Symmetrie > VierhoekenAntwoorden van de opgaven
Zie figuur bij b.
De vierhoeken I, II, III en IV. Zie figuur.
De vierhoeken I ( `90^@` ), II ( `180^@` ), III ( `180^@` ) en IV ( `180^@` ).
De hoeken onder en boven zijn gelijk en de hoeken links en rechts zijn gelijk.
De hoeken linksonder en rechtsboven zijn gelijk en de hoeken rechtsonder en linksboven zijn ook gelijk.
De hoeken onder en boven zijn gelijk.
Vierhoek I: vierkant
Vierhoek II: ruit
Vierhoek III: rechthoek
Vierhoek IV: parallellogram
Vierhoek V: vlieger
Het omgekeerde klopt niet: een parallellogram hoeft geen rechte hoeken te hebben.
Deze uitspraak klopt. Het omgekeerde niet: een parallellogram hoeft geen ruit te zijn want de zijden hoeven niet alle vier even lang te zijn.
Ja, dat is een vierkant.
Een rechthoek is lijnsymmetrisch met twee symmetrieassen, puntsymmetrisch en draaisymmetrisch met een kleinste draaihoek van `180^@` .
Een vierkant is lijnsymmetrisch met vier symmetrieassen, puntsymmetrisch en draaisymmetrisch met een kleinste draaihoek van `90^@` .
Een vlieger is lijnsymmetrisch met een symmetrieas.
Een ruit is lijnsymmetrisch met twee symmetrieassen, puntsymmetrisch en draaisymmetrisch met een kleinste draaihoek van `180^@` .
Een parallellogram is puntsymmetrisch en draaisymmetrisch met een kleinste draaihoek van `180^@` .
Als `A` en `B` eenmaal hun plek hebben dan kan `C` alleen nog loodrecht op `A B` bewegen, want de hoek bij `B` moet recht blijven. Als dan `C` zijn plek heeft, dan ligt de plaats van punt `D` vast.
Beweeg punt
`B`
totdat
`S`
precies twee hokjes naast
`A`
ligt.
Dan is ook
`B S = C S = D S = 2`
cm, want de diagonalen delen elkaar doormidden.
Bijvoorbeeld door punt `C` te verschuiven tot alle vier de zijden even lang zijn.
Twee, bijvoorbeeld de lengte en de breedte. Of de lengte van beide diagonalen en de hoek ertussen. Of de lengte en de lengte van een diagonaal.
Als die twee punten eenmaal hun plek hebben dan kan `C` alleen nog over de symmetrieas bewegen. Punt `D` ligt dan vast. Je kunt het nog bewegen, maar dan beweegt `B` symmetrisch mee.
Dan is `BS = DS = 2` .
Door punt
`C`
te verschuiven tot alle vier de zijden even lang zijn.
Je kunt er inderdaad ook een vierkant van maken, want dat is een ruit met rechte hoeken.
Drie, bijvoorbeeld de lengtes van twee opeenvolgende ongelijke zijden en de hoek tussen die twee zijden.
Twee, bijvoorbeeld de lengte van de zijden en de hoek tussen twee zijden.
Als de lijnstukken `A B` en `B C` vast liggen, dan ligt ook `D` vast als spiegelbeeld van `B` bij puntspiegeling ten opzichte van het midden van `A C` .
Doen. Alle eigenschappen blijven opgaan.
Een ruit heeft gelijke zijden en gelijke hoeken, dan lopen de tegenoverliggende zijden automatisch evenwijdig. Dus het is een parallellogram.
Een rechthoek en vierkant hebben hoeken van `90^@` . Dan lopen de tegenoverliggende zijden automatisch evenwijdig. Dus het zijn parallellogrammen.
Drie, bijvoorbeeld de lengtes van twee opeenvolgende ongelijke zijden en de hoek tussen die twee zijden.
Ja dat kan, bijvoorbeeld als `AB // // CD` , maar `AB` en `CD` zijn verschillend van lengte.
