Kwadratische verbanden > Handig oplossen
12345Handig oplossen

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1

Manier I, de abc-formule gebruiken:
Eerst op 0 herleiden: 2 x 2 + 12 x + 10 = 0 .
Oplossing: x = - 10 ± 64 4 en dus x = - 2 x = - 3 .

Manier II, een kwadraat afsplitsen:
Eerst op 0 herleiden en delen door 2: x 2 + 6 x + 5 = 0 .
Dit geeft ( x + 3 ) 2 = 4 en dus x + 3 = ± 2 zodat x = - 2 x = - 3 .

Manier III, ontbinden in factoren:
Eerst op 0 herleiden en delen door 2: x 2 + 6 x + 5 = 0 .
Dit geeft ( x + 2 ) ( x + 3 ) = 0 en dus x = - 2 x = - 3 .

Eigenlijk zou manier III het snelst moeten gaan...

Opgave V2

De abc-formule gebruiken, of een kwadraat afsplitsen is nu beslist niet handig. Ontbinden in factoren is het handigst.

Eerst delen door 2: x 2 + 6 x = 0 .
Dit geeft x ( x + 6 ) = 0 en dus x = 0 x = - 6 .

Opgave 1
a

Vergelijk je antwoorden met die van opgave V1 en opgave V2.

b

Dit wordt een drieterm.

c

Ja, als je na het op 0 herleiden ook nog met 2 vermenigvuldigt (of door 0,5 deelt) aan beide zijden. Je krijgt dan x 2 - 8 x + 12 = ( x - 2 ) ( x - 6 ) = 0 . Dit geeft x = 2 x = 6 .

d

Op 0 herleiden en met 2 vermenigvuldigen (of door 0,5 delen) geeft x 2 - 8 x + 10 = 0 .
Dit kun je niet met gehele getallen in factoren ontbinden en dus neem je de abc-formule (of kwadraat afsplitsen): x = 8 ± 24 2 = 2 ± 6 .

e

Het wordt een tweeterm en dan heb je de abc-formule niet nodig, ontbinden gaat gemakkelijk.

f

Je schrijft de vergelijking eerst als x 2 - 18 x = x ( x - 18 ) = 0 .

Oplossing: x = 0 x = 18 .

Opgave 2
a

Met 10 vermenigvuldigen, haakjes uitwerken en op 0 herleiden geeft x 2 - 2 x - 10 = 0 . Ontbinden lukt niet dus pas je de abc-formule toe: x = 2 ± 44 2 = 1 ± 11 .

b

Met 10 vermenigvuldigen en worteltrekken geeft x - 2 = ± 20 en dus x = 2 ± 20 .

c

Meteen splitsen geeft 0,1 x = 0 x - 2 = 0 en dus x = 0 x = 2 .

d

Met 10 vermenigvuldigen, haakjes uitwerken en op 0 herleiden geeft x 2 - x - 20 = 0 . Dit kun je ontbinden: ( x - 5 ) ( x + 4 ) = 0 en dus krijg je x = 5 x = - 4 .

Opgave 3
a

Splitsen geeft x - 2 = 0 x + 3 = 0 en dus x = 2 x = - 3 .

b

Haakjes uitwerken en op 0 herleiden: x 2 + x - 12 = 0 .
Dit kun je ontbinden tot ( x + 4 ) ( x - 3 ) = 0 zodat x = - 4 x = 3

c

Haakjes uitwerken en op 0 herleiden: x 2 + x - 13 = 0 .
Dit kun je niet ontbinden en dus gebruik je de abc-formule: x = 1 ± 53 2 .

Opgave 4
a

De variabele komt maar op één plaats voor. Je kunt dus terugrekenen.

b

Eerst beide zijden + 1 geeft ( 2 x - 7 ) 2 = 10 .
Worteltrekken levert op 2 x - 7 = ± 10 zodat x = 7 ± 10 2 .

Opgave 5
a

Delen door 3 en op 0 herleiden: x 2 + 2 x - 3 = 0 .
Ontbinden geeft ( x + 3 ) ( x - 1 ) = 0 zodat x = - 3 x = 1 .

b

Delen door 15 en op 0 herleiden: t 2 - t - 2 = 0 .
Ontbinden geeft ( t - 2 ) ( t + 1 ) = 0 zodat t = 2 t = - 1 .

c

Delen door 0,5: x 2 = 64 en dus x = ± 8 .

d

Delen door 0,25 en op 0 herleiden: p 2 - 12 p = 0 .
Ontbinden geeft p ( p - 12 ) = 0 en dus p = 0 p = 12 .

e

Beide zijden + 8 geeft ( a - 4 ) 2 = 13 .
Worteltrekken: a - 4 = ± 13 en dus a = 4 ± 13 .

f

Op 0 herleiden: 6 t 2 - 4 t - 1 = 0 .
De abc-formule toepassen: t = 4 ± 40 12 = 2 ± 10 6 .

g

Haakjes uitwerken: x 2 - 4 = 1 .
Dit geeft (terugrekenen): x 2 = 5 en dus x = ± 5 .

h

Op 0 herleiden: x 2 - 2 x + 1 = 0 .
Ontbinden: ( x - 1 ) 2 = 0 geeft x = 1 .

