Goniometrie > Vectoren
123456Vectoren

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1
a

Je kunt ze berekenen met behulp van sinus en cosinus.

Noordelijke component `=cos(30)*500~~433` km.

Oostelijke component `= sin(30)*500=250` km.

b

Die is `text(-)250` . Hij is negatief omdat de Noordelijke richting positief is gekozen.

c

Bij hoeken tussen `180^@` en `270^@` .

Opgave 1

Je vindt ongeveer:
a: `v_N = 40*cos(60^@) = 20` en  `v_O = 40*sin(60^@) ~~ 34,6`
b: `v_N = 40*cos(112^@) ~~ text(-)15,0` en  `v_O = 40*sin(112^@) ~~ 37,0`
c: `v_N = 40*cos(240^@) = text(-)20` en  `v_O = 40*sin(240^@) ~~ text(-)34,6`
d: `v_N = 40*cos(280^@) ~~ 6,95` en  `v_O = 40*sin(280^@) ~~ text(-)39,4`

Opgave 2
a

lengte `=sqrt(200^2+100^2)≈223,6` km en `tan(alpha)=(100/200)` geeft `alpha≈26,6^@` .

b

Je ziet dat de richtingshoek `alpha` nu tussen `0^@` en `180^@` ligt. Om het geknoei met mintekens te vermijden, reken je liever eerst de scherpe hoek `180^@ - alpha` uit.

lengte `=sqrt(300^2+400^2)=500` en `tan(180^@-alpha)=(400/300)` geeft `180^@-alpha≈53,1^@` en `alpha~~126,9^@` .

c

Je ziet dat de richtingshoek `alpha` nu tussen `0^@` en `180^@` ligt. Om het geknoei met mintekens te vermijden, reken je liever eerst de scherpe hoek `180^@ - alpha` uit.

lengte `=sqrt(200^2+300^2)~~360,6` km en `tan(180^@-alpha)=300/200` geeft `180^@-alpha~~56,3^@` en `alpha~~123,7^@` .

d

Je ziet dat de richtingshoek `alpha` nu tussen `0^@` en `180^@` ligt. Om het geknoei met mintekens te vermijden, reken je liever eerst de scherpe hoek `alpha - 180^@` uit.

lengte `=sqrt(150^2+200^2)=250` km en `tan(alpha-180^@)=150/200` geeft `alpha-180^@~~36,9^@` en `alpha~~216,9^@` .

e

lengte `=100` km en `α=270^@`

f

lengte `=200` km en `α=180^@`

Opgave 3

Maak een figuur zoals die in het voorbeeld.
De lengte van `vec(TV)` wordt `420 // 40 = 10,5` cm en die van `vec(VN)` wordt `180 // 40 = 4,5` cm.
Als het goed is vind je voor `vec(TN)` de berekende koershoek en de juiste lengte (na vermenigvuldigen met `4text(.)000text(.)000` ).

Opgave 4
a

De plaats waar de piloot van koers veranderde is `V` en de plaats van aankomst is `A` .
De noordelijke component van `vec(TV)` is `260*cos(150^@) ~~ text(-)225,2` km en de oostelijke component is `260*sin(150^@) = 130`  km.

De noordelijke component van `vec(VA)` is `100*cos(200^@)~~text(-)94,0` en de oostelijke component is `100*sin(200^@)~~text(-)34,2` .

De noordelijke component van vector `vec(TA)` is ongeveer `text(-)225,2+text(-)94,0 = text(-)319,2` en de oostelijke component is ongeveer `130+text(-)34,2 = 95,8` km.

Vliegveld `A` ligt ten opzichte van `T` dus ongeveer `319,2` km naar het zuiden en `95,8` km naar het oosten.

b

De piloot moet `319,2` km naar het noorden en `text(-)95,8` km naar het oosten.
Dat betekent voor de koershoek `alpha` dat `tan(alpha) ~~ (319,2)/(text(-)95,8)` , zodat `alpha ~~ text(-)73,3^@` .
En voor de te vliegen afstand `r` dat `r = sqrt(319,2^2 + (text(-)95,8)^2) ~~ 333` km.

