Kwadratische verbanden > Nulpunten en top
12345Nulpunten en top

Uitleg

Een boer heeft een stuk weiland naast een vijver. Hij wil naast de vijver een stuk grond afzetten met 200 m hekwerk. Zie figuur hieronder. Langs de vijver komt geen hek.
b is de lengte van A B .
Voor `BC` krijg je dan een lengte van `200 - 2b` .
Voor de oppervlakte van het weiland krijg je dan de formule:

A = b ( 100 - 2 b ) = 100 b - 2 b 2

Deze formule kun je kennelijk in twee vormen schrijven: een vorm met haakjes en een vorm die als hoogste macht van b een kwadraat heeft, maar ook nog een term heeft waarin b niet in het kwadraat staat. Er is dan ook sprake van een kwadratische functie. Maar hoe bepaal je het maximum van die functie?

Je kunt natuurlijk een grafiek van deze functie tekenen door eerst een tabel te maken. Maar welke waarden moet je kiezen om in te vullen? Daarvoor bereken je eerst de nulpunten, de snijpunten met de x-as van deze functie, want je weet dat die er moeten zijn.

Daartoe moet je oplossen b ( 100 - 2 b ) = 0 .
Juist vanwege de haakjes is dat eenvoudig: b = 0 100 - 2 b = 0 geeft b = 0 b = 50.
De nulpunten zijn dus ( 0 , 0 ) en ( 50 , 0 ) .

Daarom maak je een tabel met voor x de waarden 0, 10, 20, 30, 40 en 50. Je kunt dan de parabool tekenen en de top bepalen.

Opgave 1

Bekijk in de Uitleg hoe je de nulpunten van de kwadratische functie A = b ( 100 - 2 b ) = 100 b - 2 b 2 bepaalt.

a

Waarom is dit het gemakkelijkst vanuit de vorm met de haakjes?

Je kunt nu een geschikte tabel maken bij de gegeven functie.

b

Doe dat en teken de bijbehorende grafiek.

c

Welke symmetrieas heeft de bijbehorende parabool? Hoe kun je die uit de twee nulpunten afleiden?

Je kunt nu de top van de parabool bepalen. Daarmee bepaal je de maximale oppervlakte van het landje.

d

Bereken die top en geef de maximale waarde van het landje.

Opgave 2

Gegeven is de kwadratische functie `y = 0,5(x - 2)(x - 6)` .

a

Bereken de nulpunten van deze kwadratische functie.

b

Waarom is `x = 4` de symmetrieas van de bijbehorende parabool?

c

Bepaal de top van deze parabool.

d

Teken de parabool.

Opgave 3

Gegeven is de kwadratische functie y = x 2 - 5 x + 6 .

a

Ontbind deze functie eerst in factoren; gebruik de som-en-product methode. Bereken daarna de nulpunten van deze kwadratische functie.

b

Welke symmetrieas heeft de bijbehorende parabool?

c

Bepaal de top van deze parabool.

d

Teken de parabool.

verder | terug