Goniometrie > CosinusregelAntwoorden van de opgaven
`(360^@)//9 = 40^@`
`Delta CMD`
is een gelijkbenige driehoek met benen van
`30`
cm.
Voor de halve basis
`b`
van zo'n driehoek geldt:
`sin(20^@) = b/30`
, dus
`b = 30*sin(20^@)~~10,26`
.
De omtrek is dus ongeveer
`9 * 20,52 ~~ 184,7`
cm.
Cosinusregel:
`a^2 = b^2 + c^2 - 2bc cos(α)`
.
Hier:
`PB^2 = AP^2 + AB^2 - 2*AP*AB*cos(/_A)`
.
Invullen:
`PB^2 = 20^2 + 38^2 - 2*20*38*cos(40^@) ~~ 679,6`
en
`PB ~~ 26,1`
m.
`AB^2 = 6^2 + 9^2 - 2*6*9*cos(50^@)`
`AB ≈ 6,90`
Ga na, dat
`a^2 = CD^2 + BD^2`
.
Omdat
` BD = c- AD `
geldt:
`a^2 = CD^2 + (c - AD)^2`
.
Haakjes wegwerken: `a^2 = CD^2 + c^2 - 2*c*AD + AD^2` .
Verder is ` CD^2 + AD^2 = b^2` .
Gebruik ` AD = bcos(α)` en vul dat in.
Je krijgt: `a^2 = b^2 + c^2 - 2bc cos(α)` .
Je kunt (door letters verwisselen) varianten op deze stelling maken, zoals
`b^2 = a^2 + c^2 - 2a*c cos(β)`
en
`c^2 = a^2 + b^2 - 2ab cos(γ)`
.
Als je het goed hebt gedaan, krijg je een driehoek met dezelfde vorm en grootte als in het voorbeeld.
` BC^2 = 4^2 + 6^2 - 2*4*6 *cos(20) = 6,89...` .
Hieruit volgt: ` BC ≈ 2,63` .
Als `α = 90^@` , dan is de cosinusregel `a^2 = b^2 + c^2 - 2bc cos(90^@) = b^2 + c^2` .
Noem de afstand `a` , dan is `a^2 = 60^2 + 50^2 - 2*50*60*cos(30^@)` , dit geeft `a ≈ 30,1` km.
`BC ≈ 11,5`
Omdat `BC // // vec(F_2)` . Er zijn dus F-hoeken.
Zie het voorbeeld.
Deze `/_BAC` kun je met de sinusregel berekenen.
Met de sinusregel: `(sin(/_BAC))/30 ~~ (sin(140^@))/(47,1)` .
Je vind `∠BAC ≈ 24,2^@` .
Noem het aangrijpingspunt `A` , het eindpunt van `vec(F_1)` punt `B` en dat van `vec(F_r)` punt `C` .
In `Delta ABC` is `/_B = 180^@ - 63^@ = 117^@`
Cosinusregel: `F_r ^2 = 35^2 + 15^2 - 2 * 35 * 15 *cos(117^@)` .
Dus: `F_r ~~ 43,9` N.
De gevraagde hoek `/_BAC` kun je met de sinusregel berekenen.
Met de sinusregel: `(sin(/_BAC))/15 ~~ (sin(117^@))/(43,9)` .
Je vind `∠BAC ≈ 17,7^@` .
Met de cosinusregel vind je `c ~~ 7,43` .
Met de cosinusregel of de sinusregel vind je nu ook dat `α ~~ 77,4^@` en daarmee ook dat `β ~~ 37,6^@` .
Met de sinusregel vind je `beta ~~ 34,5^@` en daarmee `gamma ~~ 80,5^@` .
Met de sinusregel of de cosinusregel vind je nu dat `c ~~ 8,71` .
Met de sinusregel vind je dat `b ~~ 122,47` .
`alpha = 15^@` , met de sinusregel (of de cosinusregel) vind je dat `a ~~ 44,83` .
`a^2+c^2 = b^2` , dus `beta = 90^@` (omgekeerde stelling van Pythagoras).
Verder vind je uit `tan(alpha) = 6/8` dat `alpha ~~ 36,9^@` en `gamma ~~ 53,1^@` .
`alpha = beta = (180-20)/2 = 80^@` . Met de cosinusregel, of de sinusregel, of gewoon `cos(80^@) = (1/2 c)/15` vind je dat `c ~~ 5,21` .
`AC = BC = 10` , met de cosinusregel vind je dat `AB ~~ 3,5` . Maar `AB = 5` , dus de genoemde driehoek kan niet.
(Dit kun je ook wel op andere manieren laten zien, bijvoorbeeld dat `sin(1/2 /_C) = sin(10^@) = (1/2 AB)/(AC) = (2,5)/10` niet klopt.)
Noem het aangrijpingspunt `A` , het eindpunt van `F_1` punt `B` en dat van `F_r` punt `C` .
In `Delta ABC` is `/_B = 180^@ - 100^@ = 80^@`
Cosinusregel: `F_r ^2 = 520^2 + 340^2 - 2 * 520 * 340 *cos(80^@)` .
Dus: `F_r ~~ 570` N.
De gevraagde hoek `/_BAC` kun je met de sinusregel berekenen.
Met de sinusregel: `(sin(/_BAC))/340 ~~ (sin(80^@))/(570)` .
Je vind `∠BAC ≈ 36,0^@` .
Noem het punt waar je na `5` uur bent, punt `C` . Na `5` uur heb je `35` km afgelegd, dus `AC = 35` en `AB = 35 + 15` .
Hiermee is `BC^2 = 50^2 + 35^2 - 2*35*50*cos(25^@)` . Dit geeft `BC ≈ 23,5` km.
Cosinusregel:
`a^2 = 36^2 + 24^2 - 2*36*24*cos(140^@)`
geeft
`a ~~ 57`
mm.
`35,7^@`
`CH = 11*sin(35,7^@) ~~ 6,4` m.
`Delta CMD`
is een gelijkbenige driehoek met benen van
`30`
cm en een tophoek van
`40^@`
.
Voor de basis
`b`
van zo'n driehoek geldt:
`a^2 = 30^2 + 30^2 - 2*30*30*cos(40^@) ~~ 421,12`
.
Dus is
`a ~~ sqrt(421,12) ~~ 20,52`
.
De omtrek is dus ongeveer
`9 * 20,52 ~~ 184,7`
cm.
`BC ≈ 12,75`
`AC = sqrt(364) ~~ 19,1`
`~~ 103,9`