Ruimtelijke figuren > Oppervlakte en inhoud
12345Oppervlakte en inhoud

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1

Zie de tabel hieronder.

Formule Betekenis
1 `0,5 xx` basis `xx` hoogte c oppervlakte driehoek
2 lengte `xx` breedte `xx` hoogte f inhoud balk
3 grondvlak `xx` hoogte g inhoud prisma
4 `pi xx` diameter a omtrek cirkel
5 lengte `xx` breedte b oppervlakte rechthoek
6 `1/3 xx` grondvlak `xx` hoogte h inhoud piramide
7 basis `xx` hoogte d oppervlakte parallellogram
8 `pi xx` straal2 e oppervlakte cirkel
Opgave 1
a

Balk: G = 4 3 = 12 en h = 6 geeft V = 12 6 = 72 .

Prisma: G = 1 2 4 3 = 6 en h = 6 geeft V = 6 6 = 36 .

b

2 4 3 + 2 4 6 + 2 3 6 = 108 .

c

Bereken eerst A C = 4 2 + 3 2 = 5 .
De oppervlakte is dan 2 1 2 4 3 + 4 6 + 3 6 + 5 6 = 84 .

d

Alle delen van de uitslag worden zowel in de lengterichting als in de breedterichting 3 keer zo groot. De oppervlakte ontstaat door lengte en breedte te vermenigvuldigen, dus die wordt dan 3 3 = 9 keer zo groot.

En voor de inhoud wordt (net als de lengte en de breedte) ook de hoogte 3 keer zo groot. De inhoud wordt daarom 3 3 3 = 27 keer zo groot.

Opgave 2
a

Doen.

b

Van piramide A C D . H is G = 1 2 A D D C = 1 2 4 3 = 6 en h = 6 . Dus G h = 36 .

Van piramide C G H . E is G = 1 2 H G C G = 1 2 4 6 = 12 en h = 3 . Dus G h = 36 .

Van piramide A H E . C is G = 1 2 E H A E = 1 2 3 6 = 9 en h = 4 . Dus G h = 36 .

c

In het prisma met hetzelfde grondvlak als deze piramide en dezelfde hoogte passen drie piramides die dezelfde inhoud als piramide V = 1 3 G h hebben. Van elk van hen is de inhoud dus V = 1 3 G h . En dus is V ( A C D . H ) = 1 3 6 6 = 12 .

Opgave 3
a

Omdat een cilinder lijkt op een prisma. Elke doorsnede loodrecht op de as is hetzelfde. Dus ook bij een cilinder krijg je het volume door het aantal eenheidskubussen op het grondvlak te vermenigvuldigen met het aantal lagen, de hoogte van de cilinder.

b

`G = pi * 2^2 = 4pi` en h = 5 geeft `V = 4pi*5 = 20pi ~~ 62,8` cm3.

c

Omdat een kegel lijkt op een piramide. Een piramide waarvan het grondvlak een veelhoek is met oneindig veel hoekpunten.

d

`G = pi * 2^2 = 4pi` en h = 5 geeft `V = 1/3 *4pi*5 = 20/3 pi ~~ 20,9` cm3.

Opgave 4
a

De inhoud van de cilinder wordt `V = pi*8^2*20 = 1280pi ~~ 4021` cm3.
En inderdaad is `1280pi = 8*160pi` .

b

Een uitslag van een cilinder bestaat uit twee cirkels, de grondcirkel en de bovencirkel, met daartussen een rechthoek.
Die rechthoek heeft als lengte de omtrek van zo'n cirkel en als breedte de hoogte van de cilinder.
Met de omtrekformule voor de cirkel reken je de lengte van die rechthoek uit. De oppervlakte is lengte `xx` breedte.
De oppervlakte van grondcirkel en bovencirkel bereken je met de oppervlakte formule van een cirkel.
Tenslotte tel je de oppervlakte van de rechthoek en de twee cirkels bij elkaar op.

c

De oppervlakte van de cilinder wordt `A = pi*16 * 20 + 2*pi*8^2 = 448pi ~~ 1407` cm2.
En inderdaad is `448pi = 4*112pi` .

Opgave 5

Eerste manier: de oppervlakte is `A = pi*12*16 + pi*6^2 = 228 pi` , dus de hoeveelheid metaal is `H = 0,1*228 pi = 22,8 pi ~~ 71,628` cm3.

