Kwadratische verbanden > Nulpunten en top
12345Nulpunten en top

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1

A B + B C + C D = 100 geeft b + B C + b = 100 en dus B C = 100 2 b .
En dus is A = A B B C = b ( 100 2 b ) = 100 b 2 b 2 .

Om de grootste waarde van A te bepalen, maak je een grafiek van A. Eerst maak je een tabel, neem voor b getallen als 10, 20, 30, ..., 100.

Opgave 1
a

De vergelijking b ( 100 2 b ) = 0 bestaat uit twee factoren die vermenigvuldigt 0 opleveren. Daarom kun je de vergelijking meteen splitsen in b = 0 100 2 b = 0 .

b

Zie tabel. Maak er een grafiek bij.

x 0 10 20 30 40 50
y 0 800 1200 1200 800 0
c

De symmetrieas is x = 25.
Het getal 25 is het gemiddelde van de x-waarden van de nulpunten.

d

Vul x = 25 in de formule in en je krijgt A = 1250. De maximale oppervlakte van het landje is dus 1250 m2.

Opgave 2
a

`0,5(x - 2)(x - 6) = 0` geeft `(x - 2)(x - 6) = 0` en dus `x = 2 vv x = 6` .

De nulpunten zijn `(2,0)` en `(6,0)` .

b

Deze lijn ligt midden tussen beide nulpunten in. Het gemiddelde van 2 en 6 is 4.

c

x = 4 invullen geeft y = -2. De top is ( 4,-2 ) .

d

Hij gaat door de nulpunten en de top. Voor de volledigheid kun je nog enkele andere x-waarden invullen om een nette grafiek te krijgen.

Opgave 3
a

Ontbinden geeft: y = ( x 2 ) ( x 3 ) .
( x 2 ) ( x 3 ) = 0 geeft x = 2 x = 3 .

De nulpunten zijn ( 2 , 0 ) en ( 3 , 0 ) .

b

x = 2,5.

c

x = 2,5 invullen geeft y = - 0,25. De top is ( 2,5 ; -0,25 ) .

d

Hij gaat door de nulpunten en de top. Voor de volledigheid kun je nog enkele andere x-waarden invullen om een nette grafiek te krijgen.

Opgave 4
a

Doen.

b

T ( 0,5 ; 1,25 )

Opgave 5
a

Nulpunten: ( 2 , 0 ) en ( 5 , 0 ) .
Symmetrieas: x = 3,5 .
Top: T ( 3,5 ; - 2,25 ) .

b

Nulpunten: ( 0 , 0 ) en ( 5 , 0 ) .
Symmetrieas: x = 2,5 .
Top: T ( 2,5 ; 12,5 ) .

c

Controleer je antwoorden met de applet. Werk eventueel met iemand samen.

Opgave 6
a

y = 3 x 2 + 42 x + 120 = 3 ( x 2 + 14 x + 40 ) = 3 ( x + 4 ) ( x + 10 )

De nulputen zijn ( - 4 , 0 ) en ( - 10 , 0 ) .

b

De symmetrieas is x = - 7 , dus de top van de bijbehorende parabool is ( - 7 , - 27 )

Er is sprake van een dalparabool, dus van een minimum van - 27 voor x = - 7 .

Opgave 7
a

Omdat dan aan beide zijden van het isgelijkteken het getal - 1 staat. Door aan beide zijden 1 op te tellen verdwijnen deze getallen beide en blijft er een uitdrukking over die gemakkelijk te ontbinden is door 2 x buiten haakjes te halen.

b

x = 0 + 3 2 = 1,5

c

Dat kan op dit moment alleen door inklemmen. Je weet waar beide nulpunten ongeveer moeten zitten. Daar maak je dan een nauwkeurige tabel.

Opgave 8
a

1,5 x 2 + 3 x 4,5 = - 4,5 geeft 1,5 x 2 + 3 x = 0 en dus 1,5 x ( x + 2 ) = 0 , zodat x = 0 x = - 2 .

Je vindt ( 0 ; - 4,5 ) en ( - 2 ; - 4,5 ) .

b

T ( - 1 , - 6 ) en dit komt overeen met de applet.

c

Controleer je antwoorden met behulp van de applet. (Zorg er dus wel voor dat je parabool in beeld is!)

Opgave 9
a

- 0,5 x 2 + 50 x = - 0,5 x ( x 100 ) = 0 geeft x = 0 x = 100 .

De nulpunten zijn ( 0 , 0 ) en ( 100 , 0 ) .

b

T ( 50 , 1250 ) en dit komt overeen met de applet.

c

Met de gevonden top en nulpunten is de schets eenvoudig te maken.

Opgave 10
a

Vul x = 0 in de formule in. Je vindt h = 0,42 .

De bal wordt op 42 cm hoogte geraakt.

b

De nulpunten zijn ( - 2 , 0 ) en ( 21 , 0 ) .

De bal komt na 21 m weer op de grond.

c

De nulpunten zijn ( - 2 , 0 ) en ( 21 , 0 ) .

De symmetrieas is daarom x = 9,5 .

