Kwadratische verbanden > Kwadratische vergelijkingen
12345Kwadratische vergelijkingen

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1

x 2 + 6 x + 8 = ( x + 2 ) ( x + 4 ) = 0 geeft x = - 2 x = - 4 .

Opgave V2

Dat kun je (waarschijnlijk) niet. In deze paragraaf ga je leren hoe dit kan: je leert de abc-formule te gebruiken.

Opgave 1
a

Doen.

b

Ja, ze komen overeen.

c

x - 1,586 x - 4,414

d

Lees af: a = 1 , b = 6 en c = 8 .

Oplossing: x = - 6 ± 6 2 4 1 8 2 1 = - 6 ± 4 2 .

Dit kun je herleiden tot x = - 6 ± 2 2 en dat betekent x = 2 x = 4 . Nu zie je dat beide oplossingen overeen komen.

e

Omdat als a = 0 het kwadraat wegvalt en er dus geen kwadratische vergelijking, maar een lineaire vergelijking overblijft.

f

Je schrijft de vergelijking eerst als 2 x 2 6 x + 4 = 0 .

Lees af: a = 2 , b = - 6 en c = 4 .

Oplossing: x = 6 ± ( - 6 ) 2 4 2 4 2 2 = 6 ± 4 4 .

Omdat nu de wortel uitkomt vind je x = 6 + 2 4 = 2 x = 6 2 4 = 1 .

Opgave 2
a

Lees af: a = 1 , b = 12 en c = 4 .

Oplossing: x = - 12 ± 12 2 4 1 4 2 1 = 12 ± 128 2 .

Dit kun je herleiden tot x = 12 ± 128 2 = 12 ± 8 2 2 = 6 ± 4 2 .

b

Lees af: a = 2 , b = 5 en c = - 10 .

Oplossing: x = - 5 ± 5 2 4 2 - 10 2 2 = - 5 ± 105 4 .

Dit hoef je niet verder te herleiden, want de wortel is niet te vereenvoudigen.

c

Schrijf de vergelijking eerst als x 2 5 x 7 = 0 .

Lees af: a = 1 , b = - 5 en c = - 7 .

Oplossing: x = 5 ± ( - 5 ) 2 4 1 - 7 2 1 = 5 ± 53 2 .

Dit hoef je niet verder te herleiden, want de wortel is niet te vereenvoudigen.

d

Schrijf de vergelijking eerst als 9 x 2 + 10 x 17 = 0 .

Lees af: a = 9 , b = 10 en c = - 17 .

Oplossing: x = - 10 ± 10 2 4 9 - 17 2 9 = - 10 ± 712 18 .

Dit hoef je niet verder te herleiden.

e

Je schrijft de vergelijking eerst als 2 x 2 12 x + 16 = 0 . (Eventueel deel je ook nog beide zijden door 2.)

Lees af: a = 2 , b = 12 en c = 16 .

Oplossing: x = 12 ± ( - 12 ) 2 4 2 16 2 2 = 12 ± 4 4 .

Omdat nu de wortel uitkomt vind je x = 12 + 2 4 = 3,5 x = 12 2 4 = 2,5 .

f

Lees af: a = 3 , b = 8 en c = - 3 .

Oplossing: x = - 8 ± 8 2 4 3 - 3 2 3 = - 8 ± 100 6 .

Omdat nu de wortel uitkomt vind je x = - 8 + 10 6 = 1 3 x = - 8 10 6 = - 3 .

Opgave 3
a

Lees af: a = 2 , b = - 6 en c = - 1 .

En dus is D = b 2 4 a c = ( - 6 ) 2 4 2 - 1 = 44 .

b

De oplossing is x = 6 ± 44 4 .

d

De oplossing is x 3,2 x - 0,2 .

e

Lees af: a = 2 , b = - 6 en c = 4,5 .

En dus is D = ( - 6 ) 2 4 2 4,5 = 0 . De uitdrukking onder de wortel valt daarom weg.

De oplossing is x = 6 ± 0 4 = 1,5 .

f

Lees af: a = 2 , b = - 6 en c = 6 .

En dus is D = ( - 6 ) 2 4 2 6 = - 12 . De discriminant is negatief en de wortel uit een negatief getal heeft geen reële uitkomst.

Opgave 4
a

Lees af: a = 2 , b = 5 en c = - 20 .

En dus is D = 5 2 4 2 - 20 = 185 .

De oplossing is x = - 5 ± 185 4 .

b

Schrijf de vergelijking als 3 x 2 9 x + 11 = 0 .

Lees af: a = 3 , b = - 9 en c = 11 .

En dus is D = ( - 9 ) 2 4 3 11 = - 51 < 0 .

Geen reële oplossing.

c

Schrijf de vergelijking als 3 x 2 4 x + 1 = 0 .

Lees af: a = 3 , b = - 4 en c = 1 .

En dus is D = ( - 4 ) 2 4 3 1 = 4 > 0 .

