Normale verdeling > BetrouwbaarheidsintervallenUitleg
De Robinia is een boom die in het najaar peulvruchten heeft van zo'n `5` cm tot `15` cm lengte. De lengte `R` van de peulen in een bepaald gebied is normaal verdeeld.
Het populatiegemiddelde wordt bepaald door in een steekproef van `30` peulen het gemiddelde te berekenen. Het probleem daarbij is dat het gemiddelde in een steekproef toevallig kan afwijken van het werkelijke gemiddelde, zelfs als de steekproef behoorlijk groot is. Je zou dus meerdere of hele grote steekproeven moeten doen. Vaak is dat in de praktijk te veel werk (en dus te duur).
Je ziet hier gemiddelde lengtes en de standaardafwijkingen van `10` steekproeven van `30` uit de normaal verdeelde populatie peulen.
De steekproefgemiddelden vormen een steekproevenverdeling.
Wiskundigen hebben aangetoond dat een steekproevenverdeling altijd een normale verdeling
is met standaardafwijking
`(sigma)/(sqrt(n))`
als
`n`
de grootte van elke steekproef is en
`sigma`
de populatiestandaarddeviatie is. Dit heet de wortel-n-wet.
Ga zelf na dat in de steekproevenverdeling van de gemiddelden de standaardafwijking
`S ~~ (0,84)/(sqrt(30))`
is.
Stel nu dat je alleen de eerste steekproef van
`30`
peulen zou hebben gedaan.
Op grond van het gemiddelde
`bar(R) = 10,95`
cm kun je natuurlijk niet zeker weten dat het populatiegemiddelde ook
`10,95`
is. Maar omdat je weet dat steekproefgemiddelden normaal zijn verdeeld, kun je op
grond van de vuistregels van de normale verdeling zeggen:
-
`95` % van de gemiddelden ligt tussen `10,95 - 2*(0,65)/(sqrt(30)) ~~ 10,71` en `10,95 + 2*(0,65)/(sqrt(30)) ~~ 11,19` .
En op grond hiervan schat je dat
`10,71 lt mu_R lt 11,19`
met een betrouwbaarheid van
`95`
%.
Je noemt
`10,71 lt mu_R lt 11,19`
het
`95`
% betrouwbaarheidsinterval van
`mu_R`
.
Bekijk het schatten van het populatiegemiddelde van de lengtes van peulen van de Robinia
in de
De gemiddelden vormen een steekproevenverdeling.
Bereken zelf het gemiddelde en de standaardafwijking van deze steekproevenverdeling.
Laat zien dat voor de standaarddeviatie van de steekproevenverdeling van de gemiddelden inderdaad de wortel-n-wet geldt.
Je weet nu dat de steekproevenverdeling van de gemiddelden een normale verdeling is met een bij a berekend gemiddelde en standaarddeviatie. Bereken met de standaardnormale tabel de waarden van `g` waarvoor geldt: `text(P)(11,08 - g lt S lt 11,08 + g) lt 0,95` .
Schrijf het `95` % betrouwbaarheidsinterval op dat hierbij hoort.
In de praktijk gebruik je maar één steekproef. Ga uit van de eerste steekproef. Je neemt dan aan dat hier een steekproevenverdeling bij hoort met `bar(S) = 10,95` en `s = (0,65)/(sqrt(30))` .
Bepaal het `95` % betrouwbaarheidsinterval dat dan bij een schatting van het populatiegemiddelde hoort op dezelfde manier als bij d.
In de
Wat is het voordeel van het werken met
`z`
-waarden?
Laat zien dat
`95`
% van de
`z`
-waarden tussen
`text(-)1,96`
en
`1,96`
ligt.
Tussen welke twee waarden ligt
`99`
% van de
`z`
-waarden?
Welk
`99`
% betrouwbaarheidsinterval voor de steekproef met
`bar(R) = 10,95`
krijg je?
Een `99` % betrouwbaarheidsinterval lijkt beter dan een `95` % betrouwbaarheidsinterval.
Wat is het nadeel ervan?
In de
Waarom liggen in dit geval zowel het populatiegemiddelde als de populatiestandaarddeviatie niet vast?
Welke aanname moet je dan doen om een betrouwbaarheidsinterval te kunnen vaststellen?
Bij het meten van de pH-waarde van een vloeistof in een bepaald vat heb je te maken met een vooraf bekende meetnauwkeurigheid.
Waarom zal nu de standaardafwijking van bijvoorbeeld `10` metingen vooraf bekend zijn?