Exponentiële verbanden > Exponentiële groei
1234Exponentiële groei

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1
a

Maak een tabel. In 2021 is het aantal inwoners verdubbeld.

b

A = 9,5 1,045 t

c

Een grafiek die loopt vanaf ( 0 ; 9,5 ) en dan steeds iets steiler omhoog gaat.

Opgave 1
a

A = 200000 + 15000 t

b

200000 + 15000 10 = 350000

c

B = 200000 1,05 t

d

200000 1,05 10 325779 326000

Opgave 2
a

Maak eerst tabellen. Neem voor t de waarden 0, 5, 10, 15 en 20.

b

Maak je tabel nauwkeuriger. In 2027 zijn er in land B voor het eerst meer leden, namelijk ongeveer 458000 terwijl er in land A dan 455000 leden zijn.

Opgave 3
a

1534 1,026 6 1789

b

1,026 12 1,361 en dat is een groeipercentage van ongeveer 36,1% per jaar.

c

Z = 1789 1,361 t

d

Je vindt nu ongeveer 6138 zeehonden. Het verschil komt door de afrondingen.

Opgave 4
a

Doen, er zijn twee snijpunten.

b

Maak een inklemtabel in twee decimalen. Je vindt ( 8,9 ; 9,3 ) .

c

Dit lukt alleen als de groeifactor groter wordt. Vanaf een groeifactor van ongeveer 1,17.

d

Doen, ook nu zijn er twee snijpunten.

e

Maak een inklemtabel in twee decimalen. Je vindt ( 5,8 ; 1,1 ) .

Opgave 5
a

Tabel:

Tijd t 0 1 2 3 4 5 6 7 8
Aantal vlg Simonsz 40000 41500 43000 44500 46000 47500 49000 50500 52000
Aantal vlg Jansma 40000 41200 42436 43709 45020 46371 47762 49195 50671
b

N = 40.000 + 1500 t

c

N = 40.000 1,03 t

d

Op den duur zal de formule van mw. Jansma de meeste inwoners opleveren. Bij haar formule komt er jaarlijks een steeds groter aantal bij.

e

Verdubbeling bij Simonsz: 40.000 + 1500 t = 80.000 geeft met de balansmethode t 26,7 jaar.
Verdubbeling bij Jansma: 40.000 1.03 t = 80.000 geeft met inklemmen t 23,4 jaar.
Volgens de formule van mw. Jansma is het aantal inwoners het eerst verdubbeld.

Opgave 6
a

Je trekt telkens de aantallen inwoners van twee opeenvolgende jaren van elkaar af. Daar komt steeds ongeveer 1500 uit. De getallen verschillen wel wat van jaar tot jaar, maar gemiddeld klopt dit wel ongeveer. In een grafiek ziet het er ook redelijk uit als een rechte lijn.

b

De beginhoeveelheid is 79600 op t = 0 en er komen jaarlijks ongeveer 1500 inwoners bij.

c

Je deelt telkens de aantallen inwoners van twee opeenvolgende jaren op elkaar. Daar komt steeds ongeveer 1,025 uit. De getallen kunnen wel wat van jaar tot jaar verschillen, maar gemiddeld klopt dit wel ongeveer. In een grafiek zie je de steeds sterkere stijging.

d

De beginhoeveelheid is 72100 op t = 0 en er is een groeifactor per jaar van ongeveer 1,025.

e

Maak de tabellen verder af.

Opgave 7
a

Na het eerste uur is nog 51 / 60 = 0,85 deel over, na het tweede uur nog 43 / 51 0,84 en na het derde uur ook nog 37 / 43 = 0,86 . Gemiddeld is er een groeifactor van 0,85.

b

G = 60 0,85 t

c

Maak een tabel. Na 15 uur is dit het geval.

Opgave 8
a

g = 2 3 8 0,95

b

Uit 1200 = b 0,95 3 volgt b 1400 .

c

Uit 800 = b 0,95 11 volgt b 1406 . Het verschil zit hem in de afronding van de groeifactor.

Opgave 9
a

Per 11 - 3 = 8 tijdseenheden is er een afname van 1200 - 800 = 400 . Per tijdseenheid dus een afname van 50.
Bij deze lineaire functie past een formule van de vorm N = - 50 t + b . Nog even t = 3 en N = 1200 invullen en je krijgt de formule N = - 50 t + 1350 .

b

Lineaire functie: N = - 50 20 + 1350 = 350 .
Exponentiële functie: N = 1400 0,95 20 502

c

Uit - 50 t + 1350 = 0 volgt t = 27 . Het exponentiële groeimodel geeft dan N 350 .

d

Eigenlijk raakt de hoeveelheid N nooit op, elke keer is er nog 95% van de vorige hoeveelheid over. Maar op zeker moment zal de hoeveelheid zo klein zijn dat hij niet meer waarneembaar of meetbaar is.

