$A=200000+15000t$

$200000+15000\cdot 10=350000$

$B=200000\cdot {\mathrm{1,05}}^t$

$200000\cdot {\mathrm{1,05}}^{10}\approx 325779\approx 326000$

Maak eerst tabellen. Neem voor $t$ de waarden $0$, $5$, $10$, $15$ en $20$.

Maak je tabel nauwkeuriger. In 2027 zijn er in land B voor het eerst meer leden, namelijk ongeveer $458000$ terwijl er in land A dan $455000$ leden zijn.

$1534\cdot {\mathrm{1,026}}^6\approx 1789$

${\mathrm{1,026}}^{12}\approx \mathrm{1,361}$ en dat is een groeipercentage van ongeveer $\mathrm{36,1}$% per jaar.

$Z=1789\cdot {\mathrm{1,361}}^t$

Je vindt nu ongeveer $6138$ zeehonden. Het verschil komt door de afrondingen.

Doen, er zijn twee snijpunten.

Maak een inklemtabel in twee decimalen. Je vindt $(\mathrm{8,9};\mathrm{9,3})$.

Dit lukt alleen als de groeifactor groter wordt. Vanaf een groeifactor van ongeveer $\mathrm{1,17}$.

Doen, ook nu zijn er twee snijpunten.

Maak een inklemtabel in twee decimalen. Je vindt $(\mathrm{5,8};\mathrm{1,1})$.

Tabel:

Tijd $t$ $0$ $1$ $2$ $3$ $4$ $5$ $6$ $7$ $8$ Aantal vlg Simonsz $40000$ $41500$ $43000$ $44500$ $46000$ $47500$ $49000$ $50500$ $52000$ Aantal vlg Jansma $40000$ $41200$ $42436$ $43709$ $45020$ $46371$ $47762$ $49195$ $50671$

$N=40.000+1500t$

$N=40.000\cdot {\mathrm{1,03}}^t$

Op den duur zal de formule van mw. Jansma de meeste inwoners opleveren. Bij haar formule komt er jaarlijks een steeds groter aantal bij.

Verdubbeling bij Simonsz: $40.000+1500t=80.000$ geeft met de balansmethode $t\approx \mathrm{26,7}$ jaar.
Verdubbeling bij Jansma: $40.000\cdot {1.03}^t=80.000$ geeft met inklemmen $t\approx \mathrm{23,4}$ jaar.
Volgens de formule van mw. Jansma is het aantal inwoners het eerst verdubbeld.

Je trekt telkens de aantallen inwoners van twee opeenvolgende jaren van elkaar af. Daar komt steeds ongeveer $1500$ uit. De getallen verschillen wel wat van jaar tot jaar, maar gemiddeld klopt dit wel ongeveer. In een grafiek ziet het er ook redelijk uit als een rechte lijn.

De beginhoeveelheid is ${79600}^{}$ op $t=0$ en er komen jaarlijks ongeveer $1500$ inwoners bij.

Je deelt telkens de aantallen inwoners van twee opeenvolgende jaren op elkaar. Daar komt steeds ongeveer $\mathrm{1,025}$ uit. De getallen kunnen wel wat van jaar tot jaar verschillen, maar gemiddeld klopt dit wel ongeveer. In een grafiek zie je de steeds sterkere stijging.

De beginhoeveelheid is ${72100}^{}$ op $t=0$ en er is een groeifactor per jaar van ongeveer $\mathrm{1,025}$.

Maak de tabellen verder af.

Na het eerste uur is nog $51/60=\mathrm{0,85}$ deel over, na het tweede uur nog $43/51\approx \mathrm{0,84}$ en na het derde uur ook nog $37/43=\mathrm{0,86}$. Gemiddeld is er een groeifactor van $\mathrm{0,85}$.

$G=60\cdot {\mathrm{0,85}}^t$

Maak een tabel. Na $15$ uur is dit het geval.

$g=\sqrt[8]{\frac{2}{3}}\approx \mathrm{0,95}$

Uit $1200=b\cdot {\mathrm{0,95}}^3$ volgt $b\approx 1400$.

Uit $800=b\cdot {\mathrm{0,95}}^{11}$ volgt $b\approx 1406$. Het verschil zit hem in de afronding van de groeifactor.

Per $11-3=8$ tijdseenheden is er een afname van $1200-800=400$. Per tijdseenheid dus een afname van $50$.
Bij deze lineaire functie past een formule van de vorm $N=-50t+b$. Nog even $t=3$ en $N=1200$ invullen en je krijgt de formule $N=-50t+1350$.

Lineaire functie: $N=-50\cdot 20+1350=350$.
Exponentiële functie: $N=1400\cdot {\mathrm{0,95}}^{20}\approx 502$

Uit $-50t+1350=0$ volgt $t=27$. Het exponentiële groeimodel geeft dan $N\approx 350$.

