`6 * 2 = 12` cm.
Bekijk de
De zeshoek bestaat uit zes driehoeken waarvan de hoekensom
`180^@`
is.
Alle hoeken van de zeshoek zijn gelijk en hun hoekensom is
`6*180^@ - 360^@ = 720^@`
(want de tophoeken zijn geen hoeken van de zeshoek, dus die gaan er af).
De hoeken van de zeshoek zijn
`12`
hoeken die dezelfde grootte hebben als
`/_BAM`
, dus
`/_BAM = 720^@ // 12 = 60^@`
.
Bijvoorbeeld zo:
`tan(60^@) = (MH)/1`
, dus
`MH ~~ 1,732`
en
`opp(Delta ABM) = 1/2 * 2 * 1,732 ~~ 1,732`
cm2.
Nog even maal
`6`
en het is weer gepiept.
Er zijn nu vijf gelijkbenige driehoeken met een basis van
`3`
cm en een tophoek van
`360^@ // 5 = 72^@`
.
Voor de hoogte
`h`
van zo'n driehoek geldt:
`tan(36^@) = (1,5)/h`
, dus
`h ~~ 2,065`
.
De oppervlakte van de vijfhoek is
`5 * 1/2 * 3 * 2,065 ~~ 15,48`
cm2.
Omdat de basis en de hoogte van beide driehoeken hetzelfde zijn.
De oppervlakte van elk van beide driehoeken is
`1/2 * 5 * 6 = 15`
cm2.
De rechter driehoek.
Maak een schets van de driehoek, of misschien wel een nette tekening zodat je lengtes en hoeken kunt nameten om te kijken of je berekeningen goed zijn.
Neem
`AB`
als basis en noem de hoogte
`CD`
.
Dan is
`CD = 4*sin(40^@) ~~ 2,57`
cm.
`opp(Delta ABC) = 1/2 * 7 * 2,57 ~~ 9,00`
cm2.
Voor de omtrek moet je de lengte van zijde
`BC`
weten.
Nu is
`AD = 4*cos(40^@) ~~ 3,06`
zodat
`DB ~~ 3,94`
cm.
En
`BC = sqrt(2,57^2 + 3,94^2) ~~ 4,70`
cm.
De omtrek is ongeveer
`4 + 7 + 4,70 = 15,70`
cm.
Linker figuur:
Door opdelen vind je als oppervlakte:
`1*4 + 2*2 + 1/2*4*4 + 1/2*3*2 = 19`
cm2.
De omtrek is:
`6 + 1 + 2 + sqrt(4^2+4^2) + sqrt(2^2+3^2) = 9 + sqrt(32) + sqrt(13)`
cm.
Middelste figuur:
Door omlijsten vind je als oppervlakte:
`5*6 - 1/2*6*2 - 1/2*5*2 - 1/2*5*4 = 9`
cm2.
De omtrek is:
`sqrt(4^2+2^2) + sqrt(2^2+2^2) + sqrt(5^2+2^2) + sqrt(5^2+4^2) = sqrt(20) + sqrt(8)
+ sqrt(29) + sqrt(41)`
cm.
Rechter figuur:
Door omlijsten vind je als oppervlakte:
`5*6 - 1/2*2*2 - 1/2*4*2 - 1/2*2*2 - 4*2 = 14`
cm2.
De omtrek is:
`sqrt(2^2+2^2) + sqrt(4^2+2^2) + 1 + 3 + 4 + sqrt(2^2+2^2) = 8 + 2*sqrt(8) + sqrt(20)`
cm.
In
`Delta ADC`
is
`cos(50^@) = (AD)/(AC) = (AD)/5`
, dus
`AD = 5 cos(50^@) ~~ 3,21`
cm.
Dit betekent dat
`DB ~~ 8 - 3,21 ~~ 4,79`
cm.
En dus is met de stelling van Pythagoras
`BC ~~ sqrt(3,83^2 + 4,79^2) ~~ 6,13`
.
De omtrek van deze driehoek is daarmee ongeveer
`5+8+6,13 = 19,13`
cm.
In
`Delta ADC`
is
`sin(alpha) = (CD)/(AC) = (CD)/b`
, dus
`CD = b sin(alpha)`
cm.
De oppervlakte van deze driehoek is daarmee
`1/2 * c * bsin(alpha) = 1/2 bc sin(alpha)`
.
Voor de oppervlakte kun je net zo werken als in het voorbeeld, je kunt ook de formule
van de vorige opgave gebruiken.
`opp(Delta PQR) = 1/2 * 10 * 12 * sin(67^@) ~~ 55,23`
cm2.
Voor de omtrek moet je ook de derde zijde uitrekenen.
De hoogtelijn
`QT`
heeft een lengte van
`12*sin(67^@) ~~ 11,05`
en
`TR = 12*cos(67^@)~~ 4,69`
cm.
Dus is
`PQ = sqrt(11,05^2 + (10-4,69)^2) ~~ 12,26`
cm.
De omtrek is daarom ongeveer
`10+12+12,26 ~~ 34,3`
cm.
