Conclusies trekken > f-toetsen
12345f-toetsen

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1
a

Laborant A: `bar(pH1) = 7,6` en `s_(pH1) ~~ 0,47` .

Laborant B: `bar(pH2) = 7,5` en `s_(pH2) ~~ 0,64` .

b

Laborant A is het meest precies geweest, haar standaardafwijking is het kleinst.

c

Je moet dan `text(H)_0` : `s_(pH1) = s_(pH2)` toetsen tegen `text(H)_1` : `s_(pH1) != s_(pH2)` .

Daarvoor bestaan een speciale toets, de zogenaamde f-toets.

Opgave 1
a

`f = (s_(pH2)^2)/(s_(pH1)^2)` omdat `s_(pH2)^2 gt s_(pH1)^2` .
En verder is `f = (0,64^2)/(0,47^2) ~~ 1,58` .

b

Lees in de tabel af `f = 4,03` .
Dit betekent dat voor een `f` -waarde van `4,03` of groter de precisie van beide metingen significant van elkaar verschilt. Voor deze metingen heb je `f ~~ 1,58` gevonden, dus het verschil in precisie is niet significant.

c

Lees in de tabel af `f = 3,18` .
Dit betekent dat voor een `f` -waarde van `3,18` of groter `s_(pH2)` significant groter is dan `s_(pH1)` . Voor deze metingen heb je `f ~~ 1,58` gevonden, dus `s_(pH2)` is niet significant groter dan `s_(pH1)` .

Opgave 2
a

Dan is `f = (s_A^2)/(s_B^2) = (s_A^2)/(s_A^2) = 1` .

b

Dan gaat `f` de waarde `1` benaderen.
Dat komt omdat je de juiste waarde van de grootheid die je aan het meten bent steeds dichter benadert naarmate je steekproef groter wordt. Beide meetsessies krijgen dus steeds kleiner standaarddeviaties die ook steeds dichter bij elkaar komen.

Opgave 3
a

Dit gaat het snelst met behulp van Excel.
Denk er wel om dat je de steekproefstandaarddeviaties berekent.

b

Ga na, dat je dezelfde waarden vindt als in het voorbeeld.

c

De tabel geeft daarbij `f = 9,36` en nog steeds is de `f` -waarde van de twee meetsessies groter.

Opgave 4
a

Om de juistheid te kunnen vaststellen moet je naar de verschillen van telkens twee metingen kijken. Dan moet je wel steeds zo'n verschil kunnen vaststellen. Daarom wordt elk monster eerst op de éne manier en dan op de andere manier gemeten.

b

Ga na dat je hetzelfde krijgt als in het voorbeeld.

c

Je toetst:

`text(H)_0` : `bar(N1-N2)=0` tegen `text(H)_1` : `bar(N1-N2)!=0`

en `s_(N1-N2) = sqrt(s_(N1)^2 + s_(N2)^2) = sqrt(0,22^2 + 0,64^2) ~~ 0,68` .
Verder is `alpha = 0,05` , dus je gebruikt de Student-t-tabel met `v=6-1=5` en een betrouwbaarheid van `95` %.

`(g-0)/((0,57)/(sqrt(5))) ~~ 2,57` , zodat `g ~~ +- 0,66` .

Het kritieke gebied is dus `bar(N1-N2) lt text(-)0,66 vv bar(N1-N2) gt 0,66` .

Nu is `bar(N1-N2) = text(-)0,2` en dit ligt niet in het kritieke gebied.
De conclusie is dat beide meetseries even juist zijn met een betrouwbaarheid van `95` %.

Opgave 5

Je toetst `text(H)_0` : `s_(X_A) = s_(X_B)` tegen `text(H)_1` : `s_(X_B) gt s_(X_A)` .

Dit betekent dat `f = (s_(X_B)^2)/(s_(X_A)^2) ~~ 2,60` .

Gebruik de `f` -tabel met betrouwbaarheid `95` %.
In dit geval zijn de vrijheidsgraden `v_(X_A) = 7` en `v_(X_B) = 9` .
De tabel geeft daarbij `f = 3,68` .

De tweede manier is daarom niet significant minder precies.

Opgave 6
a

Je vindt:

  • oude methode: `bar(pH1) ~~ 7,36` en `s_(pH1) ~~ 0,45` .

  • nieuwe methode: `bar(pH2) ~~ 7,29` en `s_(pH2) ~~ 0,13` .

De nieuwe meetmethode lijkt inderdaad precieser.

b

Je toetst `text(H)_0` : `s_(pH1) = s_(pH2)` tegen `text(H)_1` : `s_(pH1) gt s_(pH2)` .

Dit betekent dat `f = (s_(pH1)^2)/(s_(pH1)^2) ~~ 11,21` .

Gebruik de `f` -tabel met betrouwbaarheid `95` %.
In dit geval zijn de vrijheidsgraden `v_(X_A) = 6` en `v_(X_B) = 6` .
De tabel geeft daarbij `f = 4,28` .

De nieuwe meetmethode is daarom significant minder precies.

Opgave 7
a

Je vindt:

  • oude methode: `bar(tL) ~~ 314,0` en `s_(tL) ~~ 76,5` .

  • nieuwe methode: `bar(tG) ~~ 281,5` en `s_(tG) ~~ 61,3` .

b

Je toetst `text(H)_0` : `s_(tL) = s_(tG)` tegen `text(H)_1` : `s_(tL) gt s_(tG)` .