De oplossing is x = 4 ± 4 4 en dat geeft x = 1,5 x = 0,5 .

d

Lees af: a = 4 , b = - 20 en c = 25 .

En dus is D = ( - 20 ) 2 4 4 25 = 0 .

De oplossing is x = 20 8 = 2,5 .

Opgave 5
a

Omdat je de vergelijking in de vorm a x 2 + b x + c = 0 moet brengen om de abc-formule te kunnen toepassen.

b

Doen.

c

Het kwadraat van - 5 is - 5 - 5 = 25 en niet - 5 2 = - 5 5 .

d

x = 5 + 13 2 4,30 x = 5 13 2 0,70

Opgave 6
a

`3x^2 + 4 = 7x` geeft `3x^2 - 7x + 4 = 0` .
Nu is `D = 1` en de oplossingen zijn: `x = 8/6 = 4/3 vv x = 1` .

b

Haakjes wegwerken en op `0` herleiden: `2x^2 + x - 1 = 4` geeft `2x^2 + x - 5 = 0` .
Nu is `D = 41` en de oplossingen zijn: `x = (text(-)1+sqrt(41))/4 vv x = (text(-)1-sqrt(41))/4` .

c

Op `0` herleiden: `x^2 - 4x + 7 = 0` .
Nu is `D lt 0` en zijn er geen oplossingen.

d

Haakjes wegwerken en op `0` herleiden: `x^2 + 2x + 9 = 0` .
Nu is `D lt 0` en zijn er geen oplossingen.

e

Haakjes wegwerken en op `0` herleiden: `4x^2 - 16x + 16 = 0` .
Nu is `D = 0` en is er één oplossing: `x=2` .

f

Nu kun je meteen worteltrekken: `2x+4 = +- sqrt(32)` .
En dus zijn de oplossingen: `x = text(-)2 + 1/2 sqrt(32) vv x = text(-)2 - 1/2 sqrt(32)` .

Opgave 7
a

Als je de haakjes uitwerkt lijkt er een kwadratische vergelijking te ontstaan. Maar nee, want aan beide zijden van het isgelijkteken kun je dan x 2 aftrekken en dan blijft er geen kwadraat meer over.

b

x 2 + 8 x + 16 = 4 + x 2 wordt 8 x + 12 = 0 .

c

Op 0 herleiden was achteraf niet handig. Deze vergelijking los je op met de balansmethode. Nu krijg je 8 x = - 12 en dus x = - 12 / 8 = - 1,5 .

Opgave 8

Oefen jezelf met AlgebraKIT. Daarin kun je ook de antwoorden bekijken en uitleg uitklappen.

Opgave 9
a

x 2 + 6 x + 5 = ( x + 5 ) ( x + 1 ) = 0 levert de juiste x-waarden op.

b

Je kunt in de figuur zien dat er twee snijpunten zijn.

c

Bijvoorbeeld door invullen in y 2 = 2 x 4 . Bij x = - 5 krijg je dan y = 2 - 5 4 = - 14 en bij x = - 1 krijg je dan y = 2 - 1 4 = - 6 .

d

Nee, beide formules moeten dezelfde bijbehorende y-waarden opleveren.

Opgave 10
a

Eerst x 2 + 3 x + 1 = - x 2 op 0 herleiden tot x 2 + 4 x + 3 = 0 .

Oplossen met de abc-formule (of de som-en-product-methode) geeft x = - 3 x = - 1 .

De snijpunten zijn ( - 3 , 1 ) en ( - 1 , - 1 ) .

b

Eerst x 2 x 6 = 2 x + 4 op 0 herleiden tot x 2 3 x 10 = 0 .

Oplossen met de abc-formule (of de som-en-product-methode) geeft x = - 2 x = 5 .

De snijpunten zijn ( - 2,0 ) en ( 5,14 ) .

c

Je moet nu x 2 = 2 oplossen.

Zo'n eenvoudige vergelijking doe je niet met de abc-formule. Je vindt x = ± 2 .

De snijpunten zijn ( - 2 , 2 ) en ( 2 , 2 ) .

Opgave 11
a

( x + 1 ) 2 = 4 x 2

b

Eerst x 2 + 2 x + 1 = 4 x 2 op 0 herleiden tot 2 x 2 + 2 x 3 = 0 .

De discriminant is D = 2 2 4 2 - 3 = 28 en dat is een positief getal maar geen kwadraat.

c

Met de abc-formule vind je x = - 2 ± 28 4 , dus x - 1,823 x 0,823 .

De snijpunten zijn (op twee decimalen nauwkeurig) ( - 1,82 ; 0,68 ) en ( 0,82 ; 3,32 ) .

