Goniometrie

Goniometrie > Cosinusregel

Overzicht

123456Cosinusregel

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1

Teken de hoogtelijn `PD` op `AB` .

`AD = 20*cos(40^@) ~~ 15,3` en dus `DB ~~ 22,7` . Verder geldt `PD = 20*sin(40^@) ~~ 12,9` .

`PB = sqrt(PD^2+DB^2) ~~ 26` .

De route van `A` naar `B` via `P` is ongeveer `20+26 = 46` m. Dit is `8` m meer dan de route rechtstreeks door het bos.

Je weet geen hoek met de tegenoverliggende zijde.

Opgave 1

Cosinusregel: `a^2 = b^2 + c^2 - 2bc cos(α)` .
Hier: `PB^2 = AP^2 + AB^2 - 2*AP*AB*cos(/_A)` .
Invullen: `PB^2 = 20^2 + 38^2 - 2*20*38*cos(40^@) ~~ 679,6` en `PB ~~ 26,1` m.

Opgave 2

`AB^2 = 6^2 + 9^2 - 2*6*9*cos(50^@)`

`AB ≈ 6,90`

Opgave 3

Ga na, dat `a^2 = CD^2 + BD^2` .
Omdat ` BD = c- AD ` geldt: `a^2 = CD^2 + (c - AD)^2` .

Haakjes wegwerken: `a^2 = CD^2 + c^2 - 2*c*AD + AD^2` .

Verder is ` CD^2 + AD^2 = b^2` .

Gebruik ` AD = bcos(α)` en vul dat in.

Je krijgt: `a^2 = b^2 + c^2 - 2bc cos(α)` .

Je kunt (door letters verwisselen) varianten op deze stelling maken, zoals `b^2 = a^2 + c^2 - 2a*c cos(β)` en
`c^2 = a^2 + b^2 - 2ab cos(γ)` .

Opgave 4

Als je het goed hebt gedaan, krijg je een driehoek met dezelfde vorm en grootte als in het voorbeeld.

` BC^2 = 4^2 + 6^2 - 2*4*6 *cos(20) = 6,89...` .

Hieruit volgt: ` BC ≈ 2,63` .

Opgave 5

Als `α = 90^@` , dan is de cosinusregel `a^2 = b^2 + c^2 - 2bc cos(90^@) = b^2 + c^2` .

Opgave 6

Noem de afstand `a` , dan is `a^2 = 60^2 + 50^2 - 2*50*60*cos(30^@)` , dit geeft `a ≈ 30,1` km.

Opgave 7

`BC ≈ 11,5`

Opgave 8

Omdat `BC // // vec(F_2)` . Er zijn dus F-hoeken.

Zie het voorbeeld.

Deze `/_BAC` kun je met de sinusregel berekenen.

Met de sinusregel: `(sin(/_BAC))/30 ~~ (sin(140^@))/(47,1)` .

Je vind `∠BAC ≈ 24,2^@` .

Opgave 9

Noem het aangrijpingspunt `A` , het eindpunt van `vec(F_1)` punt `B` en dat van `vec(F_r)` punt `C` .

In `Delta ABC` is `/_B = 180^@ - 63^@ = 117^@`

Cosinusregel: `F_r ^2 = 35^2 + 15^2 - 2 * 35 * 15 *cos(117^@)` .

Dus: `F_r ~~ 43,9` N.

De gevraagde hoek `/_BAC` kun je met de sinusregel berekenen.

Met de sinusregel: `(sin(/_BAC))/15 ~~ (sin(117^@))/(43,9)` .

Je vind `∠BAC ≈ 17,7^@` .

Opgave 10

Met de cosinusregel vind je `c ~~ 7,43` .

Met de cosinusregel of de sinusregel vind je nu ook dat `α ~~ 77,4^@` en daarmee ook dat `β ~~ 37,6^@` .

Met de sinusregel vind je `beta ~~ 34,5^@` en daarmee `gamma ~~ 80,5^@` .

