Meetkundige berekeningen > PythagorasAntwoorden van de opgaven
Doen, verdeel ze bijvoorbeeld in rechthoeken en rechthoekige driehoeken.
Door de wortel te trekken uit de oppervlakte van het vierkant waar elke zijde ook een zijde van is.
De oppervlaktes van de twee kleinste vierkanten zijn even groot als die van het grootste vierkant.
Spelen met de applet.
Zijde `AB` . De andere zijden zijn rechthoekszijden.
De oppervlakte van dit vierkant is met de stelling van Pythagoras
`5^2+3^2=34`
.
Controleer dat je dit ook vindt door het vierkant te verdelen in (halve) rechthoeken.
`AB=sqrt(34 )≈5,83` .
De lengte in de tekening klopt bij benadering.
De oppervlakte van dit vierkant is `4^2+3^2=25` . Controleer dat je dit ook vindt door "hokjes tellen".
`AB=sqrt(25 )=5` . Een benadering is niet nodig omdat `25` een kwadraat is. Dit komt af en toe voor bij de stelling van Pythagoras.
De lengte in de tekening klopt.
`PR=c`
is de langste zijde, dus
`12^2+10^2=c^2`
.
Dit geeft
`c^2=244`
en dus
`c=sqrt(244 )≈15,6`
cm.
Conclusie:
`PR≈156`
mm.
Gebruik de stelling van Pythagoras, je hoeft dan geen vierkant op de langste zijde te tekenen en dat te verdelen.
`6^2+4^2=AB^2` geeft `AB=sqrt(52)` .
Geef elkaar een opgave op (bijvoorbeeld op papier) en laat de ander het antwoord berekenen.
Controleer je antwoord met de applet in
Schets de driehoek.
De lengte van `PR` is dan ongeveer `35` cm.
`PR`
is de langste zijde, dus
`18^2+30^2= PR^2`
.
Dit geeft
`PR=sqrt(1224 )≈34,99`
cm.
Nu krijg je:
`54^2+42^2=c^2`
.
Dit geeft:
`c^2=4690`
.
En dus is:
`c=sqrt(4680)≈68,4`
cm.
Ongeveer `54+42+68,4=164,4` cm.
Oefen dit goed!
Oppervlakte vierkant op
`AB`
is
`16`
.
Oppervlakte vierkant op
`BC`
is
`4`
Oppervlakte vierkant op
`AC`
is
`20`
("hokjes tellen")>
Dus `AC = sqrt(20)~~4,47` .
`AC^2=AB^2+BC^2`
`AC^2=3^2+5^2=34`
, dus
`AC=sqrt(34 )`
.
`DE^2=DF^2+EF^2`
`DE^2=5,5^2+13,2^2=204,49`
, dus
`DE=sqrt(204,49 )~~14,3`
.
`KL^2=KM^2+LM^2`
`KL^2=15^2+7^2=274`
, dus
`KL=sqrt(274 )`
.
De ladder zelf is de langste zijde van een rechthoekige driehoek met rechthoekszijden
van
`2`
m en
`8`
m.
Noem de lengte van de ladder
`l`
, dan is
`2^2 + 8^2 = l^2`
.
Dus
`l = sqrt(68) ~~ 8,25`
m.
De diameter van het ronde tafelkleed moet een minimale lengte hebben die gelijk is
aan de diagonaal van het vierkante tafelblad.
De diagonaal
`d`
kan worden berekend in centimers:
`d^2 = 160^2 + 160^2`
geeft
`d = sqrt(51200) ~~ 226,3`
cm.
De diameter van het tafelkleed moet dus minimaal
`226,3`
cm zijn. Afgerond op gehele centimeters is dat
`227`
cm.
Zie figuur. Maak jouw tekening écht op de goede schaal.
Bekijk de figuur hieronder. De breedte van het deurtje `d` is de langste zijde van de getekende rechthoekige driehoek.
Ga na, dat de rechthoekszijden van die driehoek inderdaad `56` cm en `53` cm moeten zijn.
Stelling van Pythagoras: `d^2 = 53^2 + 56^2 = 5945` , dus `d=sqrt(5945)~~77,1` cm.
De stelling van Pythagoras is nodig om die breedte tot op de mm nauwkeurig te kunnen berekenen. In een tekening op schaal is nameten niet nauwkeurig genoeg.
Teken de figuur na.
De kleinste vierkanten zijn `1` bij `1` cm.
In het midden komen er vierkanten tegen elkaar en daar is de boom dus niet meer uit te breiden of je moet vierkantjes over elkaar heen leggen.
Je moet heel nauwkeurig tekenen. Er komen nog twee stappen bij, maar er zijn nu meer plekken waar "takken" over elkaar gaan lopen.
Leuk om zelf eens uit te zoeken. Misschien ontdek je wel dat de hele Pythagorasboom altijd binnen een rechthoek past die `6` keer zo lang is als het vierkantje waarmee je begint en `4` keer zo breed.
`A C = sqrt(41) ~~ 6,4` .
`D F = sqrt(42,25) = 6,5` .
`M L = sqrt(29) ~~ 5,4` .