Conclusies trekken > z-toetsenUitleg
Op een fles frisdrank staat dat de inhoud `1,5` liter is. Natuurlijk zal de inhoud nooit precies `1,5` liter zijn. De vulmachine is zodanig afgesteld dat het gemiddelde `mu = 1530` mL is en de standaardafwijking `sigma = 18` mL. Het vulgewicht `V` is normaal verdeeld. Nu bevat minder dan `5` % van de flessen te weinig frisdrank.
De fabrikant controleert regelmatig de afstelling van zijn vulmachine door in een steekproef van `25` flessen de gemiddelde inhoud te meten. De fabrikant voert een hypothesetoets uit:
De nulhypothese
`text(H)_0`
is de aanname dat
`mu = 1530`
mL.
De alternatieve hypothese
`text(H)_1`
zegt bijvoorbeeld dat
`mu`
veel kleiner is:
-
`text(H)_0` : `mu = 1530` mL
-
`text(H)_1` : `mu lt 1530` mL
Als je
`mu lt 1530`
mL als alternatief neemt, voer je een linkszijdige toets uit.
Maar je kunt ook
`text(H)_1`
:
`mu gt 1530`
mL nemen, dat is een rechtszijdige toets.
Bij
`text(H)_1`
:
`mu != 1530`
mL, spreek je van een tweezijdige toets.
In een steekproef van `25` flessen zou het gemiddelde `bar(V)` dicht bij `1530` mL moeten liggen als de nulhypothese geldt. De standaarddeviatie van de steekproevenverdeling is dan `S_(bar(V)) = 18/(sqrt(25)) = 3,6` .
Maar er is altijd een kleine kans dat je - ook al geldt de nulhypothese - in je steekproef
een gemiddelde vindt dat veel te laag is, onder een bepaalde grens
`g lt 1530`
ligt. Die kans is het percentage gevallen
`text(P)(bar(V) lt g) = text(P)(z lt (g-1530)/(18/(sqrt(25)))) = alpha`
Dit percentage
`alpha`
heet het significantieniveau. Als de nulhypothese klopt, dan moet het significantieniveau
klein zijn. Vaak wordt
`5`
% genomen, of zelfs maar
`1`
%. En dan reken je uit welke waarde van
`g`
daarbij hoort met de standaardnormale verdeling, de
`z`
-verdeling.
Bekijk de situatie van het automatisch vullen van
`1,5`
-literflessen in de
Bereken de kans dat in een steekproef van `25` flessen het gemiddelde vulgewicht lager dan `1520` mL is.
Bereken de waarde van `g` waarvoor geldt `text(P)(bar(V) lt g) = 0,05` als je er van uit gaat dat de nulhypothese waar is.
Uit het antwoord bij b kun je nu concluderen dat gemiddelde vulgewichten lager dan
`1524`
mL maar in
`5`
% van de gevallen mogen voorkomen als de nulhypothese waar is. Tref je toch een gemiddeld
vulgewicht aan dat kleiner is dan
`1524`
, dan ga je twijfelen of de nulhypothese wel waar is en sterker nog: je verwerpt hem
met een betrouwbaarheid van
`95`
%.
`bar(V) lt 1524`
heet het kritieke gebied van de toets.
Waarom hoort bij een significantieniveau van `5` % een betrouwbaarheid van `95` %?
Je neemt
`text(H)_0`
:
`mu = 1530`
mL en
`text(H)_1`
:
` mu lt 1530`
mL.
Je toetst nu met een significantieniveau van
`1`
%. Bepaal het bijbehorende kritieke gebied.
Je voert de steekproef uit en vindt
`bar(V) = 1523`
mL.
Kun je de nulhypothese nu met
`95`
% betrouwbaarheid verwerpen? Of met
`99`
% betrouwbaarheid?
De fabrikant uit de
Laat zien dat het percentage colaflessen dat niet aan de Europese norm voldoet inderdaad vrijwel `0` is.
De fabrikant krijgt het vermoeden dat hij wel met een lager vulvolume toe kan en laat zijn vulmachines instellen op een gemiddelde van `1520` met een standaarddeviatie van `18` mL.
Voldoet hij nog steeds aan de hierboven beschreven norm?
De fabrikant test het nieuwe ingestelde vulvolume met een steekproef van
`36`
flessen. Hij wil een betrouwbaarheid van
`99`
%. Het gemiddelde vulvolume in de steekproef is
`1528`
mL.
Dus hij toetst
`text(H)_0`
:
`mu = 1520`
mL tegen
`text(H)_1`
:
` mu gt 1520`
mL.
Bepaal het kritieke gebied van deze toets en leg uit welke conclusie de fabrikant moet trekken.