Normale verdeling > Betrouwbaarheidsintervallen
123456Betrouwbaarheidsintervallen

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1
a

Eigenlijk niet, toevallig levert deze steekproef een iets te laag gemiddelde op.

b

`~~11,08` cm en dat zit dus heel dicht bij het populatiegemiddelde.

c

`S ~~ 0,13` en `(sigma_R)/(sqrt(30))~~0,16` .
Het klopt ongeveer?

d

Omdat de steekproefgemiddelden normaal zijn verdeeld, kun je de vuistregels voor een normale verdeling gebruiken.

e

Bijvoorbeeld dat het populatiegemiddelde met een waarschijnlijkheid van `95` % tussen `11,08 - 2*0,13 = 10,82` en `11,08 + 2*0,13 = 11,34` ligt.

Opgave 1
a

`bar(S)~~11,08` en `s ~~ 0,13` .

b

Het gemiddelde van de standaardafwijkingen is `0,84` cm. (Zelf narekenen!).

`(0,84)/(sqrt(30))~~0,15` en dat is ongeveer gelijk aan `0,13` .

c

`text(P)(11,08 - g lt S lt 11,08 + g) = text(P)(S lt 11,08+g) - text(P)(S lt 11,08-g) = 0,95` geeft:
`text(P)(S lt 11,08-g) = text(P)(z lt (text(-)g)/(0,13)) = 0,025` en dus `(text(-)g)/(0,13) ~~ text(-)1,96` .
Dus is `g ~~ 1,96*0,13` .

d

`11,08 - 1,96*0,13 lt mu_R lt 11,08 + 1,96*0,13` , dus `10,83 lt mu_R lt 11,33` cm.

e

`10,95 - 1,96*(0,65)/(sqrt(30)) lt mu_R lt 10,95 + 1,96*(0,65)/(sqrt(30))` , dus `10,72 lt mu_R lt 11,18` cm.

Opgave 2
a

Dat is nauwkeuriger.
`text(P)(text(-)g lt z lt g) = 0,95` geeft `text(P)(z lt text(-)g) = 0,025` en dit geeft `g~~1,96` .

b

`text(P)(text(-)g lt z lt g) = 0,99` geeft `text(P)(z lt text(-)g) = 0,005` en dit geeft `g~~2,575` .

Het `99` % betrouwbaarheidsinterval is `10,95 - 2,575*(0,65)/(sqrt(30)) lt mu_R lt 10,95 + 2,575*(0,65)/(sqrt(30))` , dus `10,64 lt mu_R lt 11,26` cm.

c

Het populatiegemiddelde wordt minder nauwkeurig geschat.

Opgave 3
a

Al die peulen hebben verschillende lengtes die ook echt normaal verdeeld zijn.

b

Dat de standaardafwijking van de meting ongeveer gelijk is aan de populatiestandaarddeviatie.

c

De spreiding van de uitkomsten van de metingen wordt nu uitsluitend bepaald door de meetnauwkeurigheid. En dus zal ook de standaardafwijking vooraf kunnen worden berekend uit de meetnauwkeurigheid. Hierover meer in Toepassen.

Opgave 4
a

`S_(bar(X)) = (0,509)/(sqrt (50)) ~~ 0,072` kg.

b

`0,365` kg.

Opgave 5
a

De steekproefomvang groter maken. Dan wordt de standaardafwijking van de steekproevenverdeling kleiner, dus het gebied ook.

b

Ja, want om de betrouwbaarheid groter te maken, moet het gebied groter worden.

Opgave 6
a

Ja, want de figuur is de steekproevenverdeling en deze is dus normaal verdeeld. De standaardafwijking van een normale verdeling is af te lezen bij het buigpunt.

b

Dan schuift het naar rechts.

c

Dan wordt het breder.

d

Die wordt kleiner. (De grootste waarde wordt groter.)

Opgave 7
a

Neem nu aan dat de populatiestandaarddeviatie ook `sigma = 1,8` dagen is.

`S = (1,8)/(sqrt(100)) = 0,18`

Dus het `95` %-betrouwbaarheidsinterval ligt tussen `2,9-1,96*0,18=2,55` en `2,9+1,96*0,18=3,25` dagen.

b

Ja, want het `95` % betrouwbaarheidsinterval ligt helemaal onder `3,3` dagen (met de zeer kleine standaardafwijking).

c

`S = (2,2)/(sqrt(100)) = 0,22`

Dus het `95` %-betrouwbaarheidsinterval ligt tussen `2,9 - 1,96*0,22 = 2,47` en `2,9 + 1,96*0,22 = 3,33` dagen.

Het gemiddelde van de vorige steekproef was `2,9` dagen. Dat ligt in het `95` %-betrouwbaarheidsinterval.

Met `95` % betrouwbaarheid kun je zeggen dat het computersysteem het nog steeds goed doet.  Dus: Nee.

Opgave 8
a

`0,10 = (0,35)/(sqrt(n))` geeft `sqrt(n) = (0,35)/(0,10) = 3,50` , zodat `n = 12,25` .

b

Dan geldt: `S = 0,05` en dus `0,05 = (0,35)/(sqrt(n))` .

