Ruimtelijke figuren > Lichamen
12345Lichamen

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1

A C = 10 2 + 4 2 = 116 vanwege de stelling van Pythagoras in Δ A B C .

En dan is `tan(/_CAG) = 5/(sqrt(116))` , zodat `/_ CAG ~~ 24,9^@` .

Opgave 1
a

12 hoekpunten, 18 ribben en 8 grensvlakken.

b

Zijvlaksdiagonalen:
Elk opstaand zijvlak heeft er `2` , elke zeshoek heeft er `(6*3)/2=9` (vanuit elk hoekpunt kun je er drie trekken, maar dan tel je wel elke diagonaal dubbel). Dat is in totaal `6*2 + 2*9 = 30` .

Elke lichaamsdiagonaal ligt in een verticaal diagonaalvlak, in elk verticale diagonaalvlak liggen er `2` . In een bovenaanzicht zie je dat er `9` verticale diagonaalvlakken zijn en dus zijn er in totaal `9 * 2 = 18` lichaamsdiagonalen.

c

Teken een cirkel met straal 4 en pas daarop zes punten af die 4 cm van elkaar af liggen. Je krijgt dan de regelmatige zeshoek A B C D E F .

Zo'n regelmatige zeshoek bestaat uit zes gelijkzijdige driehoeken met zijden van 4 cm. Elke gelijkzijdige driehoek kun je verdelen in twee congruente driehoeken met zijden van 4, 2 en 12 = 2 3 cm. Daaruit volgen de lengtes van de lichaamsdiagonalen.

d

Dit diagonaalvlak is een rechthoek van 8 cm bij 6 cm.

Omdat `tan(/_ EBK) = 6/8 = 0,75` is `/_ EBK ~~ 37^@` .

e

Dit diagonaalvlak is een rechthoek van 4 3 cm bij 6 cm.

Omdat `tan(/_ FBL) = 6/(4sqrt(3))` is `/_ FBL ~~ 41^@` .

Opgave 2
a

Omdat elke verbinding tussen twee hoekpunten in een grensvlak ligt.

b

3 2 = 6

c

Doen. Je kunt de lengte van A M en B M opmeten in een vierkant van 6 cm bij 6 cm, of deze lengte berekenen. Je vindt A M = B M = 6 2 + 3 2 = 45 .

d

Maak in Δ A B M een rechte hoek door hoogte M N te tekenen. Dan is `sin(/_ NMB) = 3/(sqrt(45))` en dus `/_ NMB ~~ 26,6^@` .

En dus is `/_ AMB ~~ 53^@` .

Opgave 3
a

Alleen 6 zijvlaksdiagonalen in het grondvlak. En daarbij horen ook 6 diagonaalvlakken.

b

Maak in Δ B T E een rechte hoek door hoogte T S te tekenen. Dan is `sin(/_ BTS) = 6/24 = 0,25` en dus `/_ BTS ~~ 14,5^@` .

En dus is `/_ BTE ~~ 29^@` .

c

Maak in Δ B T F een rechte hoek door hoogte T P te tekenen. Dan is `sin(/_ BTP) = (3sqrt(3))/24` en dus `/_ BTP ~~ 12,5^@` .

En dus is `/_ BTE ~~ 25^@` .

Opgave 4
a

A B C D is een rechthoek van 8 bij 6 cm. Dus is driehoek A B C een rechthoekige driehoek waarin je de stelling van Pythagoras kunt doen: A C = 8 2 + 6 2 = 10 .

b

Teken eventueel rechthoek A C G E .