Met de sinusregel of de cosinusregel vind je nu dat `c ~~ 8,71` .

Met de sinusregel vind je dat `b ~~ 122,47` .

`alpha = 15^@` , met de sinusregel (of de cosinusregel) vind je dat `a ~~ 44,83` .

`a^2+c^2 = b^2` , dus `beta = 90^@` (omgekeerde stelling van Pythagoras).

Verder vind je uit `tan(alpha) = 6/8` dat `alpha ~~ 36,9^@` en `gamma ~~ 53,1^@` .

`alpha = beta = (180-20)/2 = 80^@` . Met de cosinusregel, of de sinusregel, of gewoon `cos(80^@) = (1/2 c)/15` vind je dat `c ~~ 5,21` .

Opgave 11

`AC = BC = 10` , met de cosinusregel vind je dat `AB ~~ 3,5` . Maar `AB = 5` , dus de genoemde driehoek kan niet.

(Dit kun je ook wel op andere manieren laten zien, bijvoorbeeld dat `sin(1/2 /_C) = sin(10^@) = (1/2 AB)/(AC) = (2,5)/10` niet klopt.)

Opgave 12

Noem het aangrijpingspunt `A` , het eindpunt van `F_1` punt `B` en dat van `F_r` punt `C` .

In `Delta ABC` is `/_B = 180^@ - 100^@ = 80^@`

Cosinusregel: `F_r ^2 = 520^2 + 340^2 - 2 * 520 * 340 *cos(80^@)` .

Dus: `F_r ~~ 570` N.

De gevraagde hoek `/_BAC` kun je met de sinusregel berekenen.

Met de sinusregel: `(sin(/_BAC))/340 ~~ (sin(80^@))/(570)` .

Je vind `∠BAC ≈ 36,0^@` .

Opgave 13

Noem het punt waar je na `5` uur bent, punt `C` . Na `5` uur heb je `35` km afgelegd, dus `AC = 35` en `AB = 35 + 15` .

Hiermee is `BC^2 = 50^2 + 35^2 - 2*35*50*cos(25^@)` . Dit geeft `BC ≈ 23,5` km.

Opgave 14

Cosinusregel:
`a^2 = 36^2 + 24^2 - 2*36*24*cos(140^@)` geeft `a ~~ 57` mm.

Opgave A1

Gebruik de cosinusregel in `Delta ACD` :
`AD^2 = 1^2 + 4^2 - 2*1*4*cos(110^@) = 19,736...` zodat `AD ~~ 4,44` dm.

Gebruik de sinusregel in `Delta ACD` om `/_ADC` te berekenen:
`(1)/(sin(/_ADC))= 4/(sin(55^@))` geeft `/_ADC ~~ 11,8^@` .

Dus `/_ACD ~~ 180^@ - 55^@ - 11,8^@ = 113,2^@` .

Doe nu opnieuw de sinusregel in `Delta ACD` :
`(AD)/(sin(/_113,2^@)) = 4/(sin(55^@))` geeft `AD ~~ 4,50` dm.

Opgave A2

Bij het tweede plaatje van Figuur 2 zit de kleinste waarde van `AD` .
Dan is `AD = 4-1 = 3` dm.

Bij het vierde plaatje van Figuur 2 zit de grootste waarde van `AD` .
Dan is `AD = 4+1 = 5` dm.

Gebruik de sinusregel in `Delta ACD` om `/_ADC` te berekenen:
`(1)/(sin(/_ADC))= 4/(sin(100^@))` geeft `/_ADC ~~ 14,3^@` .

Dus `gamma = /_ACD ~~ 180^@ - 100^@ - 14,3^@ = 65,7^@` .

Doe nu opnieuw de sinusregel in `Delta ACD` :
`(AD)/(sin(65,7^@))= 4/(sin(100^@))` geeft `AD ~~ 3,70` dm.

Opgave T1

`BC ≈ 12,75`

Opgave T2

`AC = sqrt(364) ~~ 19,1`

`~~ 103,9`

verder | terug