De top van de parabool is ( 9,5 ; 1,3225 )

Opgave 11
a

Nulpunten: ( 0 , 0 ) en ( 30 , 0 ) .
Symmetrieas: x = 15 .
Top: T ( 15 , - 450 ) . Dalparabool, dus is er een minimum van - 450 voor x = 15 .

b

Top: T ( 2,5 ; - 1 ) . Dalparabool, dus is er een minimum van - 1 voor x = 2,5 .
Nulpunten: ( x 2.5 ) 2 1 = 0 geeft x = 2,5 x = 3,5 . Dus ( 2,5 ; 0 ) en ( 3,5 ; 0 ) .

c

Nulpunten: ( 4 , 0 ) en ( - 1 , 0 ) .
Symmetrieas: x = 1,5 .
Top: T ( 1,5 ; 3,125 ) . Bergparabool, dus is er een maximum van 3,125 voor x = 1,5 .

d

Top: T ( 3,1 ) . Dalparabool, dus is er een minimum van 1 voor x = 3 .
Nulpunten: ( x 3 ) 2 + 1 = 0 heeft geen oplossing. Dus er zijn geen nulpunten.

e

De formule kan worden geschreven als y = ( x 4 ) 2 7,5

Top: T ( 4 ; - 7,5 ) . Dalparabool, dus is er een minimum van - 7,5 voor x = 4 .
Nulpunten: ( x 4 ) 2 7.5 = 0 geeft x = 4 7,5 x = 4 + 7,5 . De nulpunten zijn dus ( 4 7,5 ; 0 ) en ( 4 + 7,5 ; 0 ) .

f

Top: T ( - 1 , 0 ) . Bergparabool, dus is er een maximum van 0 voor x = - 1 .
Nulpunt is ( - 1 , 0 ) want dit is een dalaparabool met zijn top op de x-as.

Opgave 12
a

0,5 x 2 x 4 = 0 geeft x 2 2 x 8 = ( x 4 ) ( x + 2 ) = 0 en dus x = 4 x = - 2

De nulpunten zijn ( 4 , 0 ) en ( - 2 , 0 ) .

b

De top is ( 1 ; - 4 , 5 ) .

c

Je hebt al drie punten van de grafiek. Bereken er nog een paar en maak dan je grafiek.

Opgave 13
a

0,5 x 2 x + 1 = 1 geeft x 2 2 x = 0 en dus x = 0 x = 2

De punten zijn ( 0 , 1 ) en ( 2 , 1 ) .

b

De symmetrieas is x = 1 .

De top is ( 1 ; 0,5 ) .

c

Je hebt de top. Bereken nog een paar punten, maak een tabel en maak dan je grafiek.

Opgave 14
a

Oplossen: x 2 + 8 x + 2 = 2 geeft x = 0 x = - 8 .
Top: T ( - 4 , - 14 ) .

b

Oplossen: x 2 2 x + 10 = 10 geeft x = 0 x = 2 .
Top: T ( 1 , 9 ) .

c

Oplossen: 2 x 2 + 10 x 8 = - 8 geeft x = 0 x = - 5 .
Top: T ( - 2,5 ; - 20,5 ) .

d

Nulpunten: ( - 3 , 0 ) en ( 8 ; 0 ) .
Symmetrieas: x = 2,5 .
Top: T ( 2,5 ; 121 ) .

e

Oplossen: 0,5 x 2 + x = 0 geeft x = 0 x = - 2 .
Top: T ( - 1 ; - 0,5 ) .

f

Oplossen: - x 2 + 6 x 4 = - 4 geeft x = 0 x = 6 .
Top: T ( 3 , 5 ) .

Opgave 15Soepverkoop (1)
Soepverkoop (1)
a

In de tabel kun je zien, dat elke keer als de prijs met 5 toeneemt, het aantal verkochte koppen soep met - 10 toeneemt (dus eigenlijk afneemt). De richtingscoëfficiënt van de lijn die je door de punten in de tabel kunt tekenen is daarom - 10 / 5 = - 2 .
De formule wordt daarmee q = - 2 p + b en het invullen van één van de punten in de tabel geeft b = 340 .
En daarmee vind je de formule die is gegeven.

b

Bereken steeds p q en ga na dat de uitkomst daarvan groter wordt als p kleiner wordt.

c

Nee, op zeker moment wordt zijn prijs per kop zo laag, dat hij nauwelijks inkomsten overhoudt.

d

R = - 2 p 2 + 340 p als je de haakjes uitwerkt. Deze formule past bij een bergparabool, dus er is een maximum.

e

De nulpunten van R vind je uit R = p ( 340 2 p ) = 0 en dat levert op p = 0 p = 170 .
De symmetrieas van de bergparabool die bij deze formule past is p = 85 . De maximale opbrengst vind je dus bij p = 85 en die is 14450, dus € 144,50.

Voor een zo groot mogelijke opbrengst moet hij € 0,85 per kop vragen.

f

Nee, want je moet ook rekening houden met de kosten voor het maken van de erwtensoep. Zie volgende opgave.

Opgave 16Soepverkoop (2)
Soepverkoop (2)
a

Bij winst houd je ook rekening met de gemaakte kosten en bij opbrengst let je alleen op de inkomsten als gevolg van van de verkoop.

b

De winst per kop soep is p 50 cent en het aantal verkochte koppen soep is 340 2 p . Om de winst uit te rekenen moet je deze twee uitdrukkingen vermenigvuldigen.

c

( p 50 ) ( 340 2 p ) = 0 geeft p 50 = 0 340 2 p = 0 en dus p = 50 p = 170 . Bij deze prijzen is de winst op de verkoop van de koppen soep 0, dus dan wordt er geen winst gemaakt en ook geen verlies geleden.

d

De symmetrieas van de bergparabool die bij de formule voor de winst past is p = 110 . De maximale winst vind je dus bij p = 110 en die is 7200, dus € 72,00.

Voor een zo groot mogelijke winst moet hij € 1,10 per kop vragen.

verder | terug