A G = 10 2 + 5 2 = 125 en C M = 5 2 + 5 2 = 50 cm.

c

Δ A C N Δ G M N omdat `/_ ANC = /_ GNM` (overstaande hoeken) en `/_ CAN = /_ MGN` (Z-hoeken). Dus hebben beide driehoeken gelijke hoeken en zijn ze gelijkvormig.

d

Omdat A C : G M = 2 : 1 en Δ A C N Δ G M N zijn de zijden van Δ A C N 2 keer zo groot dat die van Δ G M N . En dus is C N = 2 3 C M = 2 3 50 4,71 .

e

Je hebt `AC = 10` al berekend.
Uit `tan(/_ CAN) = 5/10` volgt dat `/_ CAN ~~ 26,6^@` .
Uit `tan(/_ ACM) = 5/5` volgt dat `/_ ACM = 45^@` .
Dus is `/_ ANC ~~ 180^@ - 26,6^@ - 45^@ = 108,4^@` .
Sinusregel: `10/(sin(108,4^@)) = (CN)/(sin(26,6^@))` geeft `CN~~4,71` .

Opgave 5
a

Een prisma (de zijwand is dan het grondvlak van dit prisma).

b

De onderste zijde moet `4,3` cm lang zijn (in verband met de dikte van het hout).
De voorste zijde is moet `6,3` cm lang zijn (de onderste helft is dichtgemaakt met een plankje dat een hoogte van `3,3` cm heeft en waarvan de onderste `0,3`  cm te maken heeft met de dikte van het hout).
De achterste zijde moet `8,3` cm lang zijn.
De schuine bovenzijde wordt `sqrt(4,3^2 + 2^2) ~~ 4,7` cm lang.

c

De onderste twee hoeken zijn recht.
Voor de bovenste hoek tegen de achterzijde geldt `tan(alpha) = (4,3)/2` zodat `alpha ~~ 65^@` is.
De bovenste hoek aan de voorzijde is daarom ongeveer `180^@ - 65^@ = 115^@` .

Opgave 6
a

De twee gelijke benen zijn `sqrt(1^2 + 1,5^2) = sqrt(3,25) ~~ 1,80` m.
De basis is `sqrt(1^2 + 1^2) = sqrt(2) ~~ 1,41` m.

b
Opgave 7
a

Zie figuur. De piramide is niet regelmatig, want het grondvlak is geen vierkant.

b

E P = 5 2 + 4 2 = 41 en dus is A E = 41 + 3 2 = 50 . Zo lang zijn alle opstaande ribben.

c

Neem aan, dat M het midden van B C is, dan is M F = 5 2 + 3 2 = 34 .

Dus is `tan(/_ MBF) = (sqrt(34))/4` zodat `/_ MBF ~~ 56^@` .
De gevraagde hoeken zijn daarom `56^@` , `56^@` en `68^@` .

d

`tan(/_ PAE) = (sqrt(41))/3` zodat `/_ PAE ~~ 58^@` .
De gevraagde hoeken zijn daarom `58^@` , `58^@` en `122^@` .

Opgave 8

Bereken eerst de omtrek van de grondcirkel `pi*8,6~~27,0` cm.
Maak dan de figuur zoals die in het voorbeeld, maar nu correct op schaal.

Opgave 9

Het ronde grondvlak van de kegel ontstaat uit de halve cirkelboog van plaat koper en heeft dus een omtrek van `1/2 * pi * 12 = 6pi` cm.
De grondcirkel van de kegel heeft een diameter `d` . En de omtrek is `pi*d = 6pi` .
De diameter van de grondcirkel is daarom `6` cm.

De straal van de uitgesneden halve cirkel wordt bij de kegel de lengte van een lijnstuk vanaf de top naar de grondcirkel.
Dat is de langste zijde van een rechthoekige driehoek met rechthoekszijden de hoogte van de kegel en de straal van de grondcirkel. De hoogte van de kegel wordt daarom `sqrt(6^2 - 3^2) = sqrt(27) ~~ 5,2` cm.

Opgave 10

Teken de kubus.

`/_ HBD` ligt in diagonaalvlak D B F H , een rechthoek van 4,5 2 bij 4,5 . Dus is `tan(/_ HBD) = (4,5)/(sqrt(40,5))` zodat `/_ HBD ~~ 35^@` .

