Meetkundige berekeningen > Lengtes berekenenAntwoorden van de opgaven
Teken een rechthoekige driehoek waarvan de onderste plank een rechthoekszijde is en
de buis de langste zijde.
De hoogte van de kast wordt dan de andere rechthoekszijde.
Denk er om dat de langste zijde de `200` cm is.
`40^2 + h^2 = 200^2` geeft `h^2 = 200^2 - 40^2 = 38400` , zodat `h=sqrt(38400)~~196,0` cm.
Neem aan, dat alle vijf tussenruimtes gelijk zijn.
Elke tussenruimte wordt dan ongeveer `196,0 // 5 ~~ 39,2` cm.
Doe dit zonder naar de uitleg te kijken. Vergelijk jouw antwoord met dat in de uitleg.
Zorg er in je schets voor dat de rechte hoek op de goede plek zit.
De hypotenusa - de langste zijde - is `KL` , dus de stelling van Pythagoras luidt: `KM^2 + LM^2 = KL^2` .
Ingevuld: `3^2 + LM^2 = 5^2` .
Dit levert op: `LM^2 = 5^2 - 3^3 = 16` , dus `LM=sqrt(16)=4` .
`PR=c`
is de hypotenusa, dus
`12^2+10^2=c^2`
.
Dit geeft
`c^2=244`
en dus
`c=sqrt(244 )≈15,6`
cm.
Conclusie:
`PR≈156`
mm.
Omdat `AC` de langste zijde is, zou nu de stelling van Pythagoras zijn: `12^2 + 5^2 = 13^2` .
Nu is `12^2 = 144` , `5^2 = 25` en `13^2 = 169` .
Omdat `144+25=169` klopt in deze driehoek de stelling van Pythagoras en is hij dus rechthoekig.
Omdat `DE` de langste zijde is, zou nu de stelling van Pythagoras zijn: `8^2 + 10^2 = 12^2` .
Nu is `10^2 = 100` , `8^2 = 64` en `12^2 = 144` .
Omdat `100+64!=144` klopt in deze driehoek de stelling van Pythagoras niet en is hij dus niet rechthoekig.
Nu krijg je:
`1,5^2+QR^2=3,5^2`
.
Dit geeft:
`QR^2=3,5^2-1,5^2=10`
.
En dus is:
`QR=sqrt(10 )≈3,16`
m.
De ladder bereikt nu een hoogte van `QR=sqrt(10 )≈3,16` m.
Nu krijg je:
`PQ^2+3^2=3,5^2`
.
Dit geeft:
`PQ^2=3,5^2-3^2=3,25`
.
En dus is:
`PQ=sqrt(3,25 )≈1,80`
m.
De voet van de ladder moet op
`180`
cm van de muur.
De lengte van `QR` is ongeveer `24` cm.
In deze driehoek geldt als stelling van Pythagoras: `PQ^2+ QR^2=PR^2` .
Dus: `16^2+ QR^2=30^2` . Dit geeft `QR=sqrt(644 )≈23,38` cm.
Oefen dit goed!
Voor
`AC`
geldt de volgende stelling van Pythagoras:
`4^2+ 2^2=AC^2`
.
`AC = sqrt(20) ~~ 4,47`
.
Voor
`BC`
geldt de volgende stelling van Pythagoras:
`4^2+ 1^2=BC^2`
.
`BC = sqrt(17) ~~ 4,12`
.
Oefen dit goed met een klasgenoot.
Omdat `20 +20 =40` geldt in deze driehoek de stelling van Pythagoras: `AC^2+BC^2=AB^2` . En omdat die alleen in rechthoekige driehoeken geldt, moet deze driehoek dus wel rechthoekig zijn. Ga na, dat `∠C` de rechte hoek is.
`AB^2=10^2+2^2=104`
`AC^2=9^2+2^2=85`
`BC^2=1^2+4^2=17`
In deze driehoek geldt de stelling van Pythagoras dus niet.
`AB^2=9^2+2^2=85`
`AC^2=8^2+2^2=68`
`BC^2=1^2+4^2=17`
`17+68=85`
In deze driehoek geldt de stelling van Pythagoras. De driehoek is rechthoekig.
Gebruik passer en geodriehoek.
Omdat
`4^2+5^2≠6^2`
.
Gebruik passer en geodriehoek.
Omdat
`5^2+12^2=13^2`
.
