Goniometrie > VectorenAntwoorden van de opgaven
Je kunt ze berekenen met behulp van sinus en cosinus.
Noordelijke component `= cos(30^@)*500 ~~ 433` km.
Oostelijke component `= sin(30^@)*500 = 250` km.
Die is `text(-)250` . Hij is negatief omdat de Noordelijke richting positief is gekozen.
Bij hoeken tussen `180^@` en `270^@` .
Je vindt ongeveer:
a:
`v_N = 40*cos(60^@) = 20`
en
`v_O = 40*sin(60^@) ~~ 34,6`
.
b:
`v_N = 40*cos(112^@) ~~ text(-)15,0`
en
`v_O = 40*sin(112^@) ~~ 37,0`
.
c:
`v_N = 40*cos(240^@) = text(-)20`
en
`v_O = 40*sin(240^@) ~~ text(-)34,6`
.
d:
`v_N = 40*cos(280^@) ~~ 7,0`
en
`v_O = 40*sin(280^@) ~~ text(-)39,4`
.
lengte `= sqrt(200^2+100^2) ≈ 223,6` km en `tan(alpha) = 100/200` geeft `alpha ≈ 26,6^@` .
Je ziet dat de richtingshoek `alpha` nu tussen `0^@` en `180^@` ligt. Om het geknoei met mintekens te vermijden, reken je liever eerst de scherpe hoek `180^@ - alpha` uit.
lengte `= sqrt(300^2+400^2) = 500` en `tan(180^@-alpha) = 400/300` geeft `180^@ - alpha ≈ 53,1^@` en `alpha ~~ 126,9^@` .
Je ziet dat de richtingshoek `alpha` nu tussen `0^@` en `180^@` ligt. Om het geknoei met mintekens te vermijden, reken je liever eerst de scherpe hoek `180^@ - alpha` uit.
lengte `= sqrt(200^2+300^2)~~360,6` km en `tan(180^@-alpha) = 300/200` geeft `180^@ - alpha ~~ 56,3^@` en `alpha ~~ 123,7^@` .
Je ziet dat de richtingshoek `alpha` nu tussen `0^@` en `180^@` ligt. Om het geknoei met mintekens te vermijden, reken je liever eerst de scherpe hoek `alpha - 180^@` uit.
lengte `= sqrt(150^2+200^2) = 250` km en `tan(alpha-180^@) = 150/200` geeft `alpha - 180^@ ~~ 36,9^@` en `alpha ~~ 216,9^@` .
lengte `= 100` km en `α = 270^@`
lengte `= 200` km en `α = 180^@`
Maak een figuur zoals die in het voorbeeld.
De lengte van
`vec(TV)`
wordt
`420 // 40 = 10,5`
cm en die van
`vec(VN)`
wordt
`180 // 40 = 4,5`
cm.
Als het goed is vind je voor
`vec(TN)`
de berekende koershoek en de juiste lengte (na vermenigvuldigen met
`4.000.000`
).
De plaats waar de piloot van koers veranderde is
`V`
en de plaats van aankomst is
`A`
.
De noordelijke component van
`vec(TV)`
is
`260*cos(150^@) ~~ text(-)225,2`
km en de oostelijke component is
`260*sin(150^@) = 130`
km.
De noordelijke component van `vec(VA)` is `100*cos(200^@)~~text(-)94,0` en de oostelijke component is `100*sin(200^@)~~text(-)34,2` .
De noordelijke component van vector `vec(TA)` is ongeveer `text(-)225,2+text(-)94,0 = text(-)319,2` en de oostelijke component is ongeveer `130+text(-)34,2 = 95,8` km.
Vliegveld `A` ligt ten opzichte van `T` dus ongeveer `319,2` km naar het zuiden en `95,8` km naar het oosten.
De piloot moet
`319,2`
km naar het noorden en
`text(-)95,8`
km naar het oosten.
Dat betekent voor de koershoek
`alpha`
dat
`tan(alpha) ~~ (319,2)/(text(-)95,8)`
, zodat
`alpha ~~ text(-)73,3^@`
.