Tweede manier: de hoeveelheid metaal is `H = pi*6,1^2 * 16,1 - pi*6^2 * 16 = 23,081 pi ~~ 72,511` cm3.

In feite is de eerste manier onnauwkeurig, omdat er geen rekening is gehouden met de iets bredere grondcirkel (de straal is eigenlijk 6,1 cm) en met de hoeveelheid metaal die nodig is om van de rechthoek een ronde buis te maken.

Opgave 6

Noem de straal van de cilinder r en de hoogte h, beide in cm.
Er geldt h = 2 r .
Voor een literblik geldt `V = G*h = pi*r^2*h = 1000` .

Dus `pi*r^2*2r = 1000` ofwel `r^3 = 1000/(2pi)` en `r = (1000/(2pi))^(1/3) ~~ 5,4` cm.
De hoogte is ongeveer `10,8` cm.

Opgave 7
a

Eerst verdeel je de vijfhoek in een vierkant en twee rechthoekige driehoeken. Het vierkant heeft zijden van 6 dm en dus is daarvan de oppervlakte 6 2 = 36 dm2. De twee rechthoekige driehoeken hebben rechthoekszijden van 3 dm en 4 2 - 3 2 = 7 dm. Samen vormen ze een driehoek met een basis van 6 dm en een hoogte van 7 dm en dus een oppervlakte van 1 2 6 7 .

b

Doen, gebruik de formule in het voorbeeld.

c

`A = 2 * (6^2 + 0,5 * 6 * sqrt(7)) + 3 * 6 * 9 + 2 * 4 * 9 = 306 + 6sqrt(7) ~~ 322` dm2.

Opgave 8

Bereken eerst de hoogte van deze piramide: h = 6 2 - ( 2 2 ) 2 = 28 .

De inhoud is dan V = 1 3 4 4 28 = 16 3 28 cm3.

Bereken vervolgens de hoogtes van de vier gelijke opstaande grensvlakken: h = 6 2 - 2 2 = 32 .

De totale oppervlakte is dan A = 4 4 + 4 1 2 4 28 = 16 + 8 28 cm2.

Opgave 9
a

`V = 1/3 * pi*5^2 * 10 = 250/3 pi ~~ 262` cm3

b

De inhoud wordt dan ( 1 2 ) 3 = 1 8 keer zo groot, dus `1/8 * 250/3 pi ~~ 33` cm3.

c

De uitslag van de kegel is een cirkelsector met een straal van `sqrt(5^2+10^2)=sqrt(125)` .
Van deze cirkel met straal `sqrt(125)` en dus omtrek `2pi*sqrt(125)` heb je een sector nodig met een cirkelboog van lengte `pi*10` (de omtrek van de grondcirkel). Dat is het `(pi*10)/(2pi*sqrt(125))` -de deel.
De oppervlakte daarvan is `(pi*10)/(2pi*sqrt(125))*pi*(sqrt(125))^2 = 5*pi*sqrt(125) = pi*5*sqrt(5^2+10^2)` .
Je hebt nu de oppervlakte van de grondcirkel niet meegeteld!

d

Zonder grondvlak: `A = pi * r * sqrt(r^2+h^2)`

Met grondvlak: `A = pi * r * sqrt(r^2+h^2) + pi*r^2`

Opgave 10

Voor het betonblok zonder gat is 50 50 50 = 125000 cm3 beton nodig. Het gat heeft een volume van `1/3 * pi * 7,5^2 * 40 ~~ 2356` cm3.
Voor het betonblok met gat is 122644 cm3 beton nodig.

De oppervlakte is gelijk aan de oppervlakte van de kubus minus een cirkel met straal `7,5` en plus een kegeloppervlak.
Dus `A = 6*50*50 - pi*7,5^2 + pi*7,5*sqrt(7,5^2 + 40^2) ~~ 15782` cm2.

Opgave 11
a

`V = pi * 8^2 * 14 ~~ 2815` cm3.

b

Op ware grootte krijg je een rechthoek van `2 pi * 8 = 16pi` bij 14 met daarbij twee cirkels met straal 8 cm.
Op schaal 1 : 4 wordt dit een rechthoek van `4pi ~~ 12,6` bij 3,5 cm met twee cirkels met een straal van 2 cm.

c

De inhoud wordt `V = pi * 16^2 * 7 ~~ 5630` cm3.
Dus `2` keer zo groot.

