Normale verdeling

Normale verdeling > Rekenen met de normale verdeling

123456Rekenen met de normale verdeling

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1

Omdat `68` % tussen `bar(L) - s_L = 155,6` en `bar(L) + s_L = 168,6` zit, moet `(100-68)/2 = 16` % een lengte van minder dan `bar(L) - s_L = 155,6` cm hebben.

Omdat `95` % tussen `bar(L) - 2s_L = 149,1` en `bar(L) + 2s_L = 175,1` zit, moet er `(100-95)/2 = 2,5` % een lengte van meer dan `bar(L) + 2s_L = 175,1` cm hebben.

Je arceert (kleurt) voor het percentage bij a het gebied onder de normaalkromme tot aan `L=155,6` .

Je arceert (kleurt) voor het percentage bij b het gebied onder de normaalkromme vanaf `L=175,1` .

Kies een lege cel in Excel en voer in =NORM.VERD(150;162,1;6,5;1) en je vindt `~~0,032` .
Dit betekent dat `3,2` % van de vrouwen korter is dan `150` cm.

Kies een lege cel in Excel en voer in =NORM.VERD(160;162,1;6,5;1)-NORM.VERD(150;162,1;6,5;1) en je vindt `~~0,343` .
Dit betekent dat `34,3` % van de vrouwen tussen de `150` en de `160` cm lang is.

Opgave 1

Omdat dit gegevens zijn van de hele populatie Nederlandse mannen.

Voer in Excel in: =NORM.VERD(180;182;7;1).

De klasse `179,5 - lt 180,5` .

`text(P)(L lt 180,5) ~~ 0,415` , dus `41,5` %.

`text(P)(L lt 189,5) - text(P)(L lt 174,5) ~~ 0,716` , dus `71,6` %.

Die vuistregel zegt dat `68` % van de mannen tussen `175` en `189` moet zitten. Hierbij houd je met de meetnauwkeurigheid geen rekening.
`text(P)(L lt 189) - text(P)(L lt 175) ~~ 0,683` , dus `68,3` %.

Opgave 2

Omdat je nooit een man kunt vinden die precies `180,0000000...` cm lang is.
Met de normale verdeling zou je ook `text(P)(L lt 180) - text(P)(L lt 180) = 0` krijgen.

`text(P)(L lt 180) - text(P)(L lt 180) ~~ 0,055` en dat is `5,5` %.

`1 - text(P)(L lt 180,5) ~~ 0,585` , dus `58,5` %.

Opgave 3

`text(P)(L lt 179,5) = text(P)(z lt (179,5-182)/7) = text(P)(z lt text(-)0,36) ~~ 0,3594` .

`text(P)(L lt 180,5) - text(P)(L lt 179,5) = text(P)(z lt text(-)0,21) - text(P)(z lt text(-)0,36) ~~ 0,4168 - 0,3594` `=` `0,0574` en dat is `5,7` %. (De afrondingen van de `z` waarden zorgen voor kleine afwijkingen.)

`1 - text(P)(L lt 180,5) = 1 - text(P)(z lt text(-)0,21) ~~ 1 - 0,4168 = 0,5832` , dus `58,3` %.

Opgave 4

De kans dat een willekeurige man een lengte heeft tussen `162` en `178` cm als je geen rekening houdt met de meetnauwkeurigheid.

Er staat niet dat je rekening met de meetnauwkeurigheid moet houden, dus dat doe je ook niet.

`text(P)(171 < L < 178\|\mu = 182 text( en ) sigma = 7) ≈ 0,226` , dus ongeveer `22,6` %.

`0` %.

`text(P)(170,5 < L < 171,5) ≈ 0,017` , dus ongeveer `1,7` %.

86,6%

Opgave 5

`text(P)(G < 140)≈0,278` , dus `27,8` %.

`text(P)(140 < L < 160\|\ μ = 150 text( en ) σ = 17) ≈ 0,444`
Het percentage is `44,4` %.

`text(P)(G < 120) ≈ 0,039`

`0,039 *340 ≈ 13` appels.

`text(P)(G < 119,5) ≈ 0,036`

`0,036 *340 ≈12` appels, dus ja, het maakt verschil.

