Ruimtelijke figuren > Totaalbeeld
12345Totaalbeeld

Antwoorden van de opgaven

Opgave T1

Een regelmatige zeshoek bestaat uit zes gelijkzijdige driehoeken. Als de zijden van die zeshoek 120 cm zijn is van elk van die driehoeken de basis 120 cm en de hoogte 60 3 cm. De oppervlakte van zo'n zeshoek is dan 6 1 2 120 60 3 = 21600 3 . Als de zijden van die zeshoek 80 cm zijn is van elk van die driehoeken de basis 80 cm en de hoogte 40 3 cm. De oppervlakte van zo'n zeshoek is dan 6 1 2 80 40 3 = 9600 3 .

De boombank heeft dus een oppervlakte van 12000 3 20785 cm2.

Opgave T2
a

De uitslag bestaat uit vier gelijkbenige driehoeken met benen van 9,8 cm en een basis van 6 cm.

b

Elk van de vier gelijkbenige driehoeken heeft een basis van 6 cm en een hoogte van 9,8 2 - 3 2 9,33  cm. De oppervlakte van de uitslag is dus 4 1 2 6 9,33 112 cm2.

c

`sin(1/2 /_ AFC) = 3/(9,8)` dus `/_ AFC ~~ 36^@` .

Opgave T3
a

`pi*12^2*30 ~~ 13571` cm3 en dat is ongeveer `13,6` liter.

b

`pi*24*30 ~~ 2262` cm2 papier.

c

`~~ (1/2)^2 * 2262 ~~ 565` cm2 papier en de letters worden `6` cm hoog.

Opgave T4
a

Omdat ze beide in de doorsnede A C Q P van een vlak met de balk liggen. Immers P Q / / A C .

b

De lijnen P G en A C zijn niet evenwijdig, dus deze punten liggen niet in één vlak.

c

Deze vierhoek is een trapezium met A C = 200 , P Q = 50 en A P = C Q = 5 2 + 12 2 = 13 . De hoogte van dit trapezium is 13 2 - ( 0,5 50 ) 2 = 156,5 .

De oppervlakte van A C Q P is daarom 1 2 ( 10 2 + 5 2 ) 156,5 133 cm2.

d

`sin(/_ CAP) = (sqrt(156,5))/13` dus `/_ CAP ~~ 74^@` .
Dus de hoeken zijn ongeveer `74^@` , `74^@` , `106^@` en `106^@` .

Opgave T5

De oppervlakte is `~~ 41` m2.

Opgave T6
a

`90 * 90 * 65 - 1/4 * pi * 70^2 * 65 ~~ 276351` cm3.

b

`2 * 90 * 65 + 2 * 20 * 65 + 1/4 * 2pi * 70 * 65 + 2 * (90 * 90 - 1/4 * pi * 70^2) ~~ 29950` cm2.

Opgave A1Warmte-energie uitstraling
Warmte-energie uitstraling
a

Je krijgt:

  • voor een kubus van `8 xx 8 xx 8` m:
    `V = 512` m3, `A_0 = 6*8*8 = 384` m2, dus `(A_0)/V = 0,75` .

  • een balk van `8 xx 16 xx 4` m:
    `V = 512` m3, `A_0 = 2*8*4+2*8*16+2*4*16 = 448` m2, dus `(A_0)/V = 0,875` .

  • een balk van `4 xx 32 xx 4` m:
    `V = 512` m3, `A_0 = 2*4*4+4*4*32 = 544` m2, dus `(A_0)/V = 1,0625` .

b

De kubus, want die heeft naar verhouding de kleinste oppervlakte bij gelijkblijvend volume.

c

`V = r^3` , `A_0 = 6*r^2 = 448` , dus `(A_0)/V = (6r^2)/(r^3) = 6/r` .
Als `r` groter wordt, wordt deze verhouding kleiner.

d

Nu is `(A_0)/V = (4pi r^2)/(4/3 pi r^3) = 3/r` .
Voor een bol is deze verhouding altijd kleiner dan voor een kubus.

Opgave A2Warmteverlies van huizen
Warmteverlies van huizen

Je krijgt:

  • huis met plat dak:
    `V = 120` m3, `A_0 = 2*8*5+2*8*3+2*5*3 = 158` m2, dus `(A_0)/V ~~ 1,32` .

  • huis met lessenaarsdak:
    `tan(30^@) ~~ 0,577` geeft voor de extra hoogte links `~~ 5*0,577~~2,89` m.
    De breedte van het dak wordt dan `sqrt(5^2 + 2,89^2)~~5,77` .
    `V ~~ 5*8*3+1/2*5*8*2,89~~178` m3, `A_0 ~~ 2*5*3+2*1/2*5*2,89+2*8*3+5*8+5,89*8 ~~ 180`  m2, dus `(A_0)/V = 1,01` .

  • huis met zadeldak:
    `tan(60^@) ~~ 1,732` geeft voor de extra hoogte midden `~~ 2,5*1,732~~4,33` m.
    De breedte van de dakdelen wordt dan `sqrt(2,5^2 + 4,33^2)=5` .
    `V ~~ 5*8*3+1/2*5*8*4,33~~207` m3, `A_0 ~~ 2*5*3+2*1/2*5*4,33+2*8*3+5*8+2*5*8 ~~ 220`  m2, dus `(A_0)/V = 1,06` .

  • huis met schilddak:
    `tan(60^@) ~~ 1,732` geeft voor de extra hoogte midden `~~ 2,5*1,732~~4,33` m.
    Hoogte voorste/achterste dakdelen wordt `sqrt(2,5^2 + 4,33^2)=5` .
    Linker/rechter dakdelen zijn trapezia met hoogte `sqrt(2,5^2 + 4,33^2)=5` .
    `V ~~ 5*8*3+1/3*5*5*4,33+1/2*3*5*4,33~~189` m3, `A_0 ~~ 2*5*3+2*8*3+2*1/2*5*5+2*1/2*(8+3)*5 ~~ 158`  m2, dus `(A_0)/V = 0,84` .

Het huis met het schilddak kent het minste warmteverlies.
Hoewel: de vergelijking met het huis met het zadeldak gaat niet zo goed op omdat dit laatste huis ook groter is. Je zou eigenlijk twee van deze huizen met hetzelfde volume moeten vergelijken!

verder | terug