Kwadratische verbanden

Kwadratische verbanden > Kwadratische vergelijkingen

Overzicht

12345Kwadratische vergelijkingen

Toepassen

Je hebt je waarschijnlijk de hele tijd al af zitten vragen hoe die wiskundigen nu aan de abc-formule zijn gekomen. Een manier om die formule af te leiden is met behulp van kwadraat afsplitsen. Dat is ook een techniek die je in de bovenbouw bij wiskunde B nodig hebt. De volgende opgaven zijn daarom ook vooral nuttig als je overweegt om dat vak te kiezen.

Neem als voorbeeld de kwadratische functie $y = x^{2} + 6 x + 1$ . Je kunt in de uitdrukking rechts van het isgelijkteken een kwadraat afsplitsen. Hiernaast zie je hoe de uitdrukking $x^{2} + 6 x$ te herleiden is tot ${(x + 3)}^{2} - 9$ .
De formule $y = x^{2} + 6 x + 1$ herleid je daarmee tot $y = {(x + 3)}^{2} - 8$ .

Uit deze vorm van de kwadratische functie kun je de top van de bijbehorende parabool aflezen. Bovendien kun je nu door terugrekenen de nulpunten exact bepalen.

Opgave 16Een kwadraat afsplitsen

Een kwadraat afsplitsen

Bekijk in Toepassen hoe je een kwadratische functie door kwadraat afsplitsen kunt schrijven in de vorm $y = a {(x - p)}^{2} + q$ .

Wat is het voordeel van die vorm?

Laat zien, dat $x^{2} + 8 x = {(x + 4)}^{2} - 16$ .

Schrijf nu de kwadratische functie $y = x^{2} + 8 x + 2$ in een vorm waarin je de top kunt aflezen.

Kwadraat afsplitsen werkt ook als er mintekens in de formules voorkomen, alleen kun je dan niet altijd meer een figuur erbij tekenen. Splits een kwadraat af bij de volgende kwadratische functies.

$y = x^{2} + 6 x - 12$

$y = x^{2} - 4 x + 9$

$y = x^{2} + 5 x$

Opgave 17Een vergelijking oplossen door kwadraat afsplitsen

Een vergelijking oplossen door kwadraat afsplitsen

Je kunt nu het kwadraat afsplitsen toepassen bij het oplossen van kwadratische vergelijkingen. Elke kwadratische vergelijking kun je er mee oplossen...

Neem eerst de vergelijking $x^{2} + 6 x + 1 = 0$ .

Splits nu aan de linkerzijde van het isgelijkteken een kwadraat af. Los vervolgens de vergelijking op door terugrekenen.

Op dezelfde manier kun je de volgende vergelijkingen oplossen.

Los op: $x^{2} + 8 x - 15 = 0$ .

Los op: $x^{2} - 8 x + 2 = 0$ .

Los op: $2 x^{2} - 8 x + 2 = 0$ .

Opgave 18Een lastig geval

Een lastig geval

Kwadraat afsplitsen is een manier om elke kwadratische vergelijking op te lossen.

Los op: $3 x^{2} + 7 x + 1 = 0$ .

Opgave 19De abc-formule afleiden

De abc-formule afleiden

Kwadraat afsplitsen gaat altijd op dezelfde manier. Als je dit dus één keer netjes doet met de algemene vorm van een kwadratische vergelijking dan krijg je een formule voor alle oplossingen van een kwadratische vergelijking van die vorm.

Los op: $a x^{2} + b x + c = 0$ .

verder | terug