Nu geldt `S_(bar(V)) = (s_V)/(sqrt(n)) = 24/(sqrt(25)) = 4,8` .
En verder is `t = (bar(V) - 1530)/(4,8)` .

Gebruik het werkblad met opschrift `t lt 0` en zorg dat daar eerst de juiste waarde voor `n` staat. Lees vervolgens op dezelfde manier af als in de standaardnormale tabel.

Er is sprake van een dubbelzijdige toets, dus het significantieniveau moet worden verdeeld in twee gebieden van `5` %.
Omdat `0,1544 ~~ 15` % is, ligt `1525` niet in het kritieke gebied van de toets (want `15` % is niet kleiner dan `5` %). Dus hij mag aannemen dat zijn vulmachine goed is afgesteld.

Nu is `text(P)(bar(V) lt 1525) = text(P)(t lt (1525 - 1530)/(24/(sqrt(50)))) ~~ text(P)(t lt text(-)1,47) ~~ 0,0740` .
Omdat `0,0740 ~~ 7,4` % is, ligt `1525` nog steeds niet in het kritieke gebied van de toets (want `7,4` % is niet kleiner dan `5` %). Dus hij mag nog steeds aannemen dat zijn vulmachine goed is afgesteld.

Nu is `text(P)(bar(V) lt 1525) = text(P)(t lt (1525 - 1530)/(24/(sqrt(100)))) ~~ text(P)(t lt text(-)2,08) ~~ 0,0214` .
Omdat `0,0214 ~~ 2` % is, ligt `1525` nu wel in het kritieke gebied van de toets (want `2,0` % is kleiner dan `5` %). Dus hij mag nu niet meer aannemen dat zijn vulmachine goed is afgesteld.

Voor grote waarden van `n` zijn beide tabellen vrijwel hetzelfde.
Het gemakkelijkst vergelijk je de tabellen voor negatieve `z` - en `t` -waarden. Voor positieve `t` -waarden moet je er rekening mee houden dat dan het gebied rechts van de grens is gegeven, terwijl bij de `z` -tabel het gebied links van de grens wordt gegeven!

Toets `text(H)_0` : `mu = 1530` tegen `text(H)_1` : `mu != 1530` .
Gebruik een `t` -verdeling met `S_(bar(V)) =(s_V)/(sqrt(n)) = 24/(sqrt(25)) = 4,8` .
De significantie is `alpha = 0,10` .
De betrouwbaarheid is `100 - 10 = 90` %.

`text(P)(bar(V) gt g_2) = text(P)(t gt (g_2-1530)/(4,8))` geeft bij `v = 25-1 = 24` de waarde `t = 1,71` .
`text(P)(bar(V) lt g_1) = text(P)(t lt (g_1-1530)/(4,8))` geeft dus `t = text(-)1,71` .

Dus `(g_1-1530)/(4,8) = text(-)1,71` , zodat `g_1 = text(-)1,71*4,8 + 1530 ~~ 1522` . En `(g_2-1530)/(4,8) = 1,71` , zodat `g_1 = 1,71*4,8 + 1530 ~~ 1538` .

Het kritieke gebied is `bar(V) le 1522 vv bar(V) ge 1539` . (Denk om afrondingen!)

Toets `text(H)_0` : `mu = 1520` tegen `text(H)_1` : `mu lt 1520` .
Gebruik een `t` -verdeling met `S_(bar(V)) =(s_V)/(sqrt(n)) = 12/(sqrt(16)) = 3` .
De significantie is `alpha = 0,01` .
De betrouwbaarheid is `100 - 1 = 99` %.

`text(P)(bar(V) lt g) = text(P)(t lt (g-1520)/(3)) = 0,99` en `v=n-1=15` geeft `t=text(-)2,60` .
(Denk er om dat de tabel alleen positieve `t` -waarden geeft omdat het kritieke gebied rechts van de grens ligt. In dit geval moet het echter links van de grenswaarde liggen, dus `t` wordt negatief.)

Dus `(g-1520)/(3) = text(-)2,60` , zodat `g = text(-)2,60*3 + 1520 = 1512,2` .

Het kritieke gebied is `bar(V) le 1512` en het gevonden gemiddeld ligt daar niet in.
Hij concludeert dus dat zijn machine juist is afgesteld.

Je gebruikt bij dit kleine aantal en alleen de steekproefstandaarddeviatie de `t` -verdeling.
Bij een `95` % betrouwbaarheidsinterval hoort (dubbelzijdige `t` -tabel met `v=n-1=14` ) `t = 2,14` .
Het `95` % betrouwbaarheidsinterval ligt tussen `bar(V) - t*(s_V)/(sqrt(n))` en `bar(V) + t*(s_V)/(sqrt(n))` .
Het `95` % betrouwbaarheidsinterval is `1523 - 2,14*18/(sqrt(15)) lt mu lt 1523 + 2,14*18/(sqrt(15))` , dus `1513 le mu le 1533` .

