Conclusies trekken > z-toetsen
12345z-toetsen

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1
a

`text(P)(V lt 1500) = text(P)(z lt (1500-1530)/(18)) ~~ text(P)(z lt text(-)1,67) ~~ 0,0475 lt 0,05` (Gebruik de standaardnormale tabel.)

b

Hij gaat natuurlijk een steekproef trekken en kijken wat daar voor gemiddelde inhoud uitkomt. Maar dan?

Opgave 1
a

De gemiddelde vulgewichten `bar(V)` zijn normaal verdeeld met `S_(bar(V)) = 18/(sqrt(25)) = 3,6` .

`text(P)(bar(V) lt 1520) = text(P)(z lt (1520-1530)/(3,6)) ~~ text(P)(z lt text(-)2,78) ~~ 0,0027` .
(Gebruik de standaardnormale tabel.)

b

`text(P)(bar(V) lt g) = text(P)(z lt (g-1530)/(3,6)) = 0,05` .
Met de standaardnormale tabel vind je `(g-1530)/(3,6) ~~ text(-)1,645` , dus `g ~~ text(-)1,645*3,6 + 1530 ~~ 1524` mL.

c

Omdat `5` % het percentage is waarin je een te laag gemiddeld vulgewicht krijgt, is `95` % het percentage waarbij het vulgewicht dicht genoeg bij `1530` ligt (of zelfs nog hoger is).

d

`text(P)(bar(V) lt g) = text(P)(z lt (g-1530)/(3,6)) = 0,01` .
Met de standaardnormale tabel vind je `(g-1530)/(3,6) ~~ text(-)2,34` , dus `g ~~ text(-)2,34*3,6 + 1530 ~~ 1522` mL.

Het kritieke gebied is nu `bar(V) lt 1522` .

e

Met `95` % betrouwbaarheid verwerp je hem.
Met `99` % betrouwbaarheid accepteer je hem.

Opgave 2
a

`text(P)(V lt 1455) = text(P)(z lt (1455-1530)/(18)) ~~ 0,0000` .

b

`text(P)(V lt 1455) = text(P)(z lt (1455-1520)/(18)) ~~ 0,0002` , dus nog wel maar iets minder goed.

c

De standaarddeviatie van de steekproevenverdeling is `18/(sqrt(36)) = 3` mL.

`text(P)(bar(V) gt g) = 1 - text(P)(z lt (g-1520)/(3)) = 0,01` dus `text(P)(z lt (g-1520)/(3)) = 0,99` .
Met de standaardnormale tabel vind je `(g-1520)/(3) ~~ 2,34` , dus `g ~~ 2,34*3 + 1520 ~~ 1527` mL.

Het kritieke gebied is nu `bar(V) gt 1527` .
De conclusie die de fabrikant moet trekken is dat de vulmachine nog niet goed is ingesteld.

Opgave 3
a

`text(P)(bar(G) lt g) = text(P)(z lt (g - 1002)/(0,9487)) = 0,01` geeft `(g - 1002)/(0,9487) = text(-)2,34` , dus `g ~~ text(-)2,34 * 0,9487 + 1002 ~~ 999,8` .

b

`text(P)(bar(G) lt g) = text(P)(z lt (g - 1002)/(0,9487)) = 0,005` geeft `(g - 1002)/(0,9487) = text(-)2,58` , dus `g ~~ text(-)2,58 * 0,9487 + 1002 ~~ 999,6` .
Er is nog steeds een significante afwijking.

c

Nu is `bar(G) = 999` g en `S_(bar(G)) = 3/(sqrt(50)) ~~ 0,4243` .

`text(P)(bar(G) lt g) = text(P)(z lt (g - 1002)/(0,4243)) = 0,01` geeft `(g - 1002)/(0,4243) = text(-)2,34` , dus `g ~~ text(-)2,34 * 0,4243 + 1002 ~~ 1001,0` .
De consumentenbond krijgt gelijk als er gemiddeld minder dan `1001` gram wordt gevonden.

d

Nu is `bar(G) = 999` g en `S_(bar(G)) = 3/(sqrt(50)) ~~ 0,4243` .

`text(P)(bar(G) lt 999) = text(P)(z lt (999 - 1002)/(0,4243)) ~~ 0,0000 lt 0,01` .
Omdat dit betekent dat `999` in het gebied moet liggen met een kleiner percentage dan `1` % (het kritieke gebied), krijgt de consumentenbond gelijk.

Opgave 4
a
  • `text(H)_0` : `mu = 1002` .

  • `text(H)_1` : `mu gt 1002` .

b

Nu is `bar(G) = 1003` g en `S_(bar(G)) = 3/(sqrt(25)) = 0,6` .

`text(P)(bar(G) gt g) = 1 - text(P)(z gt (g - 1002)/(0,6)) = 0,01` geeft `(g - 1002)/(0,6) = 2,34` , dus `g ~~ 2,34 * 0,6 + 1002 ~~ 1003,4` . Hij hoeft zijn vulmachines niet bij te stellen.

Opgave 5
a

Er wordt naar een afwijking van het gemiddelde zowel naar boven als naar beneden gezocht. De onbetrouwbaarheidsdrempel wordt verdeeld over beide ongelijkheden.
Als er geen duidelijke reden is om dat anders te doen wordt `alpha` gewoon in twee gelijke delen verdeeld.

b

`text(P)(bar(G) lt g_1) = text(P)(z lt (g_1 - 1002)/(0,9487)) = 0,005` geeft `(g_1 - 1002)/(0,9487) = text(-)2,575` en dus `g_1 = 999,557...`
`text(P)(bar(G) gt g_2) = text(P)(z lt (g_2 - 1002)/(0,9487)) = 0,995` geeft `(g_2 - 1002)/(0,9487) = 2,575` en dus `g_2 = 1004,442...` .

c

`g_1 = 999,557... = 1002 - 2,4429...`
Dus `g_2 = 1002 + 2,4429... = 4,442...` .

d

Die betrouwbaarheid wordt in feite groter omdat je bij een afwijking naar beneden dan maar een significantie van `1/2 alpha` hanteert. En hetzelfde geldt voor een afwijking naar boven.

