Ruimtelijke figuren > Doorsneden
12345Doorsneden

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1
a

De figuren I en IV zijn fout. De punten van deze vierhoeken op de ribben van de kubus liggen niet in een plat vlak maar op een gebogen oppervlak. Pak er eventueel een draadmodel van een kubus bij en maak daarin de figuren door touwtjes te spannen. Alleen als het mogelijk is om alle touwtjes precies achter elkaar te zien als je de kubus in een geschikte stand houdt, liggen ze allemaal in één plat vlak.

b

Dat kan op verschillende manieren.

c

Die doorsnede is een rechthoek van 2 cm bij 2 2 + 1 2 = 5 cm.

Opgave 1
a

Dan ligt diagonaalvlak A C G E recht voor je en dat is een rechthoek van 50 = 5 2 bij 5. In de figuur zie je nu de punten A, P, G en Q op één lijn liggen.

b

Nee, dat is onmogelijk.

c

Ze zijn allemaal zijden van een rechthoekige driehoek van 5 bij 2,5 cm waarvan de langste rechthoekszijde horizontaal (evenwijdig met het grondvlak van de kubus) is. En daarom zijn ze ook even lang.

d

Begin met diagonaal P Q . Deze diagonaal heeft een lengte van 50 cm. Daarna cirkel je vanuit punt P de zijden P A en P G om en vanuit punt Q cirkel je Q A en Q G om. Nu kun je de ruit afmaken.

e

Dat kan in de ruit die je zojuist bij d hebt getekend, of in het diagonaalvlak A C G E . In beide gevallen heb je de stelling van Pythagoras nodig: A G = 75 = 5 3 .

Opgave 2
a

Ze zijn niet evenwijdig. Verder liggen ze in vlakken die evenwijdig zijn, dus kunnen ze elkaar ook niet snijden (al lijkt dat misschien als je de lijnstukken A H en P G langer maakt wel zo te zijn).

b

Ze zijn kruisend. Want ze liggen in twee verschillende evenwijdige vlakken en lopen niet evenwijdig.

c

De lijnen zijn snijdend want ze liggen beide in het voorvlak van de kubus.

Opgave 3
a

Er zijn punten buiten deze driehoek die zowel op het vlak door die drie punten als binnen of op de kubus liggen.

b

Omdat lijnstuk K L evenwijdig moet zijn met ribbe C G .

c

De doorsnede is een rechthoek met lengte K C en breedte C G . De lengte van K C bereken je met de stelling van Pythagoras: K C = 3 2 + 6 2 = 45 cm.

Opgave 4
a

De lijn `DG` is hypotenusa van een rechthoekige driehoek met rechthoekszijden `DC = 6` en `CG = 4` .
De lijn `PQ` is hypotenusa van een rechthoekige driehoek met rechthoekszijden `PB = 3` en `BQ = 2` .
Beide lijnen liggen in evenwijdige vlakken (voorvlak en achtervlak van de balk) en de driehoeken `DCG` en `PBQ` zijn gelijkvormig.

b

Doen, gebruik de stelling van Pythagoras. Het antwoord staat in het voorbeeld.

c

Doen, gebruik de stelling van Pythagoras en eventueel de gelijkvormigheid.

d

Doen, gebruik de stelling van Pythagoras in Δ P C G .

e

Teken eerst Δ D G P (daarvan weet je alle zijden) en zet daar Δ P G Q op.

Opgave 5
a

Evenwijdige lijnen.

b

Kruisende lijnen.

c

Kruisende lijnen.

d

Snijdende lijnen.

e

Snijdende lijnen.

f

Kruisende lijnen.

Opgave 6
a

Nee, want bijvoorbeeld M K en H N zijn niet evenwijdig.

b

Ja, van deze driehoek liggen alle zijden op de grensvlakken van de balk.

c

Nee, van deze driehoek liggen maar twee zijden op de grensvlakken van de balk, de andere zijde niet. Er zijn dus nog punten van het vlak door K, M en N die binnen of op de balk en buiten de gegeven driehoek liggen.

d

M B = 6 2 + 2,5 2 = 42,25 = 6,5 en B N = 4 2 + 2,5 2 = 22,25 4,7 .
Verder is diagonaal M N = 6 2 + 4 2 = 52 7,2 .
Nu kun je eerst Δ M B N tekenen. Maar omdat M H = B N en H N = M B kun je Δ M H N daar tegenaan tekenen.

Opgave 7
a

De lijnstukken K L en M N liggen op evenwijdige lijnen en de andere twee zijden van de vierhoek snijden deze beide lijnen.

b

M N = 8 en K L = 4 cm (vanwege de gelijkvormigheid van de driehoeken K B L en A B C ). Verder is N K = L M = 4 2 + 4 2 = 4 2 .
K L M N is een gelijkbenig trapezium. In de figuur zie je hoe je het nu kunt tekenen.

c

In de figuur bij b zie je dat `cos(/_ NML) = 2/(4sqrt(2))` zodat `/_ NML ~~ 69^@` .
De vierhoek heeft dus twee hoeken van ongeveer `69^@` en twee van ongeveer `111^@` .

