Meetkundige berekeningen

Meetkundige berekeningen > Oppervlakte ruimtefiguur

123456Oppervlakte ruimtefiguur

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1

Het bovenvlak (en ook het ondervlak) is een vijfhoek.
In dit geval een rechthoek van `112` bij `106` cm waar een halve rechthoek van `56` bij `53` cm vanaf wordt gezaagd. De oppervlakte is dus `112 * 106 - 1/2 * 56 * 53 = 10388` cm².

De hoogte is `120` cm.

Voor de breedte `b` gebruik je de stelling van Pythagoras.
Ga na, dat `53^2 + 56^2 = b^2` , zodat `b^2 = 5945` en `b=sqrt(5945)~~77,1` cm.

Onderkant en bovenkant zijn elk `10388` cm².

Het deurtje is ongeveer `77,1 * 120 ~~ 9252` cm².

De andere vier rechthoeken zijn samen `112*120+106*120+56*120+53*120 = 39240` cm².

In totaal is dat `69268` cm² en dat is ongeveer `6,9` m²

Opgave 1

Een rechthoek.

`K L^2 = KB^2 + BL^2`
`K L^2 = 2^2 + 2^2 = 8` dus `KL = sqrt(8)` .

De bovenkant en de onderkant van het prisma zijn vijfhoeken met een oppervlakte van `6 * 6 - 1/2 * 2 * 2 = 34` cm².
Het vlak `K L M N` heeft een oppervlakte van `6 * sqrt( 8 )` cm².
De totale oppervlakte is daarom `2 * 6 * 6 + 2 * 6 * 4 + 68 + 6 sqrt( 8 ) ~~ 136,97` cm² `= 13697` mm².

Opgave 2

Maak eerst even een schets van de situatie.

`B P^2 8^2 + 6^2 = 100` , dus `BP = CQ = sqrt(100) = 10` .
De totale oppervlakte is `6 * 12 + 6 * 6 + 2 * 9 * 8 + 6 * 8 + 6 * 10 = 360` cm².

Opgave 3

Gebruik de stelling van Pythagoras in de rechthoekige driehoek `MST` .

Elk opstaand zijvlak heeft een hoogte `h` waarvoor geldt `2^2 + 6^2 = h^2` .
Dus `h^2 = 40` en `h=sqrt(40)` .

Ga na of je dit goed hebt gedaan door het voorbeeld te bekijken.

Opgave 4

Ga er vanuit dat de piramide dezelfde letters bij de hoekpunten heeft als in Voorbeeld 1.

Het grondvlak heeft een oppervlakte van `100` cm².
Gebruik de stelling van Pythagoras in de rechthoekige driehoek `AMT` . Elk opstaand zijvlak heeft een hoogte `h` waarvoor geldt `5^2 + h^2 = 10^2` .
Dat betekent `h^2 = 10^2 - 5^2 = 75` en `h=sqrt(75)` .
De totale oppervlakte is daarom `100 +4 *1/2*10 *sqrt(75 ) ~~ 273,21` cm² `=27321` mm².

Opgave 5

Eerst de formule voor de oppervlakte `A` van een cirkel met straal `r` : `A = pi*r^2` .

Dan de formule voor de omtrek `P` van een cirkel met straal `r` : `P = 2pi*r` .

Ga na of je dit goed hebt gedaan door het voorbeeld te bekijken.

Opgave 6

Als je de in de lengte openknipt en plat legt, krijg je een rechthoek met een lengte van `1000` mm. De breedte is de omtrek van een cirkel met een straal van `8` mm.
De oppervlakte is daarom `2 π*8 *1000 =16000 π≈50265` mm².
Het grondvlak is gelijk aan het bovenvlak en heeft een oppervlakte van: `π*8^2 = 16 π≈50,27` mm².

De totale oppervlakte is dus `50,27 + 50,27 + 50265 = 50365,5` mm².

Opgave 7

De breedte van elk dakdeel (een rechthoekige driehoek) wordt `4` m genomen. De oppervlakte wordt zo iets te groot geschat en dat is beter dan dat alles krap berekend is.

De voorgevel bestaat uit twee rechthoekige driehoeken met rechthoekszijden van `8` en `4` m.
Voor de langste rechthoekzijde `l` geldt `4^2+8^2 = l^2` , dus `l=sqrt(80 )` .

Doen, ga na of je hetzelfde vindt als in het voorbeeld.

Deze dakgoot is de langste zijde `z` van een dakdeel.
Daarom is `4^2+ (sqrt(80 ))^2 = z^2` , zodat `z=sqrt(96 )` m lang.

