Goniometrie > Omtrek en oppervlakte
123456Omtrek en oppervlakte

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1
a

`6 * 2 = 12` cm.

b

Bekijk de Uitleg .

Opgave 1
a

De zeshoek bestaat uit zes driehoeken waarvan de hoekensom `180^@` is.
Alle hoeken van de zeshoek zijn gelijk en hun hoekensom is `6*180^@ - 360^@ = 720^@` (want de tophoeken zijn geen hoeken van de zeshoek, dus die gaan er af).
De hoeken van de zeshoek zijn `12` hoeken die dezelfde grootte hebben als `/_BAM` , dus `/_BAM = 720^@ // 12 = 60^@` .

b

Bijvoorbeeld zo: `tan(60^@) = (MH)/1` , dus `MH ~~ 1,732` en `opp(Delta ABM) = 1/2 * 2 * 1,732 ~~ 1,732` cm2.
Nog even maal `6` en het is weer gepiept.

c

Er zijn nu vijf gelijkbenige driehoeken met een basis van `3` cm en een tophoek van `360^@ // 5 = 72^@` .
Voor de hoogte `h` van zo'n driehoek geldt: `tan(36^@) = (1,5)/h` , dus `h ~~ 2,065` .
De oppervlakte van de vijfhoek is `5 * 1/2 * 3 * 2,065 ~~ 15,48` cm2.

Opgave 2
a

Omdat de basis en de hoogte van beide driehoeken hetzelfde zijn.
De oppervlakte van elk van beide driehoeken is `1/2 * 5 * 6 = 15` cm2.

b

De rechter driehoek.

c

Maak een schets van de driehoek, of misschien wel een nette tekening zodat je lengtes en hoeken kunt nameten om te kijken of je berekeningen goed zijn.

Neem `AB` als basis en noem de hoogte `CD` .
Dan is `CD = 4*sin(40^@) ~~ 2,57` cm.
`opp(Delta ABC) = 1/2 * 7 * 2,57 ~~ 9,00` cm2.

Voor de omtrek moet je de lengte van zijde `BC` weten.
Nu is `AD = 4*cos(40^@) ~~ 3,06` zodat `DB ~~ 3,94` cm.
En `BC = sqrt(2,57^2 + 3,94^2) ~~ 4,70` cm.
De omtrek is ongeveer `4 + 7 + 4,70 = 15,70` cm.

Opgave 3

Linker figuur:
Door opdelen vind je als oppervlakte: `1*4 + 2*2 + 1/2*4*4 + 1/2*3*2 = 19` cm2.
De omtrek is: `6 + 1 + 2 + sqrt(4^2+4^2) + sqrt(2^2+3^2) = 9 + sqrt(32) + sqrt(13)` cm.

Middelste figuur:
Door omlijsten vind je als oppervlakte: `5*6 - 1/2*6*2 - 1/2*5*2 - 1/2*5*4 = 9`  cm2.
De omtrek is: `sqrt(4^2+2^2) + sqrt(2^2+2^2) + sqrt(5^2+2^2) + sqrt(5^2+4^2) = sqrt(20) + sqrt(8) + sqrt(29) + sqrt(41)`  cm.

Rechter figuur:
Door omlijsten vind je als oppervlakte: `5*6 - 1/2*2*2 - 1/2*4*2 - 1/2*2*2 - 4*2 = 14`  cm2.
De omtrek is: `sqrt(2^2+2^2) + sqrt(4^2+2^2) + 1 + 3 + 4 + sqrt(2^2+2^2) = 8 + 2*sqrt(8) + sqrt(20)`  cm.

Opgave 4
a

In `Delta ADC` is `cos(50^@) = (AD)/(AC) = (AD)/5` , dus `AD = 5 cos(50^@) ~~ 3,21` cm.
Dit betekent dat `DB ~~ 8 - 3,21 ~~ 4,79` cm.
En dus is met de stelling van Pythagoras `BC ~~ sqrt(3,83^2 + 4,79^2) ~~ 6,13` .
De omtrek van deze driehoek is daarmee ongeveer `5+8+6,13 = 19,13` cm.

b

In `Delta ADC` is `sin(alpha) = (CD)/(AC) = (CD)/b` , dus `CD = b sin(alpha)` cm.
De oppervlakte van deze driehoek is daarmee `1/2 * c * bsin(alpha) = 1/2 bc sin(alpha)` .

Opgave 5

Voor de oppervlakte kun je net zo werken als in het voorbeeld, je kunt ook de formule van de vorige opgave gebruiken.
`opp(Delta PQR) = 1/2 * 10 * 12 * sin(67^@) ~~ 55,23` cm2.

Voor de omtrek moet je ook de derde zijde uitrekenen.
De hoogtelijn `QT` heeft een lengte van `12*sin(67^@) ~~ 11,05` en `TR = 12*cos(67^@)~~ 4,69` cm.
Dus is `PQ = sqrt(11,05^2 + (10-4,69)^2) ~~ 12,26` cm.
De omtrek is daarom ongeveer `10+12+12,26 ~~ 34,3` cm.

Opgave 6
a

`cos(80^@) = (AE)/(AB) = (AE)/(40)` , zodat `AE = 40*cos(80^@) ~~ 6,9` mm.

b

`opp(Delta ABE) = 1/2 * 39,4 * 6,9` mm2.
`opp(BCDE) = BE * ED = 39,4 * (40 - 6,9)` mm2.
`opp(halve cirkel) = 1/2 * pi * 10^2` mm2.

c

`2*40 + 39,4 + 40 - 2*10 - 6,9 + 1/2 * pi * 20 ~~ 163,9` mm.