Eigenlijk raakt de hoeveelheid $N$ nooit op, elke keer is er nog $95$% van de vorige hoeveelheid over. Maar op zeker moment zal de hoeveelheid zo klein zijn dat hij niet meer waarneembaar of meetbaar is.

$H=160\cdot {\mathrm{1,15}}^t$ en op $t=10$ geldt $H\approx 647$.

$H=160+{15}^t$ en op $t=10$ geldt $H\approx 310$.

$H=160\cdot {\mathrm{0,85}}^t$ en op $t=10$ geldt $H\approx 31$.

$H=160-{15}^t$ en op $t=10$ geldt $H\approx 10$.

De groeifactor per dag bereken je uit $g^7=\mathrm{1,15}$. Je vindt $g\approx \mathrm{1,02}$.
De formule is dan $H=160\cdot {\mathrm{1,02}}^t$ en op $t=10$ geldt $H\approx 195$.

De groeifactor per dag bereken je uit $g^7=\mathrm{0,85}$. Je vindt $g\approx \mathrm{0,977}$.
De formule is dan $H=160\cdot {\mathrm{0,977}}^t$ en op $t=10$ geldt $H\approx 127$.

Deze medewerker gaat uit van lineaire groei. Als je begint met $154000$ inwoners in 2008 en je telt daar elk volgend jaar $2300$ inwoners bij, dan krijg je voor 2009 precies $156300$, voor 2010 $158600$ en voor 2011 $160900$ inwoners. En dat zou alleen aan de afrondingen kunnen liggen.

$I=2300t+154000$

$156300/154000\approx \mathrm{1,015}$, $158700/156300\approx \mathrm{1,015}$ en $161000/158700\approx \mathrm{1,015}$. Er is dus een groeifactor van $\mathrm{1,015}$ per jaar.

$I=154000\cdot {\mathrm{1,015}}^t$

Bij de exponentiële groei wordt de jaarlijkse stijging van het aantal inwoners steeds groter, dus worden op den duur de bevolkingsaantallen erg groot. Bij lineaire groei is de stijging jaarlijks gelijk.

Lineaire groei: $I=2300\cdot 12+154000=181600$.
Exponentiële groei: $I=154000\cdot {\mathrm{1,015}}^{12}\approx 184100$.

Lineaire functie: $y=x+3$.
Exponentiële functie: $y=3\cdot {(\frac{4}{3})}^x$.

Lineaire functie: $y=\mathrm{-}x+3$.
Exponentiële functie: $y=3\cdot {(\frac{2}{3})}^x$.

Lineaire functie: $y=\mathrm{23,9}x+\mathrm{102,2}$.
Exponentiële functie: $y\approx 124\cdot {\mathrm{1,10}}^x$.

Lineaire functie: $y=\mathrm{-23,9}x+\mathrm{436,8}$.
Exponentiële functie: $y\approx 470\cdot {\mathrm{0,91}}^x$.

$2300\cdot 2^{10}\approx 2355200$. Dat zijn ruim $\mathrm{2,3}\cdot {10}^6$ transistoren. En dat lijkt wel redelijk te kloppen met de figuur.

$2300\cdot 2^{14}\approx 37683200$. Dat zijn bijna $38\cdot {10}^6$ transistoren. En ook dat lijkt wel redelijk te kloppen met de figuur. Je zou zelfs kunnen zeggen dat de Pentium 4 zijn tijd vooruit was.

$R=2300\cdot {\mathrm{1,414}}^t$

$R=2300\cdot {\mathrm{1,414}}^{40}\approx \mathrm{2,4}\cdot {10}^9$

Maak een tabel bij de formule die je hebt gemaakt. Je vindt dat dit omstreeks 2030 het geval zou moeten zijn.

Neem bijvoorbeeld $t$ in maanden met $t=0$ in april 2009. Dan zien de gegevens betreffende het aantal Facebookgebruikers $N$ er zo uit:

$t$	$0$	$15$	$43$
$N$	$200$	$500$	$955$

Als er sprake is van exponentiële groei dan zou voor de groeifactor $g$ per maand in de eerste $15$ maanden gelden: $g^{15}=\frac{500}{200}=\mathrm{2,5}$. En dat geeft $g\approx \mathrm{1,063}$. Voor maand $43$ krijg je dan $200\cdot {\mathrm{1,063}}^{43}\approx 2767$ miljoen gebruikers en dat is bij lange na niet gehaald.

Omdat je dan vrij snel aanloopt tegen de grootte van het aantal mensen op Aarde. Nu neemt dat ook wel toe, maar lang niet zo snel als het aantal Facebookgebruikers in het begin van de wereldwijde introductie van Facebook.