Zie de tabel hieronder.
Formule | Betekenis | ||
1 | `0,5 xx` basis `xx` hoogte | c | oppervlakte driehoek |
2 | lengte `xx` breedte `xx` hoogte | f | inhoud balk |
3 | grondvlak `xx` hoogte | g | inhoud prisma |
4 | `pi xx` diameter | a | omtrek cirkel |
5 | lengte `xx` breedte | b | oppervlakte rechthoek |
6 | `1/3 xx` grondvlak `xx` hoogte | h | inhoud piramide |
7 | basis `xx` hoogte | d | oppervlakte parallellogram |
8 | `pi xx` straal2 | e | oppervlakte cirkel |
Balk: en geeft .
Prisma: en geeft .
.
Bereken eerst .
De oppervlakte is dan .
Alle delen van de uitslag worden zowel in de lengterichting als in de breedterichting keer zo groot. De oppervlakte ontstaat door lengte en breedte te vermenigvuldigen, dus die wordt dan keer zo groot.
En voor de inhoud wordt (net als de lengte en de breedte) ook de hoogte keer zo groot. De inhoud wordt daarom keer zo groot.
Doen.
Van piramide is en . Dus .
Van piramide is en . Dus .
Van piramide is en . Dus .
In het prisma met hetzelfde grondvlak als deze piramide en dezelfde hoogte passen drie piramides die dezelfde inhoud als piramide hebben. Van elk van hen is de inhoud dus . En dus is .
Omdat een cilinder lijkt op een prisma. Elke doorsnede loodrecht op de as is hetzelfde. Dus ook bij een cilinder krijg je het volume door het aantal eenheidskubussen op het grondvlak te vermenigvuldigen met het aantal lagen, de hoogte van de cilinder.
`G = pi * 2^2 = 4pi` en geeft `V = 4pi*5 = 20pi ~~ 62,8` cm3.
Omdat een kegel lijkt op een piramide. Een piramide waarvan het grondvlak een veelhoek is met oneindig veel hoekpunten.
`G = pi * 2^2 = 4pi` en geeft `V = 1/3 *4pi*5 = 20/3 pi ~~ 20,9` cm3.
De inhoud van de cilinder wordt
`V = pi*8^2*20 = 1280pi ~~ 4021`
cm3.
En inderdaad is
`1280pi = 8*160pi`
.
Een uitslag van een cilinder bestaat uit twee cirkels, de grondcirkel en de bovencirkel,
met daartussen een rechthoek.
Die rechthoek heeft als lengte de omtrek van zo'n cirkel en als breedte de hoogte
van de cilinder.
Met de omtrekformule voor de cirkel reken je de lengte van die rechthoek uit. De oppervlakte
is lengte
`xx`
breedte.
De oppervlakte van grondcirkel en bovencirkel bereken je met de oppervlakte formule
van een cirkel.
Tenslotte tel je de oppervlakte van de rechthoek en de twee cirkels bij elkaar op.
De oppervlakte van de cilinder wordt
`A = pi*16 * 20 + 2*pi*8^2 = 448pi ~~ 1407`
cm2.
En inderdaad is
`448pi = 4*112pi`
.
Eerste manier: de oppervlakte is `A = pi*12*16 + pi*6^2 = 228 pi` , dus de hoeveelheid metaal is `H = 0,1*228 pi = 22,8 pi ~~ 71,628` cm3.
Tweede manier: de hoeveelheid metaal is `H = pi*6,1^2 * 16,1 - pi*6^2 * 16 = 23,081 pi ~~ 72,511` cm3.
In feite is de eerste manier onnauwkeurig, omdat er geen rekening is gehouden met de iets bredere grondcirkel (de straal is eigenlijk cm) en met de hoeveelheid metaal die nodig is om van de rechthoek een ronde buis te maken.
Noem de straal van de cilinder en de hoogte , beide in cm.
Er geldt .
Voor een literblik geldt
`V = G*h = pi*r^2*h = 1000`
.
Dus
`pi*r^2*2r = 1000`
ofwel
`r^3 = 1000/(2pi)`
en
`r = (1000/(2pi))^(1/3) ~~ 5,4`
cm.
De hoogte is ongeveer
`10,8`
cm.
Eerst verdeel je de vijfhoek in een vierkant en twee rechthoekige driehoeken. Het vierkant heeft zijden van dm en dus is daarvan de oppervlakte dm2. De twee rechthoekige driehoeken hebben rechthoekszijden van dm en dm. Samen vormen ze een driehoek met een basis van dm en een hoogte van dm en dus een oppervlakte van .
Doen, gebruik de formule in het voorbeeld.
`A = 2 * (6^2 + 0,5 * 6 * sqrt(7)) + 3 * 6 * 9 + 2 * 4 * 9 = 306 + 6sqrt(7) ~~ 322` dm2.
Bereken eerst de hoogte van deze piramide: .
De inhoud is dan cm3.
Bereken vervolgens de hoogtes van de vier gelijke opstaande grensvlakken: .
De totale oppervlakte is dan cm2.
`V = 1/3 * pi*5^2 * 10 = 250/3 pi ~~ 262` cm3
De inhoud wordt dan keer zo groot, dus `1/8 * 250/3 pi ~~ 33` cm3.
