Exponentiële verbanden

Opgave 6

Neem aan dat je op 1 januari van dit jaar een bedrag van € 1000,- op een spaarrekening hebt gezet waar je de eerstkomende jaren verder niet meer naar omkijkt. Je neemt er dus geen geld van op en stort er ook niets bij. De rente die de bank geeft op het bedrag dat op deze spaarrekening staat is $2,5$ % per jaar.

a

Hoeveel geld staat er na $5$ jaar op deze bankrekening als de bank op dat moment alle opgebouwde rente bijschrijft?

b

Hoeveel bedraagt de groeifactor per jaar? En waarom zal het saldo na $5$ jaar niet precies het bedrag bij a zijn als de bank jaarlijks rente bijschrijft?

c

Stel je voor dat de bank maandelijks rente bijschrijft op deze rekening. Hoeveel bedraagt dan de maandrente als de jaarrente $2,5$ % is?

Opgave 7

Paracetamol is wereldwijd het meest gebruikte pijnstillende en koortsverlagende middel. Het wordt onder andere verkocht in pillen van $500$ mg. Na inname in het lichaam (een pilletje paracetamol slikken) wordt deze stof ook weer langzaam afgebroken. De halveringstijd is (afhankelijk van de omstandigheden) ongeveer $3$ uur.

a

Hoeveel uur na inname is nog $12,5$ % van de paracetamol in het lichaam over?

b

Hoeveel bedraagt de groeifactor per uur in drie decimalen nauwkeurig? En het afnamepercentage per uur?

Als de hoeveelheid paracetamol in je lichaam onder de $50$ milligram is, gaat er geen werking meer van uit.

c

Je slikt twee paracetamolpillen van $500$ mg. Na hoeveel uur zijn ze uitgewerkt?

Opgave 8

Samoa is een republiek in Polynesië die bestaat uit de westelijke Samoa-eilanden. In 2006 bedroeg het aantal inwoners volgens een officiële volkstelling $179186$ . $N$ is het aantal inwoners van Samoa afgerond op honderdtallen en $t$ is de tijd in jaren vanaf 2006.
Het aantal inwoners werd voor het jaar 2012 geschat op $194300$ .

a

Als je uitgaat van lineaire groei, welke formule kun je dan opstellen voor $N$ afhankelijk van $t$ ?

b

Ga na dat bij de gegevens ook exponentiële groei past met een percentage van ongeveer $1,36$ % per jaar.

c

Welke formule geldt voor $N$ afhankelijk van $t$ als je van exponentiële groei uitgaat?

d

Bereken voor beide soorten groei in welk jaar het aantal inwoners van Samoa voor het eerst de $200000$ zal overschrijden.

Opgave 9

In 2000 was het aantal inwoners van het werelddeel Afrika ongeveer $872$ miljoen en in 2010 was dit aantal ongeveer $1138$ miljoen. Het aantal inwoners groeide exponentieel.
Azië had in 2000 meer inwoners, namelijk $3864$ miljoen, maar het groeipercentage was $1,5$ % per jaar.

In welk jaar zal - mits de groei zo doorgaat - het aantal inwoners van Afrika dat van Azië gaan overstijgen? Schrijf de bijbehorende ongelijkheid op.

Opgave 10

Een pakje boter wordt in de koelkast geplaatst. Daardoor daalt de temperatuur van de boter. Neem aan dat voor die temperatuur geldt $T = 14 \cdot {0,8}^{t} + 6$ , met $t$ in minuten en $T$ in °C.

a

Hoeveel bedroeg de temperatuur van de boter voordat ze in de koelkast werd geplaatst?

b

Hoeveel bedraagt de temperatuur in de koelkast?

c

Teken een grafiek van $T$ als functie van $t$ .

d

Bereken na hoeveel minuten de temperatuur van de boter minder dan $1$ °C van de temperatuur binnen de koelkast verschilt.

Opgave 11

Bij een exponentiële functie hoort een formule van de vorm $y = 20 \cdot g^{t} + a$ . De grafiek gaat door de punten $A (0, 30)$ en $B (10, 12)$ .

Bereken $a$ en benader $g$ in drie decimalen nauwkeurig.

Testen