Dit betekent dat `f = (s_(tL)^2)/(s_(tG)^2) ~~ 1,56` .

Gebruik de `f` -tabel met betrouwbaarheid `95` %.
In dit geval zijn de vrijheidsgraden `v_(tL) = 9` en `v_(tG) = 9` .
De tabel geeft daarbij `f = 3,18 gt 1,56` .

De reactietijden op geluid liggen dus niet significant dichter bij elkaar.

c

Je kijkt daarvoor naar de serie verschillen van elk paar metingen `tL-tG` . Zijn beide series metingen even juist, dan is `bar(tL-tG)=0` . Zijn de reactietijden op geluid kleiner dan is `bar(tL-tG)gt 0` . Je toetst dus:

`text(H)_0` : `bar(tL-tG) = 0` tegen `text(H)_1` : `bar(tL-tG) gt 0`

in een steekproef van `n=5` met standaardafwijking `s_(tL-tG) ~~ 31,5` (volgens Excel).
De (enkelzijdige) betrouwbaarheid is `95` %.

`(g-0)/((31,5)/(sqrt(10))) ~~ 1,83` , zodat `g ~~ 18,2` .

Het kritieke gebied is dus `bar(tL-tG) gt 18,2` .
Nu is `bar(tL-tG) ~~ 32,5` (volgens Excel), en dus zijn de reactietijden op geluid gemiddeld kleiner dan die op licht.

Opgave 8
a

Je kunt een `f` -toets toepassen omdat beide standaardafwijkingen bekend zijn en ook de vrijheidsgraad van de standaardmetingen bekend is, namelijk `oo` .

b

Voor de controlemetingen geldt: `s_C ~~ 8,901` en `v_C=8-1=7` .

Je toetst `text(H)_0` : `s = s_(C)` tegen `text(H)_1` : `s gt s_(C)` .

Dit betekent dat `f = (s^2)/(s_(C)^2) ~~ 2,04` .

Gebruik de `f` -tabel met betrouwbaarheid `95` %.
In dit geval zijn de vrijheidsgraden `v = oo` en `v_(C) = 7` .
De tabel geeft daarbij `f = 2,01` .

De controlemetingen zijn inderdaad precieser dan de standaardmetingen, maar het scheelt niet veel.

Opgave A1
a

De tweede.

b

De vrijheidsgraad is `v = text(minimum)(n_(N1), n_(N2)) - 1 = 5 - 1 = 4` en de (tweezijdige) betrouwbaarheid is `95` %, dus: `t = 2,78` volgens de Student-t-tabel.

Nu is: `t = g/(sqrt((s_(N1)^2)/(n_(N1)) + (s_(N2)^2)/(n_(N2)))) = g/(sqrt((0,15^2)/(5)+(0,52^2)/(6)))~~ g/(0,22) = 2,78` .
Dus `g ~~ 0,62` .
Het kritieke gebied van de toets is `bar(N1)-bar(N2) lt text(-)0,62 vv bar(N1)-bar(N2) gt 0,62` .

Omdat `bar(N1)-bar(N2) = 14,0 - 14,0 = 0` zijn beide steekproeven even juist.
(Deze toets was nogal flauw omdat hier al bij voorbaat `bar(N1) ~~ bar(N2)` .)

c

De vrijheidsgraad is `v = text(minimum)(n_(N1), n_(N2)) - 1 = 6 - 1 = 5` en de (tweezijdige) betrouwbaarheid is `95` %, dus: `t = 2,57` volgens de Student-t-tabel.

Nu is: `t = g/(sqrt((s_(N1)^2)/(n_(N1)) + (s_(N2)^2)/(n_(N2)))) = g/(sqrt((0,22^2)/(6)+(0,64^2)/(6)))~~ g/(0,28) = 2,57` .
Dus `g ~~ 0,71` .
Het kritieke gebied van de toets is `bar(N1)-bar(N2) lt text(-)0,71 vv bar(N1)-bar(N2) gt 0,71` .

Omdat `bar(N1)-bar(N2) = 14,0 - 14,2 = text(-)0,2` zijn beide steekproeven even juist.

Opgave A2
a

Nu de eerste.

b

De vrijheidsgraad is `v = 8 + 10 - 1 = 17` en de (tweezijdige) betrouwbaarheid is `95` %, dus: `t = 2,11` volgens de Student-t-tabel.

Nu is: `t = g/(sqrt((v_(X1)*s_(X1)^2 + v_(X2)*s_(X2)^2)/(v_(X1) + v_(X2)))*sqrt(1/(n_(X1)) + 1/(n_(X2)))) = g/(sqrt((7*1,8^2 + 9*2,9^2)/(7 + 9))*sqrt(1/(8) + 1/(10)))~~ g/(1,18) = 2,11` .
Dus `g ~~ 2,48` .
Het kritieke gebied van de toets is `bar(N1)-bar(N2) lt text(-)2,48 vv bar(N1)-bar(N2) gt 2,48` .

Omdat `bar(X1)-bar(X2) = 25,2 - 24,9 = 0,3` zijn beide steekproeven even juist.

Opgave T1

De metingen van de inspecteur zijn inderdaad minder nauwkeurig dan de standaardmetingen, want `f_(text(tabel)) = 6,09 lt 9` .

Opgave T2
a

Met `95` % betrouwbaarheid zijn beide metingen even precies.

b

Met `95` % betrouwbaarheid zijn beide metingen even juist.

verder | terug