Exponentiële verbanden

Exponentiële verbanden > Exponentiële functies

1234Exponentiële functies

Antwoorden van de opgaven

Opgave 1

De uitkomst, de $y$ -waarde verdubbelt dan.

De uitkomst, de $y$ -waarde halveert dan.

$2^{0} = 1$ , want $2^{1} = 2$ en als $x$ met $1$ afneemt moet je halveren, dus $2^{0} = 2^{1 - 1} = \frac{1}{2} \cdot 2^{1} = 1$ .

$2^{-1} = 2^{0 - 1} = \frac{1}{2} \cdot 2^{0} = \frac{1}{2}$ .

Nee, naar links moet je elke gehele stap halveren en dus blijf je boven $0$ .

Opgave 2

Het wordt het spiegelbeeld van de grafiek bij de vorige opgave met alle uitkomsten negatief. Je spiegelt de grafiek van de vorige opgave dus in de $x$ -as.

Zie tabel:

$x$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
$y$	$1$	$-2$	$4$	$-8$	$16$

Bij deze functie kun je geen grafiek tekenen, want je kunt de punten niet op een zinvolle manier verbinden. Er lijken afwisselend positieve en negatieve uitkomsten te zijn, maar dat is alleen bij gehele getallen. Hoe het daar tussenin zit is onduidelijk. Je rekenmachine zal ${(- 2)}^{0,5}$ ook niet kunnen berekenen.

Opgave 3

Als $x$ met $1$ verdubbelt de uitkomst en als $x$ met $1$ afneemt halveert de uitkomst.

Zie de tabel.

$x$	$-4$	$-3$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
$y$	$0,375$	$0,75$	$1,5$	$3$	$6$	$12$	$24$	$48$	$64$

De rekenmachine geeft bij $x = 0,5$ de uitkomst $y \approx 8,485$ .
En dus vind je verder achtereenvolgens ongeveer $16,970$ , $33,940$ , $4,243$ en $1,121$ .

Eigen antwoorden.

De lijn $y = 0$ .

Opgave 4

Die liggen precies $3$ eenheden hoger.

De lijn $y = 3$ .

Eigen antwoorden.

Als $a = -6$ .

Opgave 5

Als $x$ met $1$ halveert de uitkomst en als $x$ met $1$ afneemt verdubbelt de uitkomst.

Zie de tabel.

$x$	$-4$	$-3$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
$y$	$64$	$48$	$24$	$12$	$6$	$3$	$1,5$	$0,75$	$0,375$

De rekenmachine geeft bij $x = 0,5$ de uitkomst $y \approx 4,243$ .
En dus vind je verder achtereenvolgens ongeveer $8,486$ , $16,972$ , $1,121$ en $0,561$ .

Eigen antwoorden.

De lijn $y = 0$ .

De lijn $y = -5$ .

Opgave 6

Zie tabel. Hij is in twee decimalen nauwkeurig.

$x$	$-4$	$-3$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
$y$	$1,98$	$2,96$	$4,44$	$6,67$	$10$	$15$	$22,5$	$33,75$	$50,63$

Doen.

Zie figuur.

$10 \cdot {1,5}^{x} - 20 = 20$ volgt $10 \cdot {1,5}^{x} = 40$ en dus ${1,5}^{x} = 4$ . Door inklemmen vind je $x = 3,419...$ .
De oplossing lees je uit de figuur af: $x \leq 3,419...$ . Op twee decimalen nauwkeurig betekent dit $x \leq 3,41$ of (wat hetzelfde is op twee decimalen nauwkeurig) $x < 3,42$ .

Opgave 7

Je begint met een tabel bij $y = 20 \cdot {0,8}^{x}$ te maken vanuit de beginhoeveelheid.

$x$	$-4$	$-3$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
$y$	$48,83$	$39,06$	$31,25$	$25$	$20$	$16$	$12,8$	$10,24$	$8,19$

Van alle uitkomsten trek je nog $5$ af en je kunt de grafiek tekenen.

$20 \cdot {0,8}^{x} + 5 = 10$ geeft ${0,8}^{x} = 0,25$ , zodat $x = 6.212...$ .
De oplossing van de ongelijkheid wordt $x \geq 6.22$ .

Opgave 8

Omdat de asymptoot $y = 10$ is, geldt in de gegeven formule $a = 10$ .

De formule komt er nu zo uit te zien: $y = b \cdot g^{x} + 10$ .
$A (0,40)$ invullen geeft: $b \cdot g^{0} + 10 = 40$ en dus $b = 30$ .
$B (4,25)$ invullen geeft: $30 \cdot g^{4} + 10 = 25$ en dus $g^{4} = 0,5$ zodat $g = \sqrt[4]{0,5} \approx 0,84$ .

De gevraagde formule wordt $y = 30 \cdot {0,84}^{x} + 10$ .

Opgave 9

Omdat de asymptoot $y = -3$ is, geldt in de gegeven formule $a = -3$ .

De formule komt er nu zo uit te zien: $y = b \cdot g^{x} - 3$ .
$O (0,0)$ invullen geeft: $b \cdot g^{0} - 3 = 0$ en dus $b = 3$ .
$A (4,6)$ invullen geeft: $3 \cdot g^{4} - 3 = 6$ en dus $g^{4} = 3$ zodat $g = \sqrt[4]{3} \approx 1,32$ .

De gevraagde formule wordt $y = 3 \cdot {1,32}^{x} - 3$ .

Opgave 10

Zie tabel.

$x$	$-3$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$y$	$142,22$	$106,67$	$80$	$60$	$45$	$33,75$	$25,31$

Je moet alle uitkomsten in de tabel nog met $12$ verhogen. De punten uit deze nieuwe tabel zet je in een assenstelsel.

De lijn $y = 12$ .

$60 \cdot {0,75}^{x} + 12 = 15$ geeft $x \approx 10,41$ . De oplossing van de ongelijkheid lees je uit de grafiek af: $x > 10,4$ (of $x \geq 10,5$ ).

Opgave 11

De lijn $P = 1$ . Deze asymptoot betekent dat de druk in de band nooit precies gelijk wordt aan de druk van de buitenlucht, hij blijft er altijd net iets boven.

Omdat niet bekend is hoeveel druk er in de band zit voor het oppompen.

$32$ dagen na het oppompen, eigenlijk in de loop van dag $31$ na het oppompen.

Opgave 12

Je vindt ongeveer $y = 5 \cdot {0,775}^{x} + 5$ .

Opgave 13

Je vindt ongeveer $y_{1} = 6 \cdot {0,64}^{x}$ en $y_{2} = 1 \cdot {1,71}^{x} + 2$ .

Opgave 14Afkoelende thee

Afkoelende thee

De omgevingstemperatuur is $20$ °C en het temperatuursverschil is dus $T - 20$ . Volgens de tekst neemt dat temperatuursverschil met een vast percentage af. Er is daarom sprake van een vaste groeifactor en dus van exponentiële groei van dit temperatuursverschil.

$g$ is de groeifactor per minuut van het temperatuursverschil, dus $g^{15} = \frac{1}{3}$ .
Daaruit volgt $g = \sqrt[15]{\frac{1}{3}} \approx 0,93$

$T = 60 \cdot {0,93}^{t} + 20$

Maak een tabel. Je vindt dat dit op $t = 33$ voor het eerst het geval is.

Opgave 15Opwarmende melk

Opwarmende melk

De formule is ongeveer $T = 20 - 14 \cdot {0,93}^{t}$ .

verder | terug