Opgave 6
a

Haakjes uitwerken, op 0 herleiden en delen door 3 geeft p 2 - 8 p + 7 = 0 .
Ontbinden in factoren geeft p = 1 p = 7 .

b

Worteltrekken geeft p + 2 = 5 - 2 p p + 2 = - ( 5 - 2 p ) .
En dit levert op p = 3 - 2 p p + 2 = - 5 + 2 p en dus 3 p = 3 - p = - 7 zodat p = 1 p = 7 .

Opgave 7
a

Worteltrekken geeft x + 1 = ± ( 2 x + 4 ) .
Deze twee vergelijkingen los je met de balansmethode op: x = 3 x = - 5 3 .

b

Worteltrekken geeft x - 2 = ± ( - x + 3 ) .
Deze twee vergelijkingen los je met de balansmethode op. De éne vergelijking heeft geen oplossing en de andere geeft x = 2,5 .

c

Worteltrekken: 2 a - 2 = ± 6 .
Dus krijg je a = 4 a = - 2 .

d

Worteltrekken geeft 5 + 3,5 k = ± k .
Deze twee vergelijkingen los je met de balansmethode op: k = 2 k = - 10 9 .

Opgave 8
a

Haakjes uitwerken en op 0 herleiden geeft 2 x 2 + 5 x - 12 = 0 .
Met de abc-formule vind je x = 5 ± 121 4 en levert dezelfde x-waarden op als in het voorbeeld.

b

Omdat je dan door 0 zou kunnen delen en dat mag niet. Je moet er daarom rekening mee houden dat x + 4 = 0 er ook voor zorgt dat aan beide zijden van het isgelijkteken dezelfde uitkomst (namelijk 0) ontstaat.

c

Zodra er bij een vergelijking aan beide zijden dezelfde factor voorkomt.

Opgave 9
a

De vergelijking is te schrijven als 5 x ( x - 3 ) = 6 ( x - 3 ) .
Je kunt hem dus splitsen in 5 x = 6 x - 3 = 0 . Oplossing: x = 6 5 x = 3 .

b

Deze vergelijking kun je direct splitsen: x + 1 = 5 x = 0 .
Oplossing: x = 4 x = 0 .

c

Deze vergelijking kun je direct splitsen: x = 6 x = 0 en klaar...

d

Deze vergelijking kun je direct splitsen: 4 x + 1 = x 2 x - 5 = 0 .
Oplossing: x = - 1 3 x = 2,5 .

Opgave 10
a

x = 0 x = 1

b

Beide zijden + 1 en worteltrekken. Oplossing: x = 0 x = 2 .

c

Je krijgt x 2 = 2 .
Oplossing: x = ± 2 .

d

Ontbinden in factoren: x buiten haakjes halen.
Oplossing: x = 0 x = 1 .

e

Op 0 herleiden en de abc-formule toepassen.
De discriminant is negatief, dus geen reële oplossingen.

f

Op 0 herleiden en de abc-formule toepassen.
Oplossing: x = - 2 ± 44 2 = - 1 ± 11 .

g

Ontbinden in factoren.
Oplossing: x = - 1 .

h

Haakjes uitwerken geeft x 2 = 18 .
Oplossing: x = ± 18 .

i

Haakjes uitwerken en op 0 herleiden: x 2 + x - 26 = 0 .
Oplossing: x = - 1 ± 105 2 .

j

Direct splitsen: 2 - x = 3 x = 0 .
Oplossing: x = - 1 x = 0 .

Opgave 11
a

Haakjes uitwerken en op 0 herleiden geeft 2 x 2 - 5 x = 0 .
Ontbinden: x ( 2 x - 5 ) = 0 .
Oplossing: x = 0 x = 2,5

b

Direct splitsen: 2 x - 3 = 0 x - 1 = 0 . Oplossing: x = 1,5 x = 1 .

c

Herleiden tot ( s - 3 ) 2 = - 5 .
Als je probeert te worteltrekken dan zie je dat er geen reële oplossingen zijn.

d

Herleiden tot ( s + 1 ) 2 = 9 4 en dan worteltrekken geeft s + 1 = 3 2 s + 1 = - 3 2 .
Oplossing: s = 1 2 s = - 5 2 .

e

Haakjes uitwerken, op 0 herleiden en de abc-formule toepassen.
Oplossing: x = 3 ± 21 2 .

f

Meteen worteltrekken: x - 2 = 4 - 3 x x - 2 = - 4 + 3 x .
Oplossing: x = 1,5 x = 1 .

g

Herleiden tot 2 ( x - 1 ) 2 = 0 .
Oplossing: x = 1 .

h

Direct splitsen geeft p - 1 = 0 3 p = p + 1 .
Oplossing: p = 1 p = 0,5 .

i

Haakjes uitwerken en op 0 herleiden: x 2 - 7 x + 11 = 0 .
Oplossing: x = 7 ± 5 2 .

j

Met 2 vermenigvuldigen en op 0 herleiden geeft x 2 - 8 x - 20 = 0 . Dan ontbinden in factoren.
Oplossing: x = 10 x = - 2 .