Opgave 5
a

Nu is:

  • `F_(1,x) = 25*cos(30^@) ~~ 21,7` N.
    `F_(2,x) = 40*cos(160^@) ~~ text(-)37,6` N.
    Dus: `F_(r,x) ~~ 21,7 + text(-)37,6 = text(-)15,9` N.

  • `F_(1,y) = 25*sin(30^@) = 12,5` N.
    `F_(2,y) = 40*sin(160^@) ~~ 13,7` N.
    Dus: `F_(r,x) ~~ 12,5 + 13,7 = 26,2` N.

Nu je de componenten van de resultante hebt, kun je de grootte van de kracht berekenen:

`F_r ~~ sqrt((text(-)15,9)^2 + 26,2^2) ~~ 31` N.

b

Uit `tan(180^@ - gamma) ~~ (26,2)/(15,9) ~~ 1,648` volgt `gamma ~~ 122^@` voor de hoek van de resultante met de positieve `x` -as.

c

Nu is:

  • `F_(1,x) = 30*cos(135^@) ~~ text(-)21,2` N.
    `F_(2,x) = 20*cos(190^@) ~~ text(-)19,7` N.
    Dus: `F_(r,x) ~~ text(-)21,2 + text(-)19,7 = text(-)40,9` N.

  • `F_(1,y) = 30*sin(135^@) = 21,2` N.
    `F_(2,y) = 20*sin(190^@) ~~ text(-)3,5` N.
    Dus: `F_(r,x) ~~ 21,2 + text(-)3,5 = 17,7` N.

Nu je de componenten van de resultante hebt, kun je de grootte van de kracht en de grootte van de hoek berekenen:

`F_r ~~ sqrt((text(-)40,9)^2 + 17,7^2) ~~ 45` N.

Uit `tan(180^@ - gamma) ~~ (17,7)/(40,9) ~~ 0,433` volgt `gamma ~~ 157^@` voor de hoek van de resultante met de positieve `x` -as.

d

Dan kun je werken met `tan(gamma)` en moet je nog `180^@` optellen bij de gevonden hoek.

e

Oefen jezelf en controleer je antwoorden met de applet.

Opgave 6
a

`F_x ≈text(-)1,27` N en `F_y ≈2,72` N.

b

`F_x ≈text(-)0,97` N en `F_y ≈text(-)0,22` N.

c

`F_x≈2,62` N en `F_y ≈text(-)3,02` N.

d

`F_x≈3,60` N en `F_y≈3,47` N.

Opgave 7
a

`F = sqrt(12^2 + 15^2) ~~ 19,2` N.
`tan(α) = (15)/(12)` geeft `alpha ~~ 51,3^@` .

b

`F = sqrt((text(-)10)^2 + 20^2) ~~ 22,4` N.
`tan(180^@ - α) = (20)/(10)` geeft `alpha ~~ 180^@ - 63,4^@ = 116,6^@` .

c

`F = sqrt((text(-)10)^2 + (text(-)5)^2) ~~ 11,2` N.
`tan(180^@ + α) = (5)/(10)` geeft `alpha ~~ 180^@ + 26,6^@ = 206,6^@` .

d

`F = sqrt((15)^2 + (text(-)5)^2) ~~ 15,8` N.
`tan(360^@ - α) = (5)/(15)` geeft `alpha ~~ 360^@ - 18,4^@ = 341,6^@` .

Opgave 8

Teken de situatie en zet de gegevens er in.
De noordelijke component van de afgelegde vlucht is `50*cos(110^@) + 30*cos(250^@)~~text(-)27,4` km.
De oostelijke component van de afgelegde vlucht is `50*sin(110^@) + 30*sin(250^@)~~18,8` km.
De piloot is dus `sqrt((text(-)27,4)^2 + 18,8^2)~~33,2` km van `R` verwijderd.

De hoek van de terugvlucht ligt tussen `270^@` en `360^@` .
En `tan(360^@ - alpha) ~~ (18,8)/(27,4)` , zodat `alpha ~~ 326^@` .