`B C^2 + AC^2 = AB^2`
`B C^2 = 6^2 - 5^2 = 11`
, dus
`B C = sqrt( 11 )`
.
`KL^2 + KM^2 = LM^2`
`K L^2 = 6,5^2 - 2,5^2 = 36`
, dus
`K L = sqrt( 36 ) = 6`
.
`DE^2 + EF^2 = DF^2`
`D F^2 = 6,5^2 + 2,5^2 = 48,5`
, dus
`D F = sqrt( 48,5 )`
.
Als eerste geldt
`PQ^2 + QR^2 = PR^2`
.
`6^2 + 8^2 = PR^2`
, dus
`PR = sqrt(100) = 10`
.
Er geldt ook dat
`SR = PR - 6,4 = 3,6`
.
Vervolgens geldt:
`S R^2 + TS^2 = TR^2`
.
`3,6^2 + 2^2 = TR^2`
, dus
`TR = sqrt(16,96) ~~ 4,12`
.
Teken een driehoek
`ABC`
, waarin
`AC`
de ladder is en
`AB`
de gevraagde afstand.
Dan is
`AB^2 + 5,5^2 = 6^2`
, zodat
`AB^2 = 6^2 - 5,5^2 = 5,75`
.
Dus `AB = sqrt(5,75) ~~ 2,40` m.
Het beeldscherm is
`sqrt(17^2-10^2) = sqrt( 189 )`
inch lang en dat is ongeveer
`34,9`
cm.
Dit beeldscherm heeft een lengte van
`349`
mm en een breedte van
`254`
mm.
`10^2 + 7,5^2 = 12,5^2` , dus deze driehoek is rechthoekig met `∠ B` als rechte hoek.
`2^2 + 2^2 ≠ 3^2` , dus deze driehoek is niet rechthoekig.
`10^2 + 24^2 = 26^2` , dus deze driehoek is rechthoekig met `∠ H` als rechte hoek.
`5^2 + 5^2 = 50` , dus deze driehoek is rechthoekig met `∠ K` als rechte hoek.
Aan de zijkant van het huis is een rechthoekige driehoek te zien: van de nok recht naar beneden tot de vloer van de bovenste verdieping, van het midden van de vloer van de bovenverdieping naar de dakgoot en van de dakgoot naar de nok. De zijkant `z` van het pannendak is dus te berekenen met de stelling van Pythagoras: `3^2+3^2=z^2` , zodat `z=sqrt(18)` .
Het dak bestaat uit twee rechthoeken van
`10`
m bij
`sqrt(18 )≈4,24`
m. De totale dakoppervlakte is daarom ongeveer
`84,8`
m2.
Daarvoor zijn
`84,8*17,5 = 1484`
dakpannen nodig (naar beneden afronden kan vanwege de schoorsteen).
(De maten van het dak zullen ongetwijfeld in werkelijkheid zo worden gekozen dat
het met gehele dakpannen kan worden bedekt.)
`3^2 + 4^2 = 5^2` , dus in zo'n driehoek geldt de stelling van Pythagoras. Het is dus een rechthoekige driehoek.
Noem de tussenruimtes tussen de knopen `x` cm. Je kunt dan een driehoek maken met zijden van `3 x` , `4 x` en `5 x` . Omdat `( 3 x ) ^2 + ( 4 x )^2 = ( 5 x ) ^2` , geldt in deze driehoek altijd de stelling van Pythagoras en dus is hij altijd rechthoekig.
Uit vierkant III en uit vier keer rechthoekige driehoek `ABC` .
Uit de vierkanten I en II en uit vier keer rechthoekige driehoek `ABC` .
Dat de oppervlakte van vierkant III gelijk moet zijn aan die van de vierkanten I en II samen.
De redenering hiervoor ziet er wel sterk uit. Maar er zijn wat haken en ogen...
Hoe weet je bijvoorbeeld zeker dat al die rechthoekige driehoeken binnen de gestippelde
vierkanten ook echt gelijk zijn aan
`∆ ABC`
? Een echt zorgvuldig bewijs kun je in de wiskunde alleen leveren binnen een goed
opgebouwde theorie.
`B C = sqrt(20)` .
`K L = sqrt(42,25) = 6,5` .
`D F = sqrt(29,75)` .
`10^2 + 24^2 = 26^2` , dus deze driehoek is rechthoekig met `/_C` als rechte hoek.
`3^2 + 3^2 ≠ 5^2` , dus deze driehoek is niet rechthoekig.
Maximaal `170` cm.