Normale verdeling > BetrouwbaarheidsintervallenVoorbeeld 2
Een fabriek voor voedingsmiddelen neemt elke dag `75` monsters van een product. Daarvan meet men het aantal bacteriën per cL. Daarna berekent men het daggemiddelde en de dagstandaardafwijking van deze `75` monsters. De dagstandaardafwijking is steeds `20` bacteriën per cL.
Dit wordt `100` dagen herhaald. Er zijn dan `100` daggemiddelden. Van de `100` daggemiddelden is deze steekproevenverdeling gemaakt.
Bepaal het `95` %-betrouwbaarheidsinterval van het gemiddeld aantal bacteriën per cL in het product met behulp van de figuur.
Wat is de betekenis van dit interval?
Als zowel het gemiddelde als de standaardafwijking van het aantal bacteriën per cL in de dagproductie kleiner zijn dan respectievelijk `60` en `20` , heeft dat gevolgen voor het `95` %-betrouwbaarheidsinterval.
Beredeneer wat deze gevolgen zijn.
Neem aan dat de populatiestandaardafwijking is `sigma = 20` bacteriën per cL.
De figuur is de steekproevenverdeling.
De standaardafwijking daarvan is
`(sigma)/(sqrt(n)) = 20/(sqrt(100)) = 2`
.
Het
`95`
%-betrouwbaarheidsinterval is:
`60 +- 1,96*2 = 60 +- 3,9`
.
Het populatiegemiddelde ligt dus tussen
`56,1`
en
`63,9`
bacteriën per cL.
De betekenis is: Van de `100` daggemiddelden, zijn er minstens `95` met een gemiddelde tussen `56` en `64` bacteriën per cL.
Als het gemiddelde afneemt, schuift het interval naar links.
Als de standaardafwijking kleiner wordt, wordt het interval smaller.
Bekijk
Komt de standaardafwijking `s_(bar(B)) = 2` overeen met de figuur?
Wat verandert er aan het betrouwbaarheidsinterval als het gemiddelde toeneemt?
Wat gebeurt er met het betrouwbaarheidsinterval als de standaardafwijking groter wordt?
Wat gebeurt er met de kleinste waarde van het betrouwbaarheidsinterval als de standaardafwijking groter wordt?
Een ziekenhuis heeft een nieuw computersysteem aangeschaft voor het plannen van onderzoeken voor patiënten. Vóór de aanschaf van het computersysteem was de doorlooptijd (de tijd tussen het eerste en het laatste onderzoek) gemiddeld `3,3` dagen. De standaardafwijking was erg klein.
Uit een representatieve steekproef van `100` patiënten blijkt dat het dat na de aanschaf van het computersysteem de gemiddelde doorlooptijd is gedaald tot `2,9` dagen. De standaardafwijking van de doorlooptijd in de steekproef blijkt `1,8` dagen te zijn.
Wat is het `95` %-betrouwbaarheidsinterval van de gemiddelde doorlooptijd van de patiënten na invoering?
Kan het ziekenhuis met `95` % zekerheid zeggen dat de gemiddelde doorlooptijd is gedaald? Licht je antwoord toe.
Enkele maanden later herhaalt het ziekenhuis het onderzoek. De standaardafwijking van de steekproef blijkt nu `2,2` dagen te zijn. Kan het ziekenhuis nu met `95` % betrouwbaarheid zeggen dat het computersysteem het nu niet goed meer doet? Licht je antwoord toe.