Opgave 8

`P` is het midden van `BC` . De standhoek is dan `/_TPG` .

Omdat `TP = BT = TC = 1/2 * sqrt(1^2+1^2) = 1/2 sqrt(2)` is `tan(/_TPG) = (1,5)/(1/2 sqrt(2))` en dus `/_TPG ~~ 64,8^@` .

Opgave 9

Alleen in de rechter figuur is daarvan sprake.
De lijnen B Q en G H in de linkerfiguur zijn kruisende lijnen, dus kunnen die lijnen nooit in één vlak liggen. In de rechter figuur zijn de lijnen C H en P Q evenwijdig (vanwege de gelijkvormigheid van de driehoeken A P Q en D C H , waardoor de hoeken van beide driehoeken gelijk zijn).

Opgave 10
a

Kruisend, deze lijnen liggen niet in één vlak.

b

Snijdend, deze lijnen liggen in vlak P C G R .

c

Kruisend, deze lijnen liggen niet in één vlak.

d

Evenwijdig en deze lijnen liggen in vlak P C G R .

e

Snijdend, deze lijnen liggen in vlak A B C D .

Opgave 11
a

Δ B C T is een gelijkbenige driehoek met hoogte T M = 12 2 - 4 2 = 128 = 8 2 . Als N het midden is van M C , dan is Δ B N P rechthoekig met rechthoekszijden B N = 6 en N P = 4 2 (gebruik de gelijkvormigheid van de driehoeken N C P en M C P ).
En dus is B P = 6 2 + ( 4 2 ) 2 = 68 .

b

Vierhoek A B P Q is een symmetrisch trapezium met A B = 8 cm, P Q = 4 cm en B P = A Q = 68 cm.

c

In de figuur bij b zie je dat `cos(/_ BAQ) = 2/(sqrt(68))` zodat `/_ BAQ ~~ 69^@` .
De vierhoek heeft dus twee hoeken van ongeveer `76^@` en twee van ongeveer `104^@` .

Opgave 12
a

Je hebt (vorige onderdeel, verwerken) uitgerekend dat `AC = 6` en `AT = CT = 3sqrt(3)` .

Dus is `cos(/_ CAT) = (3)/(3sqrt(3))` zodat `/_ CAT ~~ 54,7 ~~ 55^@` .
Hieruit volgt `/_ ACT ~~ 55^@` en `/_ ATC ~~ 71^@` .

b

Dit is een symmetrische vijfhoek met `MN = 3sqrt(2)` , `ME = NG = sqrt(3^2 - (1,5sqrt(2))^2) = sqrt(4,5)` en `TS = sqrt(22,5)` .

Opgave 13
a

Teken doorsnede `FPQ` met `P` op `AB` met `PB=3` en `Q` op `CD` met `CQ=3` . `Delta FPQ` is een gelijkbenige driehoek met basis `PQ = 8` en hoogte `5` m.
De gevraagde standhoek is `/_ PFQ` .
Omdat `tan(1/2 /_ PFQ) = 4/5` is `/_ PFQ ~~ 77^@` .

b

Omdat vlak `BFC` niet loodrecht op de snijlijn van `ABFE` en `CDEF` staat.

Opgave A1
a

Zie figuur bij b.

b
c

Begin met de driehoekige vloer. Daartoe deel je het lijnstuk vanaf het midden M van de middelste vloer naar de top G in twee gelijke delen. Een horizontale lijn door dit punt in diagonaalvlak A B G H snijdt ribbe G H en dat is een hoekpunt van deze vloer. Nu trek je een lijnstuk evenwijdig aan H F tot ribbe F G en vanuit het punt op die ribbe een lijnstuk evenwijdig aan F C tot ribbe G C en tenslotte weer terug naar het punt op ribbe G H . Let op het stippelen.

Opgave A2
a

De hoogte tussen deze twee verdiepingen is eenvierde deel van de totale hoogte van de kubus. Die is dus 10 m.

b

Als die ribben een lengte van a m hebben, dan is A G = a 3 = 10 . Dus de ribbelengte is a = 10 3 5,77  m.

c

Omdat A B G H een rechthoekig diagonaalvlak van de kubus is, is `sin(/_ HAG) = (5,77...)/10` , zodat `/_ HAG ~~ 35,3^@` .

Opgave T1
a

Ja, ze liggen beide in één vlak, namelijk het bovenvlak en zijn niet evenwijdig.

b

Nee, ze liggen niet in één vlak en zijn niet evenwijdig.

c

Nee, want de lijnen `ER` en `AC` zijn kruisende lijnen.

d

Ja, want de lijnen `ER` en `BQ` snijden elkaar op het verlengde van `FG` .

Opgave T2
a

`DB // // NM` .

b

De hoeken van `DBMN` zijn dus `72^@` , `72^@` , `108^@` en `108^@` .

c

`~~ 71^@`

verder | terug