`cos(80^@) = (AE)/(AB) = (AE)/(40)`
, zodat
`AE = 40*cos(80^@) ~~ 6,9`
mm.
`opp(Delta ABE) = 1/2 * 39,4 * 6,9`
mm2.
`opp(BCDE) = BE * ED = 39,4 * (40 - 6,9)`
mm2.
`opp(halve cirkel) = 1/2 * pi * 10^2`
mm2.
`2*40 + 39,4 + 40 - 2*10 - 6,9 + 1/2 * pi * 20 ~~ 163,9` mm.
Linker figuur:
Omtrek is
`10 + 8 + sqrt(7^2+11^2) + 11 + sqrt(3^2+8^2) ~~ 50,6`
cm.
Oppervlakte is
`1/2 * 3 * 8 + 7*8 + 1/2 * 7 * 11 = 106,5`
cm2.
Middelste figuur:
Omtrek is
`pi * 8 + 5 + 11 + 5 + 11 ~~ 57,1`
cm.
Oppervlakte is
`pi * 4^2 + 11*13 ~~ 193,27`
cm2.
Rechter figuur:
Omtrek is
`2*15 + 4*1 + 2*pi*4 ~~ 59,1`
cm.
Oppervlakte is
`6*15 - 2*pi*2^2 ~~ 64,87`
cm2.
Linker figuur is een rechthoekige driehoek van
`26`
cm bij
`26*tan(40^@) ~~ 21,82`
cm minus een kwart cirkel:
Omtrek is
`20 + 15,82 + sqrt(26^2+21,82^2) + 1/4*pi*12 ~~ 79,2`
cm.
Oppervlakte is
`1/2 * 26 * 21,82 - 1/4 * pi * 6^2 ~~ 255,34`
cm2.
Rechter figuur is driehoek met hoogte
`30*sin(40^@) ~~ 19,28`
, minus cirkel:
Omtrek is
`30 + 26 + sqrt(3,02^2 + 19,28^2) + pi*10 ~~ 106,9`
cm.
Oppervlakte is
`1/2*26*19,28 - pi*5^2 ~~ 172,15`
cm2.
Teken de situatie en zet de gegevens er in.
Beide cirkelbogen vormen een cirkel met een omtrek van `200` m en hebben dus een diameter van `200/(pi)~~63,66` m.
De oppervlakte van het binnenterrein is ongeveer `100*63,66 + 1/4 pi*63,66^2 ~~ 9548,90` m2.
Teken de situatie en zet de gegevens er in, de driehoek is gelijkbenig en de hoogtelijn kies je op de symmetrieas.
De hoogte van het plaatje is `412 * cos(15^@) = 397,96...` mm en de halve basis is `412 * sin(15^@) = 106,63...` mm.
De oppervlakte van het plaatje is ongeveer `1/2 * 213,26... * 397,96... = 42436` mm2.
In de figuur is en . Verder zijn er twee hoeken gegeven.
Als het snijpunt is van en , dan is .
.
De gevraagde hoogte is m.
De hellingshoek is `/_FHG` en `cos(/_FHG) ~~ (1,943)/(2,5)` zodat `/_FHG ~~ 39^@` , dus versteviging is niet nodig.
Cirkel met middelpunt en straal tekenen en dan bij vijf gelijke hoeken van `(360^@)/5 = 72^@` tekenen. De snijpunten van de benen van die hoeken met de cirkel moet je nog met elkaar verbinden.
Werk in
`Delta MAB`
en teken daarin hoogtelijn .
Dan is en . De zijden van de vijfhoek hebben een lengte van m, dus mm.
De oppervlakte is `5*sin(36^@)*cos(36^@) ~~ 2,378` m2.
Werk in `Delta MAD` . Daarin is . Het kruis bestaat uit vijf diagonalen van de vijfhoek en heeft dus een lengte van m.
`/_CDG = 180^@ - 2 ⋅ 36^@ = 108^@`
, dus
`/_FGD = 72^@`
.
De éne lengte is m en de andere is m.
`5`
Eén tophoek van `360^@ // 5 = 72^@` en twee basishoeken van `54^@` .
De hoogte is `cos(36^@)` en de basis is `2*sin(36^@)` .
De oppervlakte is daarom `sin(36^@) * cos(36^@) ≈ 0,476` .
`5 * sin(36^@) * cos(36^@) ≈ 2,378`
`6 * sin(30^@) * cos(30^@) ≈ 2,598`
`8 * sin(22,5^@) * cos(22,5^@) ≈ 2,828`
`10 * sin(18^@) * cos(18^@) ≈ 2,939`
`100 * sin(1,8^@) * cos(1,8^@) ≈ 3,140`
Het getal `pi` .
De omtrek is ongeveer
`69`
mm.
De oppervlakte is ongeveer
`163`
mm2.
De oppervlakte van de zevenhoek is `7 * 1/2 * 2 * 2,07 ~~ 14,54` cm2.
Oppervlakte `~~ 682,5` cm2.
Omtrek `~~ 122,5` cm.