`angle A = 71^@` , `angle B = 142^@` , `angle C =76^@` en `angle A' = 71^@`
Er ontstaat een vlieger met een hoek van `40^@` , een hoek van `100^@` en twee hoeken van `110^@` .
Een parallellogram.
Een strip die diagonaal wordt geplaatst. Je krijgt dan een driehoek met drie gegeven lengtes en die kan niet worden vervormd. Een driehoek is een starre figuur.
De figuur zal altijd twee paar gelijke hoeken hebben. Dus de overliggende hoek is ook `58^@` . Dan blijft voor de andere hoeken `(360 - 2*58)/2 = 122^@` over.
Vierhoek I: ruit, de andere hoeken zijn `110^@` (overstaande hoeken zijn even groot), `70^@` en `70^@` (overstaande hoeken zijn gelijk en de som van de hoeken van een vierhoek is `360^@` ).
Vierhoek II: parallellogram, de andere hoeken zijn `95^@` (overstaande hoeken zijn even groot), `85^@` en `85^@` (overstaande hoeken zijn gelijk en de som van de hoeken van een vierhoek is `360^@` ).
Vierhoek III: vlieger (pijlpuntvlieger), de andere hoeken zijn `230^@` , `45^@` en `45^@` (trek een hulplijn over de symmetrieas. Dan zie je dat er twee driehoeken ontstaan met bekende hoeken van `20^@` en `115^@` . De onbekende hoek is dan `180 - 115 - 20 = 45^@` ).
Trek een lijn vanuit `A` evenwijdig aan de lijn `BC` . Trek een lijn vanuit `C` evenwijdig aan de lijn `AB` . Op het snijpunt van die lijnen ligt `D` . Dat geeft `D(0, 3)` .
Trek lijn `AC` . Dit is de symmetrie-as van vlieger `ABCE` . Trek vanuit `B` een lijn loodrecht op `AC` . `E` ligt op die lijn, op gelijke afstand als `B` van lijn `AC` . Dat geeft `E(text(-)1, 2 )` .
Je kunt op verschillende manieren een trapezium maken, bijvoorbeeld door `P(text(-)2, 3 )` te kiezen. En er zijn nog wel meer punten `P` mogelijk. Andere soorten bijzondere vierhoeken zijn echter niet mogelijk.
De hoeken rond het centrum moeten `(360^@)/5 = 72^@` zijn.
De twee andere hoeken van de ruit zijn `(360^@-2*72^@)/2 = 108^@` .
Je weet geen hoeken, dus ook niet welke hoek de twee verschillende zijden met elkaar maken.
Begin met `AB` en daarop `/_ A` . Pas op het tweede been `AD = 4` cm af.
Omdat
`CD=CB=3`
cm cirkel je
`3`
cm om vanuit
`B`
en
`3`
cm vanuit
`D`
.
Je vindt dan punt
`C`
en kunt de vlieger afmaken.
Bereken eerst dat `/_E=140^@` .
Teken
`/_ E = 140^@`
en pas op de benen van die hoek
`EF`
en
`EH`
af.
Cirkel vanuit punt
`F`
de zijde
`FG=3`
cm om en cirkel vanuit
`H`
de zijde
`HG = 5`
cm om.
Maak het parallellogram af.
Bedenk dat ook `/_K=40^@` en dat alle zijden `3` cm zijn.
Werk nu net zo als bij de vorige opgave.
Vierhoek I is een vlieger met hoeken van `40^@` , `95^@` , `95^@` en `130^@` .
Vierhoek II is een ruit met twee hoeken van `110^@` en twee hoeken van `70^@` .
Vierhoek III is een parallellogram met twee hoeken van `95^@` en twee hoeken van `85^@` .
Vierhoek `ABCA'` is een ruit.
`angle A = angle A' = 36^@` en de andere twee hoeken zijn `144^@` .