Opgave 8

Gebruik de stelling van Pythagoras om de lengtes van de twee dakdelen te berekenen.
Van het rechter dakdeel is de diepte `200` en voor de lengte `l` geldt: `190^2 + 35^2 = l^2` , dus `l = sqrt(37325)~~193` cm.
Het oppervlakte ervan is ongeveer `200*193` cm.
Van het linker dakdeel is de diepte `200` en voor de lengte `l` geldt: `110^2 + 35^2 = l^2` , dus `l = sqrt(13325)~~115` cm.
Het oppervlakte ervan is ongeveer `200*115` cm.
De totale oppervlakte van het dak is dus ongeveer `200 *193 +200 *115 =61600` cm² en dat is ongeveer `6,16` m².

Opgave 9

Bereken eerst de schuine ribben.
Voor hun lengte `l` geldt `240^2+100^2=l^2` cm, dus `l=sqrt(67600)=260` cm.
De oppervlakte van de voorkant is gelijk aan de achterkant: `2 *1/2*100*240 + 120 * 240 = 52800` cm².

Oppervlakte van een zijkant: `450 * 260 = 117000` cm².

Oppervlakte van het dak: `120 * 450 = 54000` cm².

De totale oppervlakte aan glas is dan `393600` cm² en dat is ongeveer `39,36` m².

Opgave 10

De oppervlakte van de halve cilinder is `1/2*2 π*5,5 *20 =110 π` m². Je hebt dus voor ongeveer `110 π*1,5 ≈518,4` m² verf nodig.

Opgave 11

De piramide die het dak voorstelt heeft een rechthoekig grondvlak van `200` bij `180` cm. De hoogte van die piramide is `35` cm. Het dak bestaat uit gelijkbenige driehoeken die echter niet alle vier hetzelfde zijn.
Er zijn twee driehoeken met een basis van `200` en een hoogte van `sqrt(90^2+35^2)=sqrt(9325 )` en er zijn twee driehoeken met een basis van `180` en een hoogte van `sqrt(100^2+35^2)=sqrt(11225 )` .
De totale oppervlakte van het dak is daarom `200 *sqrt(9325 )+180 *sqrt(11225 )≈38384` cm².

Opgave 12

Zie figuur.
De ribben in het grondvlak zijn `2` m en `sqrt(1^2+1^2)=sqrt(2 )` m.
De nok van de tent is `2` m.
Alle andere schuine opstaande ribben zijn `sqrt(1^2+1,5^2)=sqrt(3,25 )` m.

Elke driehoek van de uitslag is gelijkbenig met twee benen van `sqrt(3,25 )` m en een basis van `sqrt(2 )` m. De hoogte daarvan is `sqrt( (sqrt(3,25 ))^2- (1/2sqrt(2 ))^2)=sqrt(2,75 )` m.
De totale oppervlakte is `4 *1/2*sqrt(2 )*sqrt(2,75 )+2 *2 *sqrt(3,25 )≈11,90` m².

Opgave 13Kast onder het schuine dak

Kast onder het schuine dak

Die schuine kant is de langste zijde van een rechthoekige driehoek van `122` cm bij `173 - 87,4 = 85,6` cm. Voor die langste zijde `l` geldt dus: `122^2 + 85,6^2 = l^2` zodat `l ~~ 149,0` mm.

De schuine kant is een rechthoek van `~~ 149,0 * 39,5 ~~ 5886` cm².

Er zijn vijf verticale rechthoeken van `39,5` cm breed en met hoogtes van `173` tot `87,4` en daartussen steeds `(173 - 87,4) // 4 ~~ 21,4` cm korter dan de hoogste.
Die hebben samen een oppervlakte van `39,5*173 + 39,5*151,6 + 39,5*130,2 + 39,5*108,8 + 39,5*87,4 = 25714,5` cm².

De bodem is een plank van `122*39,5 =4819` cm².

Tenslotte zijn er `21` horizontale plankjes met een diepte van `39,5` en een breedte van `122/4 = 30,5` , dus (vanwege de dikte van het materiaal) ongeveer `30` cm.
Daarvan is de totale oppervlakte `21*30*39,5 = 24885` cm².

De totale hoeveelheid MDF is dus `5886+4819+25714,5+24885=61304,5` cm².
Dat is ongeveer `6,13` m² MDF-plaat.

Opgave 14Cilindrische kast

Cilindrische kast

Bereken eerst de oppervlakte van één cilinder:
de onderkant en de bovenkant zijn cirkels met een straal van `20` cm en dus een oppervlakte van `pi*20^2 = 400pi` cm²;
de zijkant (cilindermantel) is uitgerold een rechthoek met een lengte van `pi*40` en een hoogte van `30` cm en dus een oppervlakte van `pi*40*30=1200pi` cm².

De oppervlakte van één cilinder is `400pi+1200pi=1600pi~~5027` cm².

De oppervlakte van het kastje is `~~ 3 * 5027 ~~ 15080` cm².

Opgave 15

`36 + 12 * sqrt(135) ~~ 175,43` cm².

Opgave 16

`~~ 33709` mm².

verder | terug