Opgave 6

`text(P)(L ≤ g) = text(P)(z le (g - 182)/7) = 0,20` en hieruit volgt `(g-182)/7 ~~ text(-)0,84` en `g ~~ text(-)0,84*7 + 182 ≈ 176,1` cm.

Bedenk dat je dit ook zonder z-tabel kunt berekenen, want deze grenswaarde ligt even ver van de gemiddelde lengte van `182` cm af als lengte van `187,9` cm (vanwege symmetrie) die de grenswaarde was voor de `20` % langste mannen.

`text(P)(L le a) = text(P)(z le (a-182)/7) = 0,60` en hieruit volgt `(a-182)/7 ~~ 0,25` en `g ~~ 0,25*7 + 182 ≈ 183,8` cm.

Uit `text(P)(L le g) = 1/3` volgt `g ≈ 179,0` cm. De maat small is geschikt voor mannen die maximaal `178` cm lang zijn.

Door het antwoord bij c is bekend dat het hier in ieder geval om mannen gaat met een lengte vanaf `179` cm.

`text(P)(L le g) = 2/3` geeft `g≈185,0` cm. De maat M is voor mannen met een lengte vanaf `179` cm en tot en met `184` cm.

Opgave 7

De fabrikant moet dan gemiddeld méér suiker in een pak stoppen.

`text(P)(G ≤ 1000) = text(P)(z le (1000-mu)/3) = 0,05` en hieruit volgt `(1000-mu)/3 ~~ text(-)1,64` en `mu~~1000 + 3*1,64 ≈ 1004,9` gram.

Het voordeel voor de fabrikant is dat dit ongeveer evenveel suiker kost, het nadeel kan zijn dat hij een nieuwe machine moet aanschaffen die nauwkeuriger is.

Nu moet `text(P)(G < 1000) = 0,025` , dus `text(P)(z lt (1000-1002)/(sigma)) = 0,025` .

De `z` -waarde bij `0,025` haal je uit de standaardnormale tabel: `z = text(-)1,96` .

`(1000-1002)/(sigma) = text(-)1,96` geeft `sigma = (text(-)2)/(text(-)1,96)~~1,02` .

Nee, het vulgewicht van een pak suiker is een toevalsvariabele, dus er blijft altijd een (heel kleine) mogelijkheid dat er pakken te licht zijn.

Opgave 8

`sigma = 255` minuten en dit is gelijk aan `255/60 = 4,25` uur.

`P(L < 75)≈0,120` en hieruit volgt dat het percentage `12,0` % is.

`text(P)(L < 90) = text(P)(z lt (90-mu)/(4,25)) = 0,01`

Met de z-tabel vind je `μ≈99,9` uur en dat is ongeveer `100` uur.

Opgave 9

`text(P)(G < 1000) ~~ 0,133` , dus `13,3` %.

`text(P)(G > 1000) = 1 - text(P)(G < 1000) ~~ 0,867` , dus `86,7` %.

`text(P)(G > 1005) = 1 - text(P)(G lt 1005) ~~ 0,7107` , dus `71,1` %.

`text(P)(1005 < G < 1015) = text(P)(G lt 1015) - text(P)(G lt 1005) ~~ 0,4215` , dus `42,2` %.

Opgave 10

`text(P)(L gt 170,5) = 1 - text(P)(L lt 170,5) ~~ 0,0981` dus `~~9,8` %.

`text(P)(160,5 lt L lt 169,5) = text(P)(L lt 169,5) - text(P)(L lt 160,5) ~~ 0,4698` dus `~~47,0` %.

`text(P)(159,5 lt L lt 160,5) = text(P)(L lt 160,5) - text(P)(L lt 159,5) ~~ 0,0582` dus `~~5,8` %.

`text(P)(L lt g) ~~ 0,10` betekent `text(P)(z lt (g-162,1)/(6,5)) ~~ 0,10` .
De z-tabel geeft `(g-162,1)/(6,5) ~~ text(-)1,28` , dus maximaal `g ~~ 153,78` cm.
Die vrouwen waren maximaal `153` cm lang.

Minimaal `170,3` , dus minimaal `171` cm.

Opgave 11

Los op met de standaardnormale tabel: `text(P)(G lt 900) = text(P)(z lt (900-1000)/(s_G)) = 0,05` .

Dit geeft: `s_G ~~ 60,8` gram.