De uitslag van de kegel is een cirkelsector met een straal van
`sqrt(5^2+10^2)=sqrt(125)`
.
Van deze cirkel met straal
`sqrt(125)`
en dus omtrek
`2pi*sqrt(125)`
heb je een sector nodig met een cirkelboog van lengte
`pi*10`
(de omtrek van de grondcirkel). Dat is het
`(pi*10)/(2pi*sqrt(125))`
-de deel.
De oppervlakte daarvan is
`(pi*10)/(2pi*sqrt(125))*pi*(sqrt(125))^2 = 5*pi*sqrt(125) = pi*5*sqrt(5^2+10^2)`
.
Je hebt nu de oppervlakte van de grondcirkel niet meegeteld!
Zonder grondvlak: `A = pi * r * sqrt(r^2+h^2)` .
Met grondvlak: `A = pi * r * sqrt(r^2+h^2) + pi*r^2` .
Voor het betonblok zonder gat is cm3 beton nodig.
Het gat heeft een volume van
`1/3 * pi * 7,5^2 * 40 ~~ 2356`
cm3.
Voor het betonblok met gat is cm3 beton nodig.
De oppervlakte is gelijk aan de oppervlakte van de kubus minus een cirkel met straal
`7,5`
en plus een kegeloppervlak.
Dus
`A = 6*50*50 - pi*7,5^2 + pi*7,5*sqrt(7,5^2 + 40^2) ~~ 15782`
cm2.
`V = pi * 8^2 * 14 ~~ 2815` cm3.
Op ware grootte krijg je een rechthoek van
`2 pi * 8 = 16pi`
bij
`14`
met daarbij twee cirkels met straal
`8`
cm.
Op schaal
`1 : 4`
wordt dit een rechthoek van
`4pi ~~ 12,6`
bij
`3,5`
cm met twee cirkels met een straal van
`2`
cm.
De inhoud wordt
`V = pi * 16^2 * 7 ~~ 5630`
cm3.
Dus
`2`
keer zo groot.
De afmetingen van het deksel zijn deel van die van de hele spaarpot.
De volumevergrotingsfactor is daarom , dus het volume van de deksel is deel van dat van de gehele piramide en dat is deel, dus %.
De spaarpot bestaat uit een grondvlak van cm bij cm, vier opstaande driehoekige zijvlakken met een basis van cm en een hoogte van cm en twee scheidingsvlakjes van bij cm.
De benodigde hoeveelheid karton is daarom cm2 karton (exclusief plakrandjes).
Omdat het hier zes gelijkzijdige driehoeken betreft die hoeken van `60^@` hebben, is de kleinste draaihoek ook `60^@` .
Het gaat om de inhoud van een regelmatig driezijdig prisma met als grondvlak een gelijkzijdige driehoek met een basis van cm en een hoogte van cm en een eigen hoogte van cm. Daarvan moet de inhoud van een cilinder met een straal van cm en een hoogte van cm worden afgetrokken.
Er is dus `1/2 * 10 * sqrt(75) * 2 - pi * 1,9^2 * 1,2 ~~ 73` cm3 kunststof voor nodig.
Het grondvlak bestaat uit acht gelijkbenige driehoeken met een basis van cm en een tophoek van
`(360^@)/8 = 45^@`
.
Voor de hoogte van zo'n driehoek geldt:
`tan(22,5^@) = (3,9)/h`
en dus
`h = (7,9)/(tan(22,5^@)) ~~ 9,42`
.
De oppervlakte van het grondvlak is daarmee ongeveer cm2.
Het volume is ongeveer cm3.
Van het grondvlak (en dus ook van het bovenvlak) is de oppervlakte al berekend bij a. Alle andere grensvlakken zijn rechthoeken van cm bij cm.
De oppervlakte is dus cm2.
`pi * 4^2 * 10 - 1/3 * pi * 4^2 * 10 ~~ 335` cm3.
`1,5^3 * 335,10... ~~ 1131` cm3.
De kegelmantel is het `(2pi *4)/(2pi sqrt(4^2 + 10^2))` -de deel van `pi*(sqrt(4^2+10^2))^2` en heeft dus een oppervlakte van `pi * 4 * sqrt(4^2 + 10^2)` .
De oppervlakte van de verflaag is: `pi * 4^2 + pi * 8 * 10 + pi * 4 * sqrt(4^2 + 10^2) ~~ 437` cm2.
Het volume van het middendeel onder het dak is dat van een prisma met als
"grondvlak"
een opstaande driehoek met een hoogte van m en een basis van m. De
"hoogte"
van het prisma is m (de nok van het dak).
Het volume van de twee uiteinden van het dak is dat van een piramide met een hoogte
van m en als grondvlak een rechthoek van m bij m.
De inhoud is daarom m3.
Het dak bestaat uit twee driehoeken met een basis van m en een hoogte van en twee trapezia met een hoogte van .
De oppervlakte is daarom m2.
`~~ 166,3` cm3.
`~~ 302` cm2.
Het volume wordt `~~ 2598076` cm3.
De oppervlakte wordt `~~ 188660` cm2.
Oppervlakte `~~ 628` cm2.
Inhoud `~~ 1814` cm3.