Exponentiële verbanden

Exponentiële verbanden > Exponentiële functies

1234Exponentiële functies

Uitleg

Tot nu toe heb je exponentiële functies beschreven met formules van de vorm $y = b \cdot g^{x}$ . Hierin kun je de beginhoeveelheid $b$ en de groeifactor $g$ variëren en zien wat er met de grafiek gebeurt. Maar je kunt ook de grafiek met $a$ omhoog schuiven. Dan krijg je een exponentiële functie van de vorm $y = b \cdot g^{x} + a$ .

Neem je $b = 6$ en $g = 2$ . Kies ook $a = 0$ . Bekijk de grafiek en je ziet dat de uitkomsten steeds dichter naar $y = 0$ naderen.

Neem je $a = 4$ dan zie je de grafiek van $y_{4} = 6 \cdot 2^{x} + 4$ . Deze grafiek heeft dezelfde vorm, maar nu naderen de uitkomsten steeds dichter naar $y = 4$ .

En zo kun je $a$ variëren. De uitkomsten van $y = b \cdot g^{x} + a$ zullen steeds naderen naar de horizontale lijn $y = a$ . Deze lijn heet daarom de horizontale asymptoot van de functie. Het woord "asymptoot" is afgeleid uit het Grieks en betekent zoiets als "niet samenvallend" . De grafiek valt nooit samen met een asymptoot.

Opgave 1

In de Uitleg zie je de grafiek van een exponentiële functie van de vorm $y = b \cdot g^{x} + a$ ook voor negatieve waarden van $x$ .

Eerst bekijk je de grafiek met $b = 6$ , $g = 2$ en $a = 0$ .

Wat gebeurt er met de uitkomst als $x$ met $1$ toeneemt? En als $x$ met $1$ afneemt?

De beginhoeveelheid, de uitkomst bij $x = 0$ , is $6$ . Vul nu de tabel in door middel van verdubbelen en halveren.

$x$	$- 4$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
$y$

Je kunt nu vanuit de tabel zelf de grafiek tekenen bij de gegeven exponentiële functie. Maar de uitkomsten voor bijvoorbeeld $x = 0,5$ kun je (waarschijnlijk) niet zonder rekenmachine uitrekenen. Maar als je die uitkomst weet, dan kun je wel door verdubbelen en halveren de uitkomsten bij $x = 1,5$ , $x = 2,5$ , $x = - 0,5$ , enzovoorts, uitrekenen.

Welke uitkomst (in drie decimalen nauwkeurig) geeft je rekenmachine voor $x = 0,5$ ? En welke uitkomsten volgen hieruit voor $x = 1,5$ , $x = 2,5$ , $x = - 0,5$ en $x = - 1,5$ ?

Kies nu bijvoorbeeld $x = 0,3$ en bekijk de uitkomst die je rekenmachine geeft. Leid andere uitkomsten af door verdubbelen en halveren. En zo kun je ook te werk gaan met andere niet gehele waarden voor $x$ .

Welke horizontale lijn is de asymptoot van deze grafiek?

Opgave 2

In de Uitleg zie je de grafiek van een exponentiële functie van de vorm $y = b \cdot g^{x} + a$ ook voor negatieve waarden van $x$ . Werk met de applet.

Nu bekijk je de grafieken van functies van de vorm $y_{a} = 6 \cdot 2^{x} + a$ en ga je de waarden van $a$ veranderen. Je vergelijkt de grafieken met die van $y_{0} = 6 \cdot 2^{x}$ .

Neem $a = 3$ . Wat is er aan de hand met alle uitkomsten van $y_{3}$ en vergelijking met die van $y_{0}$ ?

Welke asymptoot heeft de grafiek van $y_{3}$ ?

Beantwoord dezelfde twee vragen als bij a en b voor andere waarden van $a$ . Kies ook enkele negatieve waarden voor $a$ .

Voor welke $a$ gaat de grafiek van $y_{a}$ door de oorsprong?

Opgave 3

Gegeven is de exponentiële functie $y = 6 \cdot {0,5}^{x}$ .

Wat gebeurt er met de uitkomst als $x$ met $1$ toeneemt? En als $x$ met $1$ afneemt?

De beginhoeveelheid, de uitkomst bij $x = 0$ , is $6$ . Vul nu de tabel in door middel van verdubbelen en halveren.

$x$	$- 4$	$- 3$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
$y$

Welke uitkomst (in drie decimalen nauwkeurig) geeft je rekenmachine voor $x = 0,5$ ? En welke uitkomsten volgen hieruit voor $x = 1,5$ , $x = 2,5$ , $x = - 0,5$ en $x = - 1,5$ ?

Welke horizontale lijn is de asymptoot van deze grafiek?

Welke horizontale lijn is de asymptoot van de grafiek van $y = 6 \cdot {0,5}^{x} - 5$ ?

verder | terug