Opgave 10
a

H = 160 1,15 t en op t = 10 geldt H 647 .

b

H = 160 + 15 t en op t = 10 geldt H 310 .

c

H = 160 0,85 t en op t = 10 geldt H 31 .

d

H = 160 - 15 t en op t = 10 geldt H 10 .

e

De groeifactor per dag bereken je uit g 7 = 1,15 . Je vindt g 1,02 .
De formule is dan H = 160 1,02 t en op t = 10 geldt H 195 .

f

De groeifactor per dag bereken je uit g 7 = 0,85 . Je vindt g 0,977 .
De formule is dan H = 160 0,977 t en op t = 10 geldt H 127 .

Opgave 11
a

Deze medewerker gaat uit van lineaire groei. Als je begint met 154000 inwoners in 2008 en je telt daar elk volgend jaar 2300 inwoners bij, dan krijg je voor 2009 precies 156300, voor 2010 158600 en voor 2011 160900 inwoners. En dat zou alleen aan de afrondingen kunnen liggen.

b

I = 2300 t + 154000

c

156300 / 154000 1,015 , 158700 / 156300 1,015 en 161000 / 158700 1,015 . Er is dus een groeifactor van 1,015 per jaar.

d

I = 154000 1,015 t

e

Bij de exponentiële groei wordt de jaarlijkse stijging van het aantal inwoners steeds groter, dus worden op den duur de bevolkingsaantallen erg groot. Bij lineaire groei is de stijging jaarlijks gelijk.

f

Lineaire groei: I = 2300 12 + 154000 = 181600 .
Exponentiële groei: I = 154000 1,015 12 184100 .

Opgave 12

Per meter wordt 32,7% tegengehouden en dus dringt er 67,3% door. De groeifactor waar je mee rekent is dus 0,673. Neem 100 als beginhoeveelheid en los op:

100 0.673 t = 1

Maak een tabel en je merkt dat je tot iets minder dan 12 m diepte nog meer dan 1% blauw licht hebt.

Opgave 13
a

Lineaire functie: y = x + 3 .
Exponentiële functie: y = 3 ( 4 3 ) x .

b

Lineaire functie: y = - x + 3 .
Exponentiële functie: y = 3 ( 2 3 ) x .

c

Lineaire functie: y = 23,9 x + 102,2 .
Exponentiële functie: y 124 1,10 x .

d

Lineaire functie: y = - 23,9 x + 436,8 .
Exponentiële functie: y 470 0,91 x .

Opgave 14

Lineaire functie: N = - 75 t + 500 .
Exponentiële functie: y 500 0,79 t .

Opgave 15De wet van Moore
De wet van Moore
a

2300 2 10 2355200 . Dat zijn ruim 2,3 10 6 transistoren. En dat lijkt wel redelijk te kloppen met de figuur.

b

2300 2 14 37683200 . Dat zijn bijna 38 10 6 transistoren. En ook dat lijkt wel redelijk te kloppen met de figuur. Je zou zelfs kunnen zeggen dat de Pentium 4 zijn tijd vooruit was.

c

R = 2300 1,414 t

d

R = 2300 1,414 40 2,4 10 9

e

Maak een tabel bij de formule die je hebt gemaakt. Je vindt dat dit omstreeks 2030 het geval zou moeten zijn.

Opgave 16Facebook
Facebook
a

Neem bijvoorbeeld t in maanden met t = 0 in april 2009. Dan zien de gegevens betreffende het aantal Facebookgebruikers N er zo uit:

t 0 15 43
N 200 500 955

Als er sprake is van exponentiële groei dan zou voor de groeifactor g per maand in de eerste 15 maanden gelden: g 15 = 500 200 = 2,5 . En dat geeft g 1,063 . Voor maand 43 krijg je dan 200 1,063 43 2767 miljoen gebruikers en dat is bij lange na niet gehaald.

b

Omdat je dan vrij snel aanloopt tegen de grootte van het aantal mensen op Aarde. Nu neemt dat ook wel toe, maar lang niet zo snel als het aantal Facebookgebruikers in het begin van de wereldwijde introductie van Facebook.

verder | terug