Opgave 6
a

`text(H)_0: mu = 0,200` en `text(H)_1: mu > 0,200` met `S_(bar(K)) = (0,041)/(sqrt(80)) ~~ 0,0046` .

b

`text(P)(bar(K) > g) = 0,01` geeft `text(P)(z lt (g - 0,200)/(0,0046)) = 0,99` en `g ~~ 0,211` .
Dus `text(H)_0` wordt verworpen, met een betrouwbaarheid van `99` % kun je zeggen dat het staal een groter koolstofgehalte heeft dan `0,200` %.

Opgave 7

Je toetst H 0 : μ = 3600 tegen H 1 : μ < 3600 met α = 0,05 . (Je zou ook een dubbelzijdige toets kunnen doen, maar op grond van het steekproefresultaat ligt een enkelzijdige toets meer voor de hand.)
Nu is L ¯ = 3300 en `S_(bar(L)) = 600/(sqrt(60))` .
`text(P)(bar(L) le g) = text(P)(z lt (g - 3600)/(600/(sqrt(60)))) = 0,05` geeft g 3473 .
De gevonden 3300 ligt in het kritieke gebied en dus kun je met een betrouwbaarheid van 95% de bewering van de firma verwerpen.

Opgave 8
a

`text(P)(bar(G) < 53,3) ~~ 0,0034 < 0,025` , dus H 0 wordt verworpen, het tijdschrift heeft niet gelijk.

b

Bij een significantieniveau van ongeveer 0,34% of meer.

c

Bij een significantieniveau van ongeveer 27,24% of meer. De betrouwbaarheid wordt duidelijk kleiner als de steekproef kleiner wordt.

Opgave 9
a

Je toetst H 0 : μ = 0,022 tegen H 1 : μ > 0,022 .

b

Zie a, het wordt een enkelzijdige toets want kleinere hoeveelheden natriumnitriet zijn acceptabel, grotere niet.

c

Nu is `bar(N) ~~ 0,0221` en `S_(bar(N)) = (0,0005)/sqrt(25) = 0,0001` .
`text(P)(bar(N) > 0,0221) = 1 - text(P)(z lt (0,0221 - 0,022)/(0,0001)) ~~ 0,1587 > 0,05` , dus H 0 wordt niet verworpen, er is geen reden voor bezorgdheid.

Opgave 10

Je toetst H 0 : μ = 175 tegen H 1 : μ 175 met α = 0,01 .
In de steekproef is C ¯ = 177,375 en σ 8,901 . Deze σ gebruik je als standaardafwijking van de populatie.
`text(P)(bar(C) le g_1) le 0,005` geeft g 1 166,90 .
`text(P)(bar(C) >= g_2) le 0,005` geeft g 2 183,10 .
De gevonden 177,375 ligt niet in het kritieke gebied en dus is de afwijking niet statistisch significant.

Opgave 11
a

`s_V ~~ 0,02 ~~ sigma` en V ¯ = 3,4915 .

b

Nu is `bar(V) = 3,50` en `S_(bar(V)) = (0,02)/(sqrt(20))` .
`text(P)(bar(V) < 3,4915) ~~ 0,0287 < 0,05` , dus H 0 wordt verworpen, de consumentenorganisatie kan de bewering van de fabrikant verwerpen.

Opgave A1
a

Omdat gevraagd wordt naar het verschil van twee gemiddelden, niet of het gemiddelde juist is.
Verder is er sprake van twee steekproeven en twee standaardafwijkingen.

b

Het verschil tussen de gemiddelden is hier `mu_16-mu_15=1` .
`text(P)(V lt g_1) = text(P)(z lt (g_1 - 0)/(3,8)) = 0,05` geeft `g_1 ~~ text(-)6,3` en dus `g_2 ~~ 6,3` .
Dat wil zeggen dat er geen significant verschil is tussen de aantallen sterftegevallen van 2015 en 2016.

Opgave A2
a

Een bout en moer passen niet als de bout te dun is en ook niet als de bout te dik is.

b

`text(H)_0: mu_V = mu_M - mu_B = 0,02` en `text(H)_1: mu_V != 0,02`

c

`sigma = (sqrt(0,05^2 + 0,03^2))/(sqrt(100)) ~~ 0,006` . De `sqrt(n)` -wet is nodig, omdat er `100` keer een bout en een moer worden gepast, en de gegeven standaardafwijkingen die van de populatie zijn en niet van de steekproef van 100.

d

De machines worden bijgesteld als in de steekproef het gemiddelde verschil kleiner is dan `0,009` of groter is dan `0,031` .

Opgave T1

`bar(M) = 250` en `S_(bar(M)) = 2/3` .
`text(P)(bar(M) > 252) ~~ 0,0013 < 0,025` , dus H 0 wordt verworpen.

Opgave T2

Steekproef: K ¯ = 16,016 en `S_(bar(K)) ~~ 0,149` .
`text(P)(bar(K) < 16,016) ~~ 0,0000 < 0,02` , dus H 0 wordt verworpen, het kobaltgehalte is te klein.

verder | terug