sqrt(9^2 + 12^2) = 15` , dus zo'n latje is `30` cm.

Dan geldt voor de halve afstand `a` tussen twee scharnierpunten: `cos(50^@) = a/15` .
Dit levert op `a = 15*cos(50^@) ~~ 9,6` cm.
De lamp is `5*9,6 + 20 = 68` cm uitgeschoven.

Opgave T1

`~~ 18,7^@` .

Opgave T2

Ongeveer `143,4` m lang.

Opgave T3

`/_A ~~ 33,7^@` en `/_B ~~ 56,3^@` .

`AD ~~ 10,0` cm, `CD ~~ 6,7` cm en `BD ~~ 4,4` cm.

verder | terug