Δ A C F is gelijkzijdig, dus `/_ ACF = 60^@` .

Opgave 11
a

Teken de piramide.

In het grondvlak is A C = 8 2 + 6 2 = 10 . Als S het snijpunt is van A C en B D , dan is S T de hoogte van de piramide. Met de stelling van Pythagoras vind je S T = 10 2 - 5 2 = 75 .

b

Omdat `sin(/_ ATS) = 5/10 = 0,5` is `/_ ATS = 30^@` en dus `/_ ATC = 60^@` .

`/_ BAT` ligt in de gelijkbenige driehoek A B T . Dus `cos(/_ BAT) = 4/10 = 0,4` zodat `/_ BAT ~~ 66,4^@` .

Opgave 12
a

Teken de balk.

`AC = sqrt(4^2+3^2) = 5` en `AG = sqrt(5^2+3^2) = sqrt(34)` .
`HB = AC = sqrt(34)` en `AS = BS = 1/2 sqrt(34)` .
`Delta ABS` is gelijkbenig, dus `cos(/_ BAS) = (2)/(1/2 sqrt(34))` zodat `/_ BAS ~~ 46,7^@` .
De gevraagde `/_ ASB ~~ 180^@ - 2*46,7^@ ~~ 87^@` .

b

Nu gebruik je de gelijkbenige driehoek `ASC` : `tan(/_ CAS) = (5)/(sqrt(34))` zodat `/_ CAS ~~ 40,6^@` .
De gevraagde `/_ ASC ~~ 180^@ - 2*40,6^@ ~~ 99^@` .

Opgave 13
a

Een regelmatig achtzijdig prisma.

b

De achthoek bestaat uit acht gelijkbenige driehoeken met een tophoek van 360 ° / 8 = 45 ° .
De hoeken van de achthoek worden gevormd door twee basishoeken en zijn daarom 135 °.

c

Zie figuur. A P = 7,8 sin ( 67,5 ) 7,21 . Dus A C 14,41 .
En daardoor is A M 2 + M C 2 = 2 A M 2 14,41 2 en dus A M 103,86 10,19 .
Het langste staafje op de bodem heeft een lengte van 2 A M 20,38 20,4  cm.

d

Ongeveer 20,38 2 + 3,3 2 20,6 cm.

Opgave 14
a

3 2 + 8 2 = 73

b

8 2 - 4 2 = 48

Opgave 15

Zie figuur.

De omtrek van de onderste cirkel van de afgeknotte kegel is `pi*16` en is ook de omtrek van de uitgesneden halve cirkel. Die moet daarom een diameter van `32` cm hebben.
De hoogte van de afgeknotte kegel is `sqrt(44^2-22^2) ~~ 38,1` cm.

Opgave A1
a

Afhankelijk van enkele details (de hoogte van de voet bijvoorbeeld) ongeveer een halve bol met een straal van `1` m.

b

Afhankelijk van enkele details (de hoogte van de voet bijvoorbeeld) ongeveer een halve cilinder met een hoogte van `50` cm en een straal van `1` m met op beide uiteinden van de cilinder een kwart bol met een straal van `1` m.

Opgave A2
a

Maximaal `6+10 = 16` cm.

b

Een halve cilinder met een straal van `16` cm. Op de uiteinden kunnen theoretisch nog twee halve cilinders met een straal van `10` cm, maar in de praktijk zullen die niet volledig kunnen worden gehaald omdat dan de buis in de weg zit.
In de volgende paragraaf ga je hier een bovenaanzicht bij maken.

Opgave T1
a
b

`AP=sqrt(35)`

`PQ=sqrt(8)`

c

`∠APM≈76^@` , `∠AQM≈76^@` en `∠PAQ≈28^@` .

Opgave T2

`~~ 34,6` cm.

verder | terug