Bij een `95` % betrouwbaarheidsinterval horen de `z` -waarden `+-1,96` .
Het `95` % betrouwbaarheidsinterval ligt tussen `bar(V) - z*(sigma)/(sqrt(n))` en `bar(V) + z*(sigma)/(sqrt(n))` .
Het `95` % betrouwbaarheidsinterval is `1523 - 1,96*18/(sqrt(15)) lt mu lt 1523 + 1,96*18/(sqrt(15))` , dus `1514 le mu le 1532` .

Als `n` erg groot is, dan verschillen `z*(sigma)/(sqrt(n))` en `t*(s_X)/(sqrt(n))` maar weinig van elkaar omdat dan `sigma` en `s_X` dichter bij elkaar zullen liggen, maar ook omdat je deelt door een groot getal.

Het gaat om een dubbelzijdige `t` -toets.
Bij `v = 30-1 = 29` en een betrouwbaarheid van `(1 - alpha)*100 = 95` % vind je `t = 2,05` , maar vanwege de dubbelzijdigheid ook `t = text(-)2,05` .
`text(P)(bar(G) lt g_1) = text(P)(t lt (g_1 - 1002)/(0,4747)) = 1/2 alpha` als `(g_1 - 1002)/(0,4747) = text(-)2,05` , dus `g_1 ~~ text(-)2,05 * 0,4747 + 1002 ~~ 1001,0` .
`text(P)(bar(G) gt g_2) = text(P)(t gt (g_2 - 1002)/(0,4747)) = 1/2 alpha` als `(g_2 - 1002)/(0,4747) = 2,05` , dus `g_2 ~~ 2,05 * 0,4747 + 1002 ~~ 1003,0` .

Nu vind je `t = +-2,76` .
`(g_1 - 1002)/(0,4747) = text(-)2,76` geeft `g_1 ~~ 1000,7` .
`(g_2 - 1002)/(0,4747) = 2,76` geeft `g_2 ~~ 1003,3` .
Er is nog steeds een significante afwijking.

• `text(H)_0:` : `mu = 1002` .

• `text(H)_1:` : `mu lt 1002` .

In de steekproef is `bar(G) = 1000,5` g en `s_(bar(G)) = (2,5)/(sqrt(10)) = 0,79` .

Met Student's `t` -verdeling vind je bij `v = 9` en enkelzijdig `99` % dat `t = 2,82` .
De tabel is echter rechtszijdig en de toets is linkszijdig, dus moet je dit lezen als `t = text(-)2,82` .
`(g - 1002)/(0,79) = text(-)2,82` geeft `g ~~ text(-)2,82 * 0,79 + 1002 ~~ 999,8` .
Het kritieke gebied is daarom `bar(G) le 999,8` .
De Consumentenbond mag niet zeggen dat de pakken gemiddeld minder dan `1002` gram wegen.

Gebruik weer de `t` -verdeling met `v = 29` maar nu met een (dubbelzijdige) betrouwbaarheid van `95` %. Je vindt dan `t = 2,05` .
Het `95` %-betrouwbaarheidsinterval is `1002 - 2,05*(3)/(sqrt(30)) lt mu_G lt 1002 + 2,05*(3)/(sqrt(30))` .
Dus `1000,9 le mu_G le 1003,1` .

Het `95` %-betrouwbaarheidsinterval is nu `1002 - 1,96*(3)/(sqrt(30)) lt mu_G lt 1002 + 1,96*(3)/(sqrt(30))` .
Dus `1000,9 lt mu_G lt 1003,1` .
Het verschil is niet erg groot.

De bewering die het tijdschrift doet over de standaarddeviatie wordt niet getoetst, maar je kunt niet zomaar aannemen dat zijn weten dat de populatiestandaardafwijking van de gewichten van zeventienjarigen `4,7`  kg is. Je gebruikt dus de standaarddeviatie die je zelf hebt gemeten.

Doe een dubbelzijdige `t` -toets met `v=20-1=19` en een betrouwbaarheid van `99` %.
Je vindt `t = 2,86` .
De grenswaarden vind je zo:
`(g_1 - 54,2)/((5,0)/(sqrt(20))) = text(-)2,86` geeft `g_1 ~~ 51,0` .
`(g_2 - 54,2)/((5,0)/(sqrt(20))) = 2,86` geeft `g_2 ~~ 57,4` .
De gevonden waarde `53,3` kg ligt niet in het kritieke gebied.
De bewering van het tijdschrift blijft overeind.

`bar(N) ~~ 0,022128` en `s_(N) ~~ 0,000458` .

Je doet een enkelzijdige `t` -toets met `v = 25-1 = 24` en een betrouwbaarheid van `99` %.
Je vindt `t = 2,49` , dus voor de ondergrens van het kritieke gebied geldt: `(g - 0,022128)/((0,000458)/(sqrt(25))) = 2,49` .
Dit betekent dat `g ~~ 0,02236` , dus het kritieke gebied is `bar(N) le 0,0224` .