`100 * text(P)(G < 900) ~~ 4,8` %.

`text(P)(G lt g) ~~ 0,97` geeft `text(P)(z lt (g-1000)/(60)) ~~ 0,97` .
Dus `(g-1000)/(60) ~~ 1,88` en `g ~~ 1112,8` g.
Deze zwaarste kerststollen zijn `1113` gram of zwaarder.

Opgave 12

`75` % van de zwangerschappen duurt tussen `280 - 14 = 266` en `280 + 14 = 294` dagen.

Dus `12,5` % van de zwangerschappen duurt minder dan `266` dagen.

`text(P)(T lt 266) = text(P)(z lt (266-280)/(sigma)) = 0,125` .

Dit geeft: `σ ≈ 12,2` dagen.

Bij ongeveer `199205 * text(P)( T < 252) ~~ 2164` bevallingen duurde de zwangerschap minder dan `36` weken.

Opgave 13

De normaal verdeelde kansvariabele `L` is het aantal jaren levensduur van een tablet van merk S.

Alleen het gemiddelde aanpassen, zodanig dat `text(P)(L gt 2) ge 0,975` :

`text(P)(L gt 2) = text(P)(z lt (2-mu)/(0,32)) = 0,975` geeft een gemiddelde van `2,62` levensjaar: `0,027` levensjaar extra.
de kosten hiervan zijn `(0,027 * 52) * 0,01 = 0,01404` euro en dat is meer dan `1,4` eurocent per tablet: dit is te veel.

Alleen de standaardafwijking aanpassen, zodanig dat `text(P)(L gt 2) ge 0,975` :

`P(L>2) = text(P)(z lt (2-2,60)/(sigma)) = 0,975` geeft een standaardafwijking van `0,306` levensjaar: `0,014` levensjaar minder afwijking;
de kosten hiervan zijn `(0,014 * 52) * 0,02 = 0,01456` euro en dat is meer dan `1,4` eurocent per tablet: dit is te veel.

Een combinatie van aanpassingen aan gemiddelde en standaardafwijking is wellicht noodzakelijk:

Kies het gemiddelde weer iets kleiner dan de gevonden `2,627` (maar groter dan de oorspronkelijke `2,6` ) levensjaar,
en
Kies de standaardafwijking weer iets groter dan de gevonden `0,306` (maar kleiner dan de oorspronkelijke `0,32` ) levensjaar

totdat de kosten 1,4 eurocent per tablet of lager zijn.

Als het goed is, valt nu een patroon op: als je beide aanpast, komen de kosten nooit onder de `0,01456` euro uit.

Het is daarom niet mogelijk om te sleutelen aan gemiddelde of standaardafwijking zodanig dat aan beide voorwaarden wordt voldaan.

Opgave A1

Maximaal `2*9 = 18` gram.

Het percentage pakken dat zonder meer wordt afgekeurd, bereken je met `text(P)(G lt 182) + text(P)(G gt 218) ~~ 0,0026` . Dus dat is ongeveer `0,3` %.

Verder bereken je het percentage pakken dat `9` afwijkt van het gemiddelde met `text(P)(G lt 191) + text(P)(G gt 209) ~~ 0,1336` . Dus dat is ongeveer `13,4` %. Dus geen gering aantal.

`text(P)(G lt 191) = text(P)(z lt (191-mu)/6) = 0,001` geeft `mu ~~ 209,54` g.

`text(P)(G lt 191) = text(P)(z lt (191-200)/(sigma)) = 0,001` geeft `sigma ~~ 2,91` g.

Opgave A2

`0,09*17 ≈ 1,53` g.

`text(P)(G lt 17) ≈ 0,0912` dat is `9,12` %.

Het percentage pakjes dat onder `17 - 1,53` g zit bereken je met `text(P)(G lt 15,47) ~~ 0,009` , dus dat is minder dan `1` %.

Het percentage pakjes dat onder `17 - 2*1,53` g zit bereken je met `text(P)(G lt 13,94) ~~ 0,000` en dat is `0` %.

Opgave T1

`~~9,12` %.

`~~25,25` %.

`~~11,09` %

`g~~0,9953` liter.

`~~1,035` liter.

Opgave T2

Ongeveer `0,27` %.

Ongeveer `4,3` %.

`144,5` of meer.

verder | terug