Kwadratische verbanden > Kwadratische vergelijkingen
12345Kwadratische vergelijkingen

Uitleg

Elke vergelijking die je kunt schrijven in de vorm a x 2 + b x + c = 0 heet een kwadratische vergelijking of ook wel tweedegraads vergelijking (mits a 0 ) omdat de hoogste macht van de onbekende x die voorkomt 2 is. (Een lineaire vergelijking noem je ook wel een eerstegraads vergelijking.)

Soms kun je een kwadratische vergelijking oplossen, bijvoorbeeld door ontbinden of door terugrekenen. Maar dat lukt lang niet altijd. Wiskundigen hebben zich al honderden jaren geleden over dit probleem gebogen. Ze hebben de abc-formule gevonden:

De oplossing van de vergelijking a x 2 + b x + c = 0 is x = - b + b 2 4 a c 2 a x = - b b 2 4 a c 2 a als a 0 .

Als je nu x 2 + 6 x + 7 = 0 wilt oplossen, dan maak je van de bovenstaande oplossing gebruik. Je leest af a = 1 , b = 6 en c = 7 . Deze drie getallen vul je in de oplossing van de algemene vergelijking in en je krijgt de oplossing van jouw vergelijking:

x = - 6 + 6 2 4 1 7 2 1 x = - 6 6 2 4 1 7 2 1

ofwel:

x = - 6 + 8 2 x = - 6 8 2

Het is handiger om de vorm b 2 4 a c die onder het wortelteken staat afzonderlijk te berekenen. Je noemt deze uitdrukking de discriminant D = b 2 4 a c .

Opgave 1

Bekijk in de Uitleg hoe je een kwadratische vergelijking oplost met de abc-formule.

a

Los zelf de vergelijking x 2 + 6 x + 7 = 0 op met behulp van de abc-formule.

b

Vergelijk je antwoord met dat in de Uitleg . Komen ze overeen?

c

Geef benaderingen van beide x-waarden van de oplossing in drie decimalen nauwkeurig.

In opgave V1 werd de oplossing van x 2 + 6 x + 8 = 0 gevraagd.

d

Bepaal de oplossing van deze vergelijking met de abc-formule. Ga na, dat je oplossing overeen komt met de oplossing die je eerder hebt gevonden.

Bij het gebruik van de abc-formule moet je er wel op letten dat de vergelijking die je oplost kwadratisch is en de vorm a x 2 + b x + c = 0 heeft.

e

Waarom betekent dit dat a 0 ?

f

Los op: 4 + 2 x 2 = 6 x .

Opgave 2

Los de volgende vergelijkingen op met de abc-formule.

a

x 2 + 12 x + 4 = 0

b

2 x 2 + 5 x 10 = 0

c

5 x x 2 + 7 = 0

d

9 x 2 = 17 10 x

e

2 x 2 + 16 = 12 x

f

3 x 2 + 8 x 3 = 0

Opgave 3

Bekijk in de Uitleg wat de discriminant van een kwadratische vergelijking is.

Bekijk de vergelijking 2 x 2 6 x 1 = 0 .

a

Bereken de discriminant van deze vergelijking.

b

Bereken vervolgens de oplossing.

d

Geef een benadering van de oplossing van deze vergelijking in één decimaal nauwkeurig.

Bekijk nu de vergelijking 2 x 2 6 x + 4,5 = 0 .

e

Bereken eerst de discriminant. Leg uit dat je aan de discriminant kunt zien dat de oplossing van de vergelijking maar één waarde heeft. Bereken vervolgens die éne oplossing.

Bekijk nu de vergelijking 2 x 2 6 x + 6 = 0 .

f

Laat met behulp van de discriminant zien, dat de vergelijking geen reële oplossing heeft.

Opgave 4

Bepaal van de volgende kwadratische vergelijkingen eerst het aantal oplossingen (dus het aantal waarden in de oplossing). Los ze vervolgens op.

a

2 x 2 + 5 x 20 = 0

b

11 + 3 x 2 = 9 x

c

3 x 2 = 4 x 1

d

4 x 2 20 x + 25 = 0

verder | terug