Ruimtelijke figuren

Ruimtelijke figuren > Totaalbeeld

12345Totaalbeeld

Antwoorden van de opgaven

Opgave T1

Een regelmatige zeshoek bestaat uit zes gelijkzijdige driehoeken. Als de zijden van die zeshoek $120$ cm zijn is van elk van die driehoeken de basis $120$ cm en de hoogte $60 \sqrt{3}$ cm. De oppervlakte van zo'n zeshoek is dan $6 \cdot \frac{1}{2} \cdot 120 \cdot 60 \sqrt{3} = 21600 \sqrt{3}$ . Als de zijden van die zeshoek $80$ cm zijn is van elk van die driehoeken de basis $80$ cm en de hoogte $40 \sqrt{3}$ cm. De oppervlakte van zo'n zeshoek is dan $6 \cdot \frac{1}{2} \cdot 80 \cdot 40 \sqrt{3} = 9600 \sqrt{3}$ .

De boombank heeft dus een oppervlakte van $12000 \sqrt{3} \approx 20785$ cm².

Opgave T2

De uitslag bestaat uit vier gelijkbenige driehoeken met benen van $9,8$ cm en een basis van $6$ cm.

Elk van de vier gelijkbenige driehoeken heeft een basis van $6$ cm en een hoogte van $\sqrt{{9,8}^{2} - 3^{2}} \approx 9,33$ cm. De oppervlakte van de uitslag is dus $4 \cdot \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 9,33 \approx 112$ cm².

`sin(1/2 /_ AFC) = 3/(9,8)` dus `/_ AFC ~~ 36^@` .

Opgave T3

`pi*12^2*30 ~~ 13571` cm³ en dat is ongeveer `13,6` liter.

`pi*24*30 ~~ 2262` cm² papier.

`~~ (1/2)^2 * 2262 ~~ 565` cm² papier en de letters worden `6` cm hoog.

Opgave T4

Omdat ze beide in de doorsnede $A C Q P$ van een vlak met de balk liggen. Immers $P Q / / A C$ .

De lijnen $P G$ en $A C$ zijn niet evenwijdig, dus deze punten liggen niet in één vlak.

Deze vierhoek is een trapezium met $A C = \sqrt{200}$ , $P Q = \sqrt{50}$ en $A P = C Q = \sqrt{5^{2} + 12^{2}} = 13$ . De hoogte van dit trapezium is $\sqrt{13^{2} - {(0,5 \sqrt{50})}^{2}} = \sqrt{156,5}$ .

De oppervlakte van $A C Q P$ is daarom $\frac{1}{2} \cdot (10 \sqrt{2} + 5 \sqrt{2}) \cdot \sqrt{156,5} \approx 133$ cm².

`sin(/_ CAP) = (sqrt(156,5))/13` dus `/_ CAP ~~ 74^@` .
Dus de hoeken zijn ongeveer `74^@` , `74^@` , `106^@` en `106^@` .

Opgave T5

De oppervlakte is `~~ 62` m².

Opgave T6

`90 * 90 * 65 - 1/4 * pi * 70^2 * 65 ~~ 276351` cm³.

`2 * 90 * 65 + 2 * 20 * 65 + 1/4 * 2pi * 70 * 65 + 2 * (90 * 90 - 1/4 * pi * 70^2) ~~ 29950` cm².

Opgave A1Warmte-energie uitstraling

Warmte-energie uitstraling

Je krijgt:

voor een kubus van `8 xx 8 xx 8` m:
`V = 512` m³, `A_0 = 6*8*8 = 384` m², dus `(A_0)/V = 0,75` .
een balk van `8 xx 16 xx 4` m:
`V = 512` m³, `A_0 = 2*8*4+2*8*16+2*4*16 = 448` m², dus `(A_0)/V = 0,875` .
een balk van `4 xx 32 xx 4` m:
`V = 512` m³, `A_0 = 2*4*4+4*4*32 = 544` m², dus `(A_0)/V = 1,0625` .

De kubus, want die heeft naar verhouding de kleinste oppervlakte bij gelijkblijvend volume.

`V = r^3` , `A_0 = 6*r^2 = 448` , dus `(A_0)/V = (6r^2)/(r^3) = 6/r` .
Als `r` groter wordt, wordt deze verhouding kleiner.

Nu is `(A_0)/V = (4pi r^2)/(4/3 pi r^3) = 3/r` .
Voor een bol is deze verhouding altijd kleiner dan voor een kubus.

Opgave A2Warmteverlies van huizen

Warmteverlies van huizen

Je krijgt:

huis met plat dak:
`V = 120` m³, `A_0 = 2*8*5+2*8*3+2*5*3 = 158` m², dus `(A_0)/V ~~ 1,32` .
huis met lessenaarsdak:
`tan(30^@) ~~ 0,577` geeft voor de extra hoogte links `~~ 5*0,577~~2,89` m.
De breedte van het dak wordt dan `sqrt(5^2 + 2,89^2)~~5,77` .
`V ~~ 5*8*3+1/2*5*8*2,89~~178` m³, `A_0 ~~ 2*5*3+2*1/2*5*2,89+2*8*3+5*8+5,89*8 ~~ 180` m², dus `(A_0)/V = 1,01` .
huis met zadeldak:
`tan(60^@) ~~ 1,732` geeft voor de extra hoogte midden `~~ 2,5*1,732~~4,33` m.
De breedte van de dakdelen wordt dan `sqrt(2,5^2 + 4,33^2)=5` .
`V ~~ 5*8*3+1/2*5*8*4,33~~207` m³, `A_0 ~~ 2*5*3+2*1/2*5*4,33+2*8*3+5*8+2*5*8 ~~ 220` m², dus `(A_0)/V = 1,06` .
huis met schilddak:
`tan(60^@) ~~ 1,732` geeft voor de extra hoogte midden `~~ 2,5*1,732~~4,33` m.
Hoogte voorste/achterste dakdelen wordt `sqrt(2,5^2 + 4,33^2)=5` .
Linker/rechter dakdelen zijn trapezia met hoogte `sqrt(2,5^2 + 4,33^2)=5` .
`V ~~ 5*8*3+1/3*5*5*4,33+1/2*3*5*4,33~~189` m³, `A_0 ~~ 2*5*3+2*8*3+2*1/2*5*5+2*1/2*(8+3)*5 ~~ 158` m², dus `(A_0)/V = 0,84` .

Het huis met het schilddak kent het minste warmteverlies.
Hoewel: de vergelijking met het huis met het zadeldak gaat niet zo goed op omdat dit laatste huis ook groter is. Je zou eigenlijk twee van deze huizen met hetzelfde volume moeten vergelijken!

verder | terug