Opgave 12
a

Oplossing: x = - 5 ± 21 2

b

Oplossing: x = 3 ± 25 4 dus x = 2 x = - 0,5 .

c

Eerst op 0 herleiden: - 5 x 2 7 x 1 = 0 .
Oplossing: x = 7 ± 29 - 10 .

d

Eerst haakjes uitwerken en op 0 herleiden: 2 x 2 + 3 x 3 = 0 .
Oplossing: x = 3 ± 33 4 .

e

Eerst haakjes uitwerken en op 0 herleiden: 2 x 2 = 0 .
Oplossing: x = 0 .

f

Nu kun je meteen splitsen: x = 0 2 x + 3 = 0 .
Oplossing: x = 0 x = - 1,5 .

g

Eerst haakjes uitwerken en op 0 herleiden: x 2 2 x 17 = 0 .
Oplossing: x = 2 ± 72 2 = 1 ± 3 2 .

h

Nu kun je meteen splitsen: x + 3 = 0 x 5 = 0 .
Oplossing: x = - 3 x = 5 .

i

Nu kun je meteen worteltrekken: 2 x + 5 = ± 5 .
Oplossing: x = - 5 ± 5 2 .

Opgave 13
a

D = 5 2 4 2 - 1 = 33 , dus twee oplossingen.

b

Eerst op 0 herleiden: 5 x 2 x 1 = 0 .
D = ( - 1 ) 2 4 5 - 1 = 21 , dus twee oplossingen.

c

Eerst op 0 herleiden: - 2 x 2 + 6 x 18 = 0 .
D = 6 2 4 - 2 - 18 = - 108 , dus geen reële oplossingen.

d

Hier kun je meteen worteltrekken: 1 2 x = ± 12 .
Er zijn dus twee oplossingen.

e

Als je dit schrijft als ( x 1 ) 2 = - 4 zie je meteen dat er geen reële oplossingen zijn: een kwadraat kan niet negatief zijn.

Opgave 14
a

Er zijn twee snijpunten met gehele coördinaten. Dus is D > 0 en een kwadraat.

b

Er zijn twee snijpunten, maar niet met gehele coördinaten. Dus is D > 0 , maar geen kwadraat.

c

Er zijn geen snijpunten. Dus is D < 0 en dus geen kwadraat.

d

Er zijn twee nulpunten met gehele coördinaten. Dus is D > 0 en een kwadraat.

e

Er zijn geen nulpunten. Dus is D < 0 en dus geen kwadraat.

f

Er is één snijpunt met gehele coördinaten. Dus is D = 0 en dat is een kwadraat.

Opgave 15
a

- 2 x 2 + 8 x = 2 x 36 geeft x 2 3 x 18 = 0 en dus x = - 3 x = 6 . De snijpunten zijn ( - 3 , 42 ) en ( 6 , - 24 ) .

b

( x 10 ) 2 50 = 10 5 x geeft x 2 15 x + 40 = 0 en dus x = 15 ± 65 2 . De snijpunten zijn ( 3,5 ; - 7,3 ) en ( 11,5 ; - 47,7 ) .

Opgave 16Een kwadraat afsplitsen
Een kwadraat afsplitsen
a

In die vorm kun je meteen de top van de bijbehorende parabool aflezen. Bovendien kun je de nulpunten exact berekenen door terugrekenen.

b

Dat kun je doen met een figuur zoals die in Toepassen , of door aan de rechterkant de haakjes weer uit te werken.

c

y = x 2 + 8 x + 2 = ( x + 4 ) 2 16 + 2 = ( x + 4 ) 2 14 en de top is dus ( -4,-14 ) .

d

y = x 2 + 6 x 12 = ( x + 3 ) 2 9 12 = ( x + 3 ) 2 21

e

y = x 2 4 x + 9 = ( x 2 ) 2 4 + 9 = ( x 2 ) 2 + 5

f

y = x 2 + 5 x = ( x + 2,5 ) 2 6,25

Opgave 17Een vergelijking oplossen door kwadraat afsplitsen
Een vergelijking oplossen door kwadraat afsplitsen
a

Je krijgt na kwadraat afsplitsen ( x + 3 ) 2 8 = 0 .

Terugrekenen levert op x = -3 ± 8 .

b

Kwadraat afsplitsen: ( x + 4 ) 2 31 = 0 .

Oplossing: x = -4 ± 31 .

c

Kwadraat afsplitsen: ( x 4 ) 2 14 = 0 .

Oplossing: x = 4 ± 14 .

d

Eerst beide zijden delen door 2.
Dan kwadraat afsplitsen: ( x 2 ) 2 3 = 0 .

Oplossing: x = 2 ± 3 .

Opgave 18Een lastig geval
Een lastig geval

Nu moet je heel nauwkeurig werken en met breuken en wortels rekenen.

Eerst deel je door 3 en splits je een kwadraat af. Dit geeft ( x + 7 6 ) 2 37 36 = 0 .
Dan worteltrekken en naar de oplossing toewerken: x = - 7 6 ± 1 6 37 .

Opgave 19De abc-formule afleiden
De abc-formule afleiden

Een pittig klusje... De complete uitwerking vind je in de Theorie , onder "Bewijs" .
Alleen wordt daar een iets andere methode gebruikt opdat ook mensen die kwadraat afsplitsen niet beheersen toch kunnen begrijpen waar die formule vandaan komt.

verder | terug