Exponentiële verbanden > Exponentiële functies
1234Exponentiële functies

Uitleg

Bekijk de applet: exponentiële functie

Tot nu toe heb je exponentiële functies beschreven met formules van de vorm y = b g x . Hierin kun je de beginhoeveelheid b en de groeifactor g variëren en zien wat er met de grafiek gebeurt. Maar je kunt ook de grafiek met a omhoog schuiven. Dan krijg je een exponentiële functie van de vorm y = b g x + a .

Neem je b = 6 en g = 2 . Kies ook a = 0 . Bekijk de grafiek en je ziet dat de uitkomsten steeds dichter naar y = 0 naderen.

Neem je a = 4 dan zie je de grafiek van y 4 = 6 2 x + 4 . Deze grafiek heeft dezelfde vorm, maar nu naderen de uitkomsten steeds dichter naar y = 4 .

En zo kun je a variëren. De uitkomsten van y = b g x + a zullen steeds naderen naar de horizontale lijn y = a . Deze lijn heet daarom de horizontale asymptoot van de functie. Het woord "asymptoot" is afgeleid uit het Grieks en betekent zoiets als "niet samenvallend" . De grafiek valt nooit samen met een asymptoot.

Opgave 1

In de Uitleg zie je de grafiek van een exponentiële functie van de vorm y = b g x + a ook voor negatieve waarden van x.

Eerst bekijk je de grafiek met b = 6 , g = 2 en a = 0 .

a

Wat gebeurt er met de uitkomst als x met 1 toeneemt? En als x met 1 afneemt?

b

De beginhoeveelheid, de uitkomst bij x = 0 , is 6. Vul nu de tabel in door middel van verdubbelen en halveren.

x - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4
y

Je kunt nu vanuit de tabel zelf de grafiek tekenen bij de gegeven exponentiële functie. Maar de uitkomsten voor bijvoorbeeld x = 0,5 kun je (waarschijnlijk) niet zonder rekenmachine uitrekenen. Maar als je die uitkomst weet, dan kun je wel door verdubbelen en halveren de uitkomsten bij x = 1,5 , x = 2,5 , x = - 0,5 , enzovoorts, uitrekenen.

c

Welke uitkomst (in drie decimalen nauwkeurig) geeft je rekenmachine voor x = 0,5 ? En welke uitkomsten volgen hieruit voor x = 1,5 , x = 2,5 , x = - 0,5 en x = - 1,5 ?

d

Kies nu bijvoorbeeld x = 0,3 en bekijk de uitkomst die je rekenmachine geeft. Leid andere uitkomsten af door verdubbelen en halveren. En zo kun je ook te werk gaan met andere niet gehele waarden voor x.

e

Welke horizontale lijn is de asymptoot van deze grafiek?

Opgave 2

In de Uitleg zie je de grafiek van een exponentiële functie van de vorm y = b g x + a ook voor negatieve waarden van x. Werk met de applet.

Nu bekijk je de grafieken van functies van de vorm y a = 6 2 x + a en ga je de waarden van a veranderen. Je vergelijkt de grafieken met die van y 0 = 6 2 x .

a

Neem a = 3 . Wat is er aan de hand met alle uitkomsten van y 3 en vergelijking met die van y 0 ?

b

Welke asymptoot heeft de grafiek van y 3 ?

c

Beantwoord dezelfde twee vragen als bij a en b voor andere waarden van a. Kies ook enkele negatieve waarden voor a.

d

Voor welke a gaat de grafiek van y a door de oorsprong?

Opgave 3

Gegeven is de exponentiële functie y = 6 0,5 x .

a

Wat gebeurt er met de uitkomst als x met 1 toeneemt? En als x met 1 afneemt?

b

De beginhoeveelheid, de uitkomst bij x = 0 , is 6. Vul nu de tabel in door middel van verdubbelen en halveren.

x - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4
y

Je kunt nu vanuit de tabel zelf de grafiek tekenen bij de gegeven exponentiële functie. Maar de uitkomsten voor bijvoorbeeld x = 0,5 kun je (waarschijnlijk) niet zonder rekenmachine uitrekenen. Maar als je die uitkomst weet, dan kun je wel door verdubbelen en halveren de uitkomsten bij x = 1,5 , x = 2,5 , x = - 0,5 , enzovoorts, uitrekenen.

c

Welke uitkomst (in drie decimalen nauwkeurig) geeft je rekenmachine voor x = 0,5 ? En welke uitkomsten volgen hieruit voor x = 1,5 , x = 2,5 , x = - 0,5 en x = - 1,5 ?

d

Kies nu bijvoorbeeld x = 0,3 en bekijk de uitkomst die je rekenmachine geeft. Leid andere uitkomsten af door verdubbelen en halveren. En zo kun je ook te werk gaan met andere niet gehele waarden voor x.

e

Welke horizontale lijn is de asymptoot van deze grafiek?

f

Welke horizontale lijn is de asymptoot van de grafiek van y = 6 0,5 x - 5 ?

verder | terug