Dit geeft `n = 49` .

Dus de steekproefomvang moet dan minstens `49` zijn.

c

`0,1 = (0,7)/(sqrt(n))` geeft `n = 49` .

De steekproefomvang moet dan `49` zijn.

Opgave 9

`bar H = 12,5` kg

`S_(bar(H)) = (5,3)/(sqrt(250)) ~~0,335` kg

`95` % betrouwbaarheidsinterval tussen `12,5 - 1,96*0,335` en `12,5+1,96* 0,335` , dus tussen `11,84` en `13,16`  kg.

Opgave 10
a

`bar(V) = 25,1`

`S_(bar(V)) = (0,4)/(sqrt(30))~~0,073`

Foutmarge: `1,96 *S_(bar(V)) ~~0,143`

`95` % betrouwbaarheidsinterval: `25,1-0,143 lt V lt 25,1+0,143` , dus `24,957 lt V lt 25,243` .

b

Het `95` % betrouwbaarheidsinterval is `24,957 lt V lt 25,243` , dus ongeveer `5` % van de flesjes valt daar buiten, aan beide zijden van het betrouwbaarheidsinterval evenveel. Dus ongeveer `2,5` % van de flesjes bevat minder dan `25` cL. Rachid heeft gelijk.

Opgave 11
a

`bar(C) = 147` en `s_C = 15` , zodat `S_(bar(C)) = 15/(sqrt(25)) = 3` .

Het `95` % betrouwbaarheidsinterval is `147-1,96*3 lt C lt 147+1,96*3` , dus `141,12 lt C lt 152,88` .

`140` valt niet in betrouwbaarheidsinterval. Dus de uitspraak de Consumentenbond mag dit zeggen.

b

Het bedrijf kan het aantal calorieën per pakje verlagen, bijvoorbeeld met `1,5` calorieën per pakje.

`bar(C) = 145,5` en `s_C = 15` , zodat `S_(bar(C)) = 15/(sqrt(25)) = 3` .

Het `95` % betrouwbaarheidsinterval wordt `145,5-1,96*3 lt C lt 145,5+1,96*3` , dus `138,62 lt C lt 155,38` .

`140` valt nu wel binnen het betrouwbaarheidsinterval.

Opgave 12
a

Het `95` % betrouwbaarheidsinterval is begrensd door `44-1,96*1,2 = 41,6` en `44+1,96*1,2 = 46,4` .

b

Het `99` % betrouwbaarheidsinterval is begrensd door `44-2,575*1,2 = 40,9` en `44+2,575*1,2 = 47,1` .

Opgave 13
a

`bar(C) = (0,8303+0,8259+0,8330)/3 ~~ 0,8297` en `s_C = 0,0062` .

b

`S ~~ (0,0062)/(sqrt(3)) ~~ 0,0036` g/L.

Het `95` % betrouwbaarheidsinterval is `0,8297 - 1,96*0,0036` en `0,8297 + 1,96*0,0036` , dus tussen `0,8226` en `0,8368` .

c

De breedte van het `95` % betrouwbaarheidsinterval is `2*1,96* (0,0062)/(sqrt(n)) lt 0,01` .

Dit geeft `n gt 5,9` .

De laborant moet minstens `6` metingen doen.

Opgave A1
a

`bar(Z) ~~ 7,6` .

b

`(s_Z)/(bar(Z)) = 0,075` geeft `(s_Z)/(7,6) = 0,075` , dus `s_Z = 0,57` .

c

Je gebruikt de gevonden waarden voor gemiddelde en standaardafwijking als schatting voor de pH-waarde.

Ondergrens `7,6 - 1,96*(0,57)/(sqrt(15)) ~~ 7,31` .

Bovengrens `7,6 - 1,96*(0,57)/(sqrt(15)) ~~ 7,89` .

Dus het `95` % betrouwbaarheidsinterval is `7,31 lt mu_Z lt 7,89` .

Opgave A2
a

Tank 2: `bar(Z_2) ~~ 8,5` en `(s_(Z_2))/(8,5) = 0,075` , dus `s_(Z_2) = 0,64` .
Dus het `95` % betrouwbaarheidsinterval is `8,18 lt mu_(Z_2) lt 8,82` .

Tank 3: `bar(Z_3) ~~ 7,6` en `(s_(Z_3))/(7,6) = 0,075` , dus `s_(Z_3) = 0,57` .
Dus het `95` % betrouwbaarheidsinterval is `7,31 lt mu_(Z_3) lt 7,89` .

b

Ja want het `95` % betrouwbaarheidsinterval van tank 3 overlapt de andere twee niet.

Opgave T1
a

`1444 lt L lt 1556`

b

Na circa `1444` uur.

Opgave T2
a

`51,35 lt L lt 53,05`

b

`51,44 lt L lt 52,76`

c

Het gemiddelde en de steekproefstandaarddeviatie veranderen nauwelijks in een grote steekproef bij een meetfout van één waarde.

verder | terug