Ruimtelijke figuren

Ruimtelijke figuren > Aanzichten

12345Aanzichten

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1

Dit is een halve balk $A B C D . E F$ met als grondvlak rechthoek $A B C D$ met $A B = 10$ en $B C = 6$ cm. Zie verder de figuur.

Je moet wel $A E$ berekenen met de stelling van Pythagoras: $A E = \sqrt{10^{2} + 6^{2}} = \sqrt{136} \approx 11,7$ cm.

Opgave 1

$8$ cm, namelijk de lengte van (bijvoorbeeld) $C F$ . (Denk aan het voorgaande onderdeel, of kijk nog even terug als je niet meer weet waarom $C F = 8$ cm.)

$4 \sqrt{3}$ cm, namelijk de lengte van (bijvoorbeeld) $B D$ . (Denk aan het voorgaande onderdeel, of kijk nog even terug als je niet meer weet waarom $B D = 3 \sqrt{3}$ cm.)

Alleen in het vooraanzicht.

Opgave 2

Neem aan, dat $S$ het midden is van de cirkel door de hoekpunten van het grondvlak. Dan kun je in $Δ A S T$ de stelling van Pythagoras toepassen.
$S T = \sqrt{12^{2} - 4^{2}} = \sqrt{128} \approx 11,3$ cm.

Alleen de ribben $A T$ en $D T$ in het vooraanzicht.

Opgave 3

Om een regelmatig driezijdig prisma.

De hoogte van het vooraanzicht is hetzelfde als de hoogte van het zijaanzicht.
In het vooraanzicht kun je die hoogte uitrekenen: $\sqrt{6^{2} - 3^{2}} = \sqrt{27} \approx 5,2$ .

Opgave 4

Doen. Lees in het voorbeeld na hoe het vooraanzicht wordt getekend.

$M$ is het midden van $A D$ .
Gebruik de stelling van Pythagoras in $Δ A M E$ .
De gevraagde hoogte wordt $\sqrt{4^{2} - 3^{2}} + 6 = 6 + \sqrt{7} \approx 8,65$ dm.

`sin(/_ AEM) = 3/4 = 0,75` zodat `/_ AEM ~~ 48,6^@` en `/_ AED ~~ 97,2^@ ~~ 97^@` .

Opgave 5

Het bovenaanzicht is een vierkant van $4$ bij $4$ cm met daarin de twee diagonalen getekend als aanzicht van de vier ribben van de piramide. Voor het vooraanzicht en het zijaanzicht moet je (bijvoorbeeld) eerst de hoogte $T S$ van de piramide berekenen waarin $S$ het snijpunt van $A C$ en $B D$ is. Ga na dat $T S = \sqrt{8}$ .

Zet de letters op de juiste plek bij de aanzichten. Laat je antwoord even controleren.

Opgave 6

Een gelijkbenige driehoek met een basis van $8$ cm en een hoogte van $6$ cm. Dat kan niet anders omdat het lichaam een veelvlak is en er dus geen gebogen grensvlakken zijn.

Dat staat in het voorbeeld. Merk nog op dat je die hoogte in het zijaanzicht kunt zien! Het is de linker van de twee gelijke benen van het zijaanzicht. Als je daar dan een hoogtelijn vanuit $T$ in tekent, dan kun je de hoogte van $Δ A B T$ berekenen met de stelling van Pythagoras.

De totale oppervlakte is `8 * 6 + 2 * 1/2 * 6 * sqrt(52) + 2 * 1/2 * 8 * sqrt(45) ~~ 144,93` cm².

Opgave 7

Dit is een regelmatig driezijdig prisma.

Alle drie de opstaande grensvlakken zijn vierkanten met een oppervlakte van $4 \cdot 4 = 16$ cm².
De twee gelijkzijdige driehoeken hebben een oppervlakte van $\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 2 \sqrt{3} = 4 \sqrt{3}$ cm².
De totale oppervlakte is dus $48 + 8 \sqrt{3}$ cm².

Opgave 8

Maak de figuur zoals die in het voorbeeld, maar nu correct op schaal.

Meet na het vouwen van de kegel zowel de diameter van de grondcirkel als de hoogte na.
Controleer dat je ongeveer uitkomt op de opgegeven maten. (Denk aan de schaal!)

Opgave 9

De grondcirkel heeft een diameter van `4` dm en de topcirkel een diameter van `2` dm. Dat is gemakkelijk te tekenen.

Omtrek grondcirkel: `2*pi*2 = 4pi` .

De cirkel waar de kegelmantel deel van is, heeft een straal van `6` dm, dus de omtrek van deze cirkel is: `2*pi*6 = 12pi` . De sectorhoek wordt dan `4/12*360^@ = 120^@` . Denk er bij het tekenen aan dat de kegel afgeknot is.

Opgave 10

Zie figuur. Bereken eerst $M T = \sqrt{5^{2} - 3^{2}} = 4$ .

Eerst bereken je $M B = \sqrt{6^{2} - 3^{2}} = 3 \sqrt{3}$ .
En dan is $B T = \sqrt{{(3 \sqrt{3})}^{2} + 4^{2}} = \sqrt{43}$ cm.

`sin(/_ MTB) = 5/(sqrt(43))` geeft `/_ MTB ~~ 50^@` .