Opgave 12

Van de lijn A B is de richtingscoëfficiënt 12 - 6 10 - 0 = 0,6 .
Bij de lijn A B hoort de formule y = 0,6 x + 6 .

Voor de snijpunten van lijn en parabool geldt: 0,25 ( x - 2 ) 2 + 5 = 0,6 x + 6 .
Haakjes uitwerken en op 0 herleiden geeft 0,25 x 2 - 1,6 x = 0 . Dit kun je door ontbinden in factoren oplossen: x = 0 x = 6,4 .

Conclusie: punt C heeft de coördinaten ( 6,4 ; 9,84 ) .

Opgave 13
a

Je moet daarvoor oplossen -6 q 2 + 100 q - 246 > 0 . De waarden voor q moeten op twee decimalen nauwkeurig worden afgerond omdat het om honderdtallen Blu-Ray spelers gaat.
-6 q 2 + 100 q - 246 = 0 geeft met de abc-formule q = -100 ± 4096 -12 . Afgerond op twee decimalen levert dit q 13,67 q = 3 op.

Er wordt winst gemaakt als 3 q < 13,67 . Dus bij een verkoop vanaf 300 tot en met 1366 spelers per week.

b

Het gaat hier om de top van de bij de gegeven formule horende bergparabool. Die top ligt op de symmetrieas, en dus op de lijn die loodrecht op de q-as staat en die as midden tussen de twee nulpunten snijdt. Dat is de lijn q 8,333 .

De maximale winst wordt gemaakt bij een wekelijkse verkoop van ongeveer 833 Blu-Ray spelers en de maximale winst bedraagt € 166666,60. (Denk om de duizendtallen!)

Opgave 14Handige oplossingstechnieken
Handige oplossingstechnieken
a

Dat wordt in Voorbeeld 3 toegepast.

Eigenlijk doe je bij deze strategie dit: A B = A C geeft A B - A C = 0 en dus A ( B - C ) = 0 zodat A = 0 B = C .

b

Beide zijden van de vergelijking A B = C D vermenigvuldigen met B D .

c

Eerst kruislings vermenigvuldigen en dan op 0 herleiden, ontbinden in factoren en splitsen.

Opgave 15Vergelijkingen met hogere machten
Vergelijkingen met hogere machten
a

Splitsen: x = 0 x 2 = 4 .
Oplossing: x = 0 x = ± 2 .

b

Splitsen: x 2 = 0 3 ( x - 5 ) = 1 .
Oplossing: x = 0 x = 16 3 .

c

Splitsen: x - 1 = 0 4 ( x - 1 ) 2 = 1 . Vervolgens in de rechter vergelijking worteltrekken.
Oplossing: x = 1 x = 1,5 x = 0,5 .

d

Worteltrekken: x 2 + 1 = ± 2 geeft x 2 = - 1 x 2 = 3 .
Oplossing: x = ± 3 .

e

Worteltrekken: 2 x + x 2 - 4 = x + 1 2 x + x 2 - 4 = - x - 1 geeft x 2 + x - 5 = 0 x 2 + 3 x - 3 = 0 .
Oplossing: x = - 1 ± 21 2 x = - 3 ± 21 2 .

Opgave 16Vergelijkingen met breuken
Vergelijkingen met breuken
a

Kruislings vermenigvuldigen en haakjes uitwerken geeft 2 x 2 + 5 x + 3 = x 2 + 5 x + 6 . Herleiden tot: x 2 = 3 .
Oplossing: x = ± 3 . (Controleer wel even dat voor deze x-waarden zowel x + 2 0 als 2 x + 3 0 .)

b

Kruislings vermenigvuldigen en haakjes uitwerken geeft 4 x 2 - 2 x = x - x 3 . Op 0 herleiden en ontbinden geeft x ( 5 x - 3 ) = 0 .
Oplossing: x = 0 x = 3 5 . (Controleer wel even dat voor deze x-waarden zowel 2 x - 1 0 als 1 - x 0 .)

c

Splitsen: 2 x - 1 = 0 3 x = x + 2 .
Oplossing: x = 0,5 x = 1 . (Controleer wel even dat voor deze x-waarden zowel 3 x 0 als x + 2 0 .)

d

Je ziet meteen: x - 2 = 5 .
Oplossing: x = 7 . (Controleer wel even dat voor deze x-waarde 2 x 0 .)

e

Links en rechts vermenigvuldigen met 2 x (als x 0 ) geeft 1 - x = 2 x - 4 .
Oplossing: x = 5 3 . (Ga na, dat x = 0 geen oplossing kan zijn.)

f

Je oefent met AlgebraKIT.

verder | terug