En voor de te vliegen afstand
`r`
dat
`r = sqrt(319,2^2 + (text(-)95,8)^2) ~~ 333`
km.
Nu is:
-
`F_(1,x) = 25*cos(30^@) ~~ 21,7` N.
`F_(2,x) = 40*cos(160^@) ~~ text(-)37,6` N.
Dus: `F_(r,x) ~~ 21,7 + text(-)37,6 = text(-)15,9` N. -
`F_(1,y) = 25*sin(30^@) = 12,5` N.
`F_(2,y) = 40*sin(160^@) ~~ 13,7` N.
Dus: `F_(r,y) ~~ 12,5 + 13,7 = 26,2` N.
Nu je de componenten van de resultante hebt, kun je de grootte van de kracht berekenen:
`F_r ~~ sqrt((text(-)15,9)^2 + 26,2^2) ~~ 31` N.
Uit `tan(180^@ - gamma) ~~ (26,2)/(15,9) ~~ 1,648` volgt `gamma ~~ 121^@` voor de hoek van de resultante met de positieve `x` -as.
Nu is:
-
`F_(1,x) = 30*cos(135^@) ~~ text(-)21,2` N.
`F_(2,x) = 20*cos(190^@) ~~ text(-)19,7` N.
Dus: `F_(r,x) ~~ text(-)21,2 + text(-)19,7 = text(-)40,9` N. -
`F_(1,y) = 30*sin(135^@) = 21,2` N.
`F_(2,y) = 20*sin(190^@) ~~ text(-)3,5` N.
Dus: `F_(r,y) ~~ 21,2 + text(-)3,5 = 17,7` N.
Nu je de componenten van de resultante hebt, kun je de grootte van de kracht en de grootte van de hoek berekenen:
`F_r ~~ sqrt((text(-)40,9)^2 + 17,7^2) ~~ 45` N.
Uit `tan(180^@ - gamma) ~~ (17,7)/(40,9) ~~ 0,433` volgt `gamma ~~ 157^@` voor de hoek van de resultante met de positieve `x` -as.
Dan kun je werken met `tan(gamma)` en moet je nog `180^@` optellen bij de gevonden hoek.
Oefen jezelf en controleer je antwoorden met de applet.
`F_x = 3*cos(115^@) ≈ text(-)1,27` N en `F_y = 3*sin(115^@) ≈ 2,72` N.
`F_x ≈ text(-)0,97` N en `F_y ≈ text(-)0,22` N.
`F_x ≈ 2,62` N en `F_y ≈ text(-)3,02` N.
`F_x ≈ 3,60` N en `F_y ≈ 3,47` N.
`F = sqrt(12^2 + 15^2) ~~ 19,2`
N.
`tan(α) = (15)/(12)`
geeft
`alpha ~~ 51,3^@`
.
`F = sqrt((text(-)10)^2 + 20^2) ~~ 22,4`
N.
`tan(180^@ - α) = (20)/(10)`
geeft
`alpha ~~ 180^@ - 63,4^@ = 116,6^@`
.
`F = sqrt((text(-)10)^2 + (text(-)5)^2) ~~ 11,2`
N.
`tan(180^@ + α) = (5)/(10)`
geeft
`alpha ~~ 180^@ + 26,6^@ = 206,6^@`
.
`F = sqrt((15)^2 + (text(-)5)^2) ~~ 15,8`
N.
`tan(360^@ - α) = (5)/(15)`
geeft
`alpha ~~ 360^@ - 18,4^@ = 341,6^@`
.
Teken de situatie en zet de gegevens er in.
De noordelijke component van de afgelegde vlucht is
`50*cos(110^@) + 30*cos(250^@) ~~ text(-)27,4`
km.
De oostelijke component van de afgelegde vlucht is
`50*sin(110^@) + 30*sin(250^@) ~~ 18,8`
km.
De piloot is dus
`sqrt((text(-)27,4)^2 + 18,8^2)~~33,2`
km van
`R`
verwijderd.
De hoek van de terugvlucht ligt tussen
`270^@`
en
`360^@`
.