Opgave 12
a

De afmetingen van het deksel zijn 1 3 deel van die van de hele spaarpot.
De volumevergrotingsfactor is daarom ( 1 3 ) 3 = 1 27 , dus het volume van de deksel is 1 27 deel van dat van de gehele piramide en dat is 1 27 0,037 deel, dus 3,7%.

b

De spaarpot bestaat uit een grondvlak van 18 cm bij 18 cm, vier opstaande driehoekige zijvlakken met een basis van 18 cm en een hoogte van 24 2 + 9 2 = 657 cm en twee scheidingsvlakjes van 6 bij 6 cm.

De benodigde hoeveelheid karton is daarom 4 1 2 18 657 + 18 2 + 2 6 2 1319 cm2 karton (exclusief plakrandjes).

Opgave 13
a

Omdat het hier zes gelijkzijdige driehoeken betreft die hoeken van `60^@` hebben, is de kleinste draaihoek ook `60^@` .

b

Het gaat om de inhoud van een regelmatig driezijdig prisma met als grondvlak een gelijkzijdige driehoek met een basis van 10 cm en een hoogte van 10 2 - 5 2 = 75 cm en een eigen hoogte van 2 cm. Daarvan moet de inhoud van een cilinder met een straal van 1,9 cm en een hoogte van 1,2 cm worden afgetrokken.

Er is dus `1/2 * 10 * sqrt(75) * 2 - pi * 1,9^2 * 1,2 ~~ 73` cm3 kunststof voor nodig.

Opgave 14
a

Het grondvlak bestaat uit acht gelijkbenige driehoeken met een basis van 7,8 cm en een tophoek van `(360^@)/8 = 45^@` .
Voor de hoogte h van zo'n driehoek geldt: `tan(22,5^@) = (3,9)/h` en dus `h = (7,9)/(tan(22,5^@)) ~~ 9,42` .
De oppervlakte van het grondvlak is daarmee ongeveer 8 1 2 7,8 9,42 293,8 cm2.

Het volume is ongeveer 293,8 3,3 969,4 cm3.

b

Van het grondvlak (en dus ook van het bovenvlak) is de oppervlakte al berekend bij a. Alle andere grensvlakken zijn rechthoeken van 7,8 cm bij 3,3 cm.

De oppervlakte is dus 2 293,8 + 8 7,8 3,3 793 cm2.

Opgave 15
a

`pi * 4^2 * 10 - 1/3 * pi * 4^2 * 10 ~~ 335` cm3.

b

`1,5^3 * 335,10... ~~ 1131` cm3.

b

De kegelmantel is het `(2pi *4)/(2pi sqrt(4^2 + 10^2))` -de deel van `pi*(sqrt(4^2+10^2))^2` en heeft dus een oppervlakte van `pi * 4 * sqrt(4^2 + 10^2)` .

`pi * 4^2 + pi * 8 * 10 + pi * 4 * sqrt(4^2 + 10^2) ~~ 437` cm2.

Opgave A1

Het volume van het middendeel onder het dak is dat van een prisma met als "grondvlak" een opstaande driehoek met een hoogte van 5 m en een basis van 8 m. De "hoogte" van het prisma is 6 m (de nok van het dak).
Het volume van de twee uiteinden van het dak is dat van een piramide met een hoogte van 5 m en als grondvlak een rechthoek van 6 m bij 8 m.

De inhoud is daarom 1 2 8 5 6 + 1 3 6 8 5 = 200 m3.

Opgave A2

Het dak bestaat uit twee driehoeken met een basis van 8 m en een hoogte van 5 2 + 3 2 = 34 en twee trapezia met een hoogte van 5 2 + 4 2 = 41 .

De oppervlakte is daarom 2 1 2 8 34 + 2 1 2 ( 12 + 6 ) 41 = 8 34 + 18 41 m2.

Opgave T1
a

`~~ 166,3` cm3.

b

`~~ 302` cm4.

c

Het volume wordt `~~ 2598076` cm3.

De oppervlakte wordt `~~ 188660` cm2.

Opgave T2

Oppervlakte `~~ 628` cm2.

Inhoud `~~ 1814` cm3.

verder | terug