Opgave 7

Linker figuur:
Omtrek is `10 + 8 + sqrt(7^2+11^2) + 11 + sqrt(3^2+8^2) ~~ 50,6` cm.
Oppervlakte is `1/2 * 3 * 8 + 7*8 + 1/2 * 7 * 11 = 106,5` cm2.

Middelste figuur:
Omtrek is `pi * 8 + 5 + 11 + 5 + 11 ~~ 57,1` cm.
Oppervlakte is `pi * 4^2 + 11*13 ~~ 193,27` cm2.

Rechter figuur:
Omtrek is `2*15 + 4*1 + 2*pi*4 ~~ 59,1` cm.
Oppervlakte is `6*15 - 2*pi*2^2 ~~ 64,87` cm2.

Opgave 8

Linker figuur is een rechthoekige driehoek van `26` cm bij `26*tan(40^@) ~~ 21,82`  cm minus een kwart cirkel:
Omtrek is `20 + 15,82 + sqrt(26^2+21,82^2) + 1/4*pi*12 ~~ 79,2`  cm.
Oppervlakte is `1/2 * 26 * 21,82 - 1/4 * pi * 6^2 ~~ 255,34`  cm2.

Rechter figuur is driehoek met hoogte `30*sin(40^@) ~~ 19,28` , minus cirkel:
Omtrek is `30 + 26 + sqrt(3,02^2 + 19,28^2) + pi*10 ~~ 106,9` cm.
Oppervlakte is `1/2*26*19,28 - pi*5^2 ~~ 172,15` cm2.

Opgave 9

Teken de situatie en zet de gegevens er in.

Beide cirkelbogen vormen een cirkel met een omtrek van `200` m en hebben dus een diameter van `200/(pi)~~63,66` m.

De oppervlakte van het binnenterrein is ongeveer `100*63,66 + 1/4 pi*63,66^2 ~~ 9548,90` m2.

Opgave 10

Teken de situatie en zet de gegevens er in, de driehoek is gelijkbenig en de hoogtelijn kies je op de symmetrieas.

De hoogte van het plaatje is `412 * cos(15^@) = 397,96...` mm en de halve basis is `412 * sin(15^@) = 106,63...` mm.

De oppervlakte van het plaatje is ongeveer `1/2 * 213,26... * 397,96... = 42436` mm2.

Opgave 11
a

In de figuur is A B = B C = C D = D E = 3 en E F = F G = G H = H A = 2,5 . Verder zijn er twee hoeken gegeven.

b

H I = 2,5 sin ( 65 ) 2,266
A I = 2,5 cos ( 65 ) 1,057
Als K het snijpunt is van H F en G C , dan is H K 3 - 1,057 = 1,943 .
G K 2,5 2 - 1,943 2 1,57 .
De gevraagde hoogte is C G 3 + 2,27 + 1,57 = 6,84 m.

c

De hellingshoek is `/_FHG` en `cos(/_FHG) ~~ (1,943)/(2,5)` zodat `/_FHG ~~ 39^@` , dus versteviging is niet nodig.

Opgave 12
a

Cirkel met middelpunt M en straal 1 tekenen en dan bij M vijf gelijke hoeken van `(360^@)/5 = 72^@` tekenen. De snijpunten van de benen van die hoeken met de cirkel moet je nog met elkaar verbinden.

b

Werk in `Delta MAB` en teken daarin hoogtelijn M P.
Dan is M P = cos ( 36 ) en A P = sin ( 36 ). De zijden van de vijfhoek hebben een lengte van 2 sin ( 36 ) 1,176 m, dus 1176 mm.

c

De oppervlakte is `5*sin(36^@)*cos(36^@) ~~ 2,378` m2.

d

Werk in `Delta MAD` . Daarin is A D = 2 sin ( 72 ). Het kruis bestaat uit vijf diagonalen van de vijfhoek en heeft dus een lengte van 5 2 sin ( 72 ) 9,511 m.

e

C F = 2 sin ( 36 ) cos ( 36 ) 0,951
D F = 2 sin ( 36 ) sin ( 36 ) 0,691
`/_CDG = 180^@ - 2 ⋅ 36^@ = 108^@` , dus `/_FGD = 72^@` .
F G = D F / tan ( 72 ) 0,225
De éne lengte is 2 F G 0,449 m en de andere is G C 0,951 - 0,225 = 0,726 m.

Opgave A1
a

`5`

b

Eén tophoek van `360^@ // 5 = 72^@` en twee basishoeken van `54^@` .

c

De hoogte is `cos(36^@)` en de basis is `2*sin(36^@)` .

De oppervlakte is daarom `sin(36^@) * cos(36^@) ≈ 0,476` .

d

`5 * sin(36^@) * cos(36^@) ≈ 2,378`

Opgave A2
a

`6 * sin(30^@) * cos(30^@) ≈ 2,598`

b

`8 * sin(22,5^@) * cos(22,5^@) ≈ 2,828`

c

`10 * sin(18^@) * cos(18^@) ≈ 2,939`

d

`100 * sin(1,8^@) * cos(1,8^@) ≈ 3,140`

e

Het getal `pi` .

Opgave T1

De omtrek is ongeveer `69` mm.
De oppervlakte is ongeveer `163` mm2.

Opgave T2

De oppervlakte van de zevenhoek is `7 * 1/2 * 2 * 2,07 ~~ 14,54` cm2.

Opgave T3

Oppervlakte `~~ 682,5` cm2.

Omtrek `~~ 122,5` cm.

verder | terug