Het gemiddelde niveau aan natriumnitriet is niet te hoog.

Je kunt geen `z` -toets toepassen omdat de standaardafwijking van de populatie van alle metingen onbekend is.
De steekproef is zo klein dat de standaardafwijking daarvan beslist niet overeen zal komen met de standaardafwijking van de populatie.

Je toetst `text(H)_0: mu = 175` tegen `text(H)_1: mu != 175` > met `alpha = 0,01` .
Nu is `bar(C) = 177,375` en `s_C ~~ 8,901` . Je gebruikt een dubbelzijdige `t` -toets met `v = 8-1 = 7` en een betrouwbaarheid van `99` %. Je vindt: `t = 3,50` .
`(g_1 - 175)/((8,901)/(sqrt(8))) = text(-)3,50` geeft `g_1 ~~ 163,99` .
`(g_2 - 175)/((8,901)/(sqrt(8))) = 3,50` geeft `g_1 ~~ 186,01` .
De gevonden `177,375` ligt niet in het kritieke gebied en dus is de afwijking niet statistisch significant.

Omdat alleen de steekproefstandaardafwijking bekend is, gebruik je de `t` -verdeling met `v = 30-1 = 29` .
Bij een (dubbelzijdige) betrouwbaarheid van `95` % hoort `t = 2,05` .

Het `95` % betrouwbaarheidsinterval is dus `25,1 - 2,05*(0,4)/(sqrt(30)) lt mu_G lt 25,1 + 2,05*(0,4)/(sqrt(30))` .
Dit levert op: `24,95 lt mu_V lt 25,25` gram.

Neem een steekproefgrootte van `n` .
Het `95` % betrouwbaarheidsinterval is dan `25,1 - 2,05*(0,4)/(sqrt(n)) lt mu_G lt 25,1 + 2,05*(0,4)/(sqrt(n))` .
Als `n` groter wordt, wordt `2,05*(0,4)/(sqrt(n))` juist kleiner en komen de grenzen dichter bij elkaar te liggen.

`bar(N) = 14,0` en `s_N ~~ 0,15` m%.

Omdat de afwijkingen in de metingen op een bekende manier ontstaan en een vooraf vastgestelde grootte hebben. Je kunt daarom de populatiestandaarddeviatie `sigma` vaststellen op grond van het gemiddelde en de bekende meetonzekerheid.
In dit geval is toevallig de standaardafwijking binnen de steekproef kleiner dan `sigma` .

Omdat `sigma` bekend is, kun je de `z` -tabel gebruiken.

Ondergrens: `14,0 - 1,96*(0,28)/(sqrt(5)) ~~ 13,75` .

Bovengrens: `14,0 + 1,96*(0,28)/(sqrt(5)) ~~ 14,55` .

Het werkelijke stikstofgehalte ligt in `95` % van de metingen tussen `13,75` en `14,55` m%.

Omdat de standaardafwijking van de populatie metingen bekend is, gebruik je de `z` -toets.

Het `95` % betrouwbaarheidsinterval is `15,2 - 1,96*(0,40)/(sqrt(10)) lt mu_(Z) lt 15,2 + 1,96*(0,40)/(sqrt(10))` .

En dat is: `14,95 lt mu_Z lt 15,45` .

Het `99` % betrouwbaarheidsinterval is groter. Nu hoort er een `z` -waarde van `2,575` bij.

Toets `H_0` : `mu = 15,0` tegen `H_1` : `mu != 15,0` .
Gebruik een `z` -toets, want dit zijn gevalideerde metingen.

`text(P)(z lt (g_1 - 15,0)/((0,4)/(sqrt(10)))) = 0,025` geeft `g_1 ~~ 14,75` .

`text(P)(z lt (g_2 - 15,0)/((0,4)/(sqrt(10)))) = 0,975` geeft `g_2 ~~ 15,25` .

Het kritieke gebied is `14,75 lt bar(Z) vv bar(Z) gt 15,25` .

Conclusie: de nulhypothese is waar.

Er is niets gegeven over de meetnauwkeurigheid, dus nee.

Omdat de standaardafwijking van de populatie metingen onbekend is, gebruik je de `t` -toets.

In de steekproef is `bar(N) = 139,4` met `s_N = 6,91` mmol/L.

Met een betrouwbaarheid van `95` % en `v=5-1=4` vind je `t=2,78` .

Het `95` % betrouwbaarheidsinterval is `139,4 - 2,78*(6,91)/(sqrt(5)) lt mu_(N) lt 139,4 + 2,78*(6,91)/(sqrt(5))` .

En dat is: `130,809 lt µ_N lt 147,99` , afgerond op gehelen: `131 le mu_N lt 148` .