Opgave 11

Het bovenaanzicht is een vierkant $A B E D$ met zijden van $4$ cm. Lijnstuk $F C$ verbindt de middens van $D E$ en $A B$ .

Omdat $A C = B C = \sqrt{2^{2} + 4^{2}} = \sqrt{20} = 2 \sqrt{5}$ is de totale oppervlakte $4 \cdot 4 + 2 \cdot 4 \cdot 2 \sqrt{5} + 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 = 32 + 16 \sqrt{5}$ .

Opgave 12

Teken eerst een vierkant van $5$ bij $5$ cm. Verbind de middens van de onderste en de bovenste zijde en laat deze lijn aan beide zijden $2,5$ cm uitsteken. Je krijgt dan deze figuur.

Maak een schets van de figuur met de letters op de juiste plek. Neem aan dat $P$ het midden van $A B$ is en dat $Q$ op $E F$ ligt met $E Q = 25$ cm.

Je weet dan dat $P Q = 100$ cm, de hoogte van het beeld.
Verder is $B Q = \sqrt{100^{2} + 25^{2}} = \sqrt{10625}$ . Daaruit volgt dat $B E = \sqrt{10625 + 25^{2}} = \sqrt{11250} \approx 106,1$ cm.

Het grondvlak hoeft niet, daar staat het beeld op. Het gaat daarom om de trapeziums $B C F E$ en $D A E F$ en de gelijkbenige driehoeken $A B E$ en $C D F$ .

Beide gelijkbenige driehoeken hebben een basis van $50$ cm en een hoogte van $P E = \sqrt{100^{2} + 25^{2}} = \sqrt{10625}$ . Hun oppervlakte is $25 \sqrt{10625}$ .

De oppervlakte van één van beide trapeziums is $\frac{1}{2} \cdot (100 + 50) \cdot \sqrt{10625} = 75 \sqrt{10625}$ .

De totale oppervlakte is daarom $200 \sqrt{10625} \approx 20616$ cm².

Opgave 13

Merk eerst op dat `FG = 3` m omdat `Delta BGF` gelijkzijdig is.
Noem `F'` het midden van `AB` en `G'` het midden van `BC` .
Dan is `F'G' = FG` en dus is `AC = 2*F'G'= 6` .
Vierkant `ABCD` heeft daarom zijden van `sqrt(18)` cm.
Teken dat vierkant en verbind de middens van de overstaande zijden.

Bekijk `Delta ACT` . Daarvan is `AC = 6` en `AT = CT = 2*sqrt(3^2-1,5^2) = sqrt(27)` .

En dus is `TS = sqrt((sqrt(27))^2 - 3^2) = sqrt(18)~~4,24` m.

Bekijk `Delta AFB` . Daarvan is `AF = BF = 3` en `AB = sqrt(18)` .

En dus is `sin(/_ AFF') = (0,5sqrt(18))/3` zodat `/_ AFB = 90^@` .

Opgave 14

Alle zijden zijn `sqrt(4^2 + 4^2) = sqrt(32) ~~ 5,66` cm.

`cos(/_ BFG) = (2 sqrt(2))/6` geeft `/_BFG ~~ 62^@` .
Vanwege de symmetrie is `/_BGF ~~ 62^@` en `/_GBF ~~ 56^@` .

Zie figuur.

`8 * 8 + 4sqrt(2)*4sqrt(2) + 4 * 1/2 * 8 * sqrt(20) + 4 * 1/2 * 4sqrt(2)*sqrt(28) ~~ 227,42` cm².

Opgave 15

De omtrek van de uitgesneden kwart cirkel is `1/4*pi*20 = 5pi` en is ook de omtrek van de onderste cirkel van de afgeknotte kegel. Die moet daarom een diameter van `5` cm hebben.
De hoogte van het driehoekig zijaanzicht is `sqrt(10^2-2,5^2) ~~ 9,7` cm.

Opgave A1Drinkbeker

Drinkbeker

De kegel wordt per `10` cm hoogte, `3` cm kleiner in diameter. De hoogte is dus `3*10 = 30` cm.

Opgave A2Bakjes

Bakjes

Ribbe `2` - `6` heeft niet de ware lengte in het bovenaanzicht.

Ribbe `2` - `6` heeft alleen voor bakje A de ware lengte in het zijaanzicht.

Zie de figuur. De gevraagde lengte is de lengte van lijnstuk `AC` :
`AB^2 = AD^2 + BD^2 = 20^2 + 10^2 = 500` dus `AC^2 = AB^2 + BC^2 = 500 + 1600 = 2100` zodat `AB = sqrt(2100) ~~ 45,8` .

Opgave T1

`TS ~~ 4,3` cm.

Zie figuur.

Er zijn zijvlakken van `6` , `6` en `8` cm als zijden.
Die hebben hoeken van `48^@` , `48^@` en `84^@` .

Er zijn zijvlakken van `6` , `6` en `4` cm als zijden.
Die hebben hoeken van `71^@` , `71^@` en `38^@` .

`~~ 196,81` cm².

Opgave T2

Een cirkelsector met een straal van `6` cm en een sectorhoek van `120^@` .

`~~ 37,7` cm².

verder | terug