Opgave 9
a

`2*7*cos(20)~~13,2` N

b

`8*cos(20)+6*cos(15)~~13,3` N

c

In situatie a. De netto zijwaartse kracht is dan nul.

Opgave 10

De afgelegde weg `AB` is te ontleden in een horizontale component en een verticale component. De verticale component is `60` meter, ofwel de breedte van de rivier. De horizontale component wordt bepaald door de stroomsnelheid. In de loop van `5` minuten wordt de zwemmer `1/12*0,6=0,05` km ofwel `50` meter door de stroming naar rechts geduwd. De lengte van `AB` is dus:  `sqrt(60^2+50^2)~~78,1` meter.

De snelheid waarmee de zwemmer `AB` heeft afgelegd, is dus `(78,1)/300~~0,260` m/s, ofwel ongeveer `0,260 *3,6~~0,937` km/h.

Opgave 11

Omdat het voorwerp volgens de stippellijn beweegt, moeten beide componenten daar loodrecht op even groot en tegengesteld zijn.
Dus moet `15*sin(20^@) = text(-) F_2 * sin(330^@)` .
Dit levert op: `F_2 ~~ 10,26` N.

De grootte van de resultante is ongeveer `15*cos(20^@) + 10,26 * cos(330^@) ~~ 22,98` N.

Opgave A1
a

`vec(F_1)` : `F_(1,x) = 600*cos(45^@) ~~ 424` N en `F_(1,y) = 600*sin(45^@) ~~ 424` N.
`vec(F_2)` : `F_(2,x) = 850*cos(150^@) ~~ text(-)736` N en `F_(2,y) = 850*sin(150^@) = 425` N.
`vec(F_3)` : `F_(3,x) = 450*cos(195^@) ~~ text(-)435` N en `F_(3,y) = 450*sin(195^@) ~~ text(-)116` N.

b

Voor de resultante van `vec(F_1)` en `vec(F_2)` geldt:
de `x` -component is `424 + text(-)736 = text(-)312` N;
de `y` -component is `424 + 425 = 849` N.

De grootte van deze resultante is daarom `sqrt(312^2+425^2) ~~ 527` N.

Voor de hoek `alpha` die deze resultante met de positieve `x` -as maakt geldt `tan(180^@-alpha) ~~ 849/312` . Dit geeft `alpha ~~ 110^@` .

c

Voor de resultante van `vec(F_1)` , `vec(F_2)` en `vec(F_3)` geldt:
de `x` -component is `424 + text(-)736 + text(-)435 = text(-)747` N;
de `y` -component is `424 + 425 + text(-)116 = 733` N.

De grootte van deze resultante is daarom `sqrt(747^2+733^2) ~~ 1047` N.

Voor de hoek `alpha` die deze resultante met de positieve `x` -as maakt geldt `tan(180^@-alpha) ~~ 733/747` . Dit geeft `alpha ~~ 136^@` .

Opgave T1

Ongeveer `113` km noordwaarts en ongeveer `41` km westwaarts.

Opgave T2

De oppervlakte van de zevenhoek is `7 * 1/2 * 2 * 2,07 ~~ 14,54` cm2.

Opgave T3

Noem de plaats waar de piloot van koers veranderde `V` en de plaats waar de noodlanding plaatsvond `N` .
De noordelijke component van vector `vec(TV)` heeft een lengte van `360*cos(40)~~275,78` en de oostelijke component heeft een lengte van `360*sin(40)~~231,40` .

De noordelijke component van vector `vec(VN)` heeft een lengte van `150*cos(160)~~text(-)140,95` en de oostelijke component heeft een lengte van `150*sin(160)~~51,3` .

De noordelijke component van vector `vec(TN)` heeft een lengte van ongeveer `275,78-140,95=134,82` en de oostelijke component heeft een lengte van ongeveer `275,78+51,30~~282,70`

De helicopter moet dus ongeveer `134,8` km naar het noorden en `282,7` km naar het oosten.

verder | terug