En
`tan(360^@ - alpha) ~~ (18,8)/(27,4)`
, zodat
`alpha ~~ 326^@`
.
`2*7*cos(20) ~~ 13,2` N.
`8*cos(20) + 6*cos(15) ~~ 13,3` N.
In situatie a. De netto zijwaartse kracht is dan nul.
De afgelegde weg `AB` is te ontleden in een horizontale component en een verticale component. De verticale component is `60` meter, ofwel de breedte van de rivier. De horizontale component wordt bepaald door de stroomsnelheid. In de loop van `5` minuten wordt de zwemmer `1/12*0,6 = 0,05` km ofwel `50` meter door de stroming naar rechts geduwd. De lengte van `AB` is dus: `sqrt(60^2+50^2) ~~ 78,1` meter.
De snelheid waarmee de zwemmer `AB` heeft afgelegd, is dus `(78,1)/300 ~~ 0,260` m/s, ofwel ongeveer `0,260*3,6 ~~ 0,937` km/h.
Omdat het voorwerp volgens de stippellijn beweegt, moeten beide componenten daar loodrecht
op even groot en tegengesteld zijn.
Dus moet
`15*sin(20^@) = text(-) F_2 * sin(330^@)`
.
Dit levert op:
`F_2 ~~ 10,26`
N.
De grootte van de resultante is ongeveer `15*cos(20^@) + 10,26 * cos(330^@) ~~ 22,98` N.
`vec(F_1)`
:
`F_(1,x) = 600*cos(45^@) ~~ 424`
N en
`F_(1,y) = 600*sin(45^@) ~~ 424`
N.
`vec(F_2)`
:
`F_(2,x) = 850*cos(150^@) ~~ text(-)736`
N en
`F_(2,y) = 850*sin(150^@) = 425`
N.
`vec(F_3)`
:
`F_(3,x) = 450*cos(195^@) ~~ text(-)435`
N en
`F_(3,y) = 450*sin(195^@) ~~ text(-)116`
N.
Voor de resultante van
`vec(F_1)`
en
`vec(F_2)`
geldt:
de
`x`
-component is
`424 + text(-)736 = text(-)312`
N;
de
`y`
-component is
`424 + 425 = 849`
N.
De grootte van deze resultante is daarom `sqrt(312^2+849^2) ~~ 905` N.
Voor de hoek `alpha` die deze resultante met de positieve `x` -as maakt geldt `tan(180^@-alpha) ~~ 849/312` . Dit geeft `alpha ~~ 110^@` .
Voor de resultante van
`vec(F_1)`
,
`vec(F_2)`
en
`vec(F_3)`
geldt:
de
`x`
-component is
`424 + text(-)736 + text(-)435 = text(-)747`
N;
de
`y`
-component is
`424 + 425 + text(-)116 = 733`
N.
De grootte van deze resultante is daarom `sqrt(747^2+733^2) ~~ 1047` N.
Voor de hoek `alpha` die deze resultante met de positieve `x` -as maakt geldt `tan(180^@-alpha) ~~ 733/747` . Dit geeft `alpha ~~ 136^@` .
Ongeveer `113` km noordwaarts en ongeveer `41` km westwaarts.
De koershoek is `~~ 24^@` .
De gevaren afstand is `~~ 37,2` km.
Noem de plaats waar de piloot van koers veranderde
`V`
en de plaats waar de noodlanding plaatsvond
`N`
.
De noordelijke component van vector
`vec(TV)`
heeft een lengte van
`360*cos(40) ~~ 275,78`
en de oostelijke component heeft een lengte van
`360*sin(40^@) ~~ 231,40`
.
De noordelijke component van vector `vec(VN)` heeft een lengte van `150*cos(160^@) ~~ text(-)140,95` en de oostelijke component heeft een lengte van `150*sin(160) ~~ 51,3` .
De noordelijke component van vector `vec(TN)` heeft een lengte van ongeveer `275,78 - 140,95 = 134,82` en de oostelijke component heeft een lengte van ongeveer `275,78 + 51,30 ~~ 282,70`
De helicopter moet dus ongeveer `134,8` km naar het noorden en `282,7` km naar het oosten.