Vlakke meetkunde

Vlakke meetkunde > Gelijk of gelijkvormig

123456Gelijk of gelijkvormig

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1

Als de oppervlakte $2$ keer zo groot moet worden en je vergroot de lengte en de breedte beide met factor $k$ , dan is $k \cdot k = k^{2} = 2$ dus $k = \sqrt{2} \approx 1,41$ . De kopieermachine moet dus op $141$ % vergroten staan.

Opgave V2

De rechthoeken I en V zijn gelijk.

De rechthoeken I en III zijn niet gelijk maar hebben gelijke verhoudingen, evenals de rechthoeken II en IV.

Opgave 1

In zijden die gelijk zijn staat hetzelfde tekentje.

Omdat dit driehoeken zijn. Daarin zijn de drie hoeken samen altijd $180 °$ .

De overeenkomstige hoeken staan dan op dezelfde plaats.

Het zijn F-hoeken bij evenwijdige lijnen.

Ja, ook nu worden de overeenkomstige hoeken op dezelfde plek gezet.

$0,5$

Ja.

Opgave 2

Omdat ze allemaal gelijke hoeken hebben en omdat alle zijden gelijk zijn. Vergelijk je dan twee willekeurige vierkanten met elkaar dan zijn de overeenkomstige hoeken altijd hetzelfde. En verder als een zijde van het éne vierkant $k$ keer zo groot is dan de overeenkomstige zijde van het andere vierkant, dan geldt dit voor alle andere zijden ook.

Ze hebben wel allemaal gelijke hoeken, maar niet alle zijden zijn gelijk. Vergelijk je dan twee willekeurige rechthoeken met elkaar dan zijn de overeenkomstige hoeken altijd hetzelfde. Maar als een zijde van de éne rechthoek $k$ keer zo groot is dan de overeenkomstige zijde van de andere rechthoek, dan hoeft dit voor alle andere zijden niet automatisch ook te gelden.

Ja, ze hebben allemaal gelijke hoeken hebben en alle zijden zijn gelijk.

Nee, de hoeken en de zijden kunnen verschillen.

Van congruente figuren zijn overeenkomstige hoeken gelijk en overeenkomstige zijden gelijk. Dus zijn ze gelijkvormig met vergrotingsfactor $1$ .

Opgave 3

Bereken van alle drie de rechthoeken de verhoudingen van de zijden $20 / 16 = 1,25$ , $36 / 24 = 1,50$ en $165 / 110 = 1,5$ .
Afbeelding B past daarom na vergroten precies op het scherm. Ga maar na, dat $1650 / 36 = 1100 / 24$ .

Nu is $1650 / 20 = 82,5$ en $1100 / 16 = 68,75$ .
De afbeelding komt alleen volledig in beeld als hij met een factor $68,75$ wordt vermenigvuldigd. Er blijft dan in de breedte ruimte over en wel $1650 - 68,75 \cdot 16 = 550$ mm.

Opgave 4

Begin met $K L = 8$ cm en cirkel dan de andere twee lengtes met de passer om. De driehoek ligt vast als je alleen de zijden weet.

Dit kan op verschillende manieren, maar altijd moet je of een diagonaal opmeten of een hoek opmeten.

Bijvoorbeeld zo: Teken eerst $Δ A B D$ door de hoek bij $A$ op te meten en de twee zijden $A B$ en $A D$ op de benen van die hoek af te passen. Dan kun je vervolgens met de passer $Δ B C D$ er op zetten.

Je werkt op dezelfde manier, maar alle zijden worden $1,5$ keer zo lang, terwijl de hoeken even groot blijven.

Opgave 5

In de tabel hieronder zie je dat elke zijde van $N K L M$ een lengte heeft die $1,5$ keer zo groot is als die van de overeenkomstige zijde van vierhoek $A B C D$ .

$A B$ $4$ cm	$B C$ $3$ cm	$C D$ $2$ cm	$D A$ $2$ cm
$N K$ $6$ cm	$K L$ $4,5$ cm	$L M$ $3$ cm	$M N$ $3$ cm

Nee, dat hoeft niet. De overeenkomstige hoeken moeten ook gelijk zijn.

Opgave 6

$9$

De hoeken bij $A$ en $D$ hebben ze gemeenschappelijk. De hoeken bij $B$ en $E$ zijn gelijk, dat is in de figuur aangegeven. Omdat de hoeken van een vierhoek samen $360 °$ zijn, moeten de hoeken $B C D$ en $B F D$ ook wel gelijk zijn. Alle hoeken zijn dus gelijk.

Maar nu de zijden. Zijde $A B$ wordt vergroot tot zijde $A E$ met factor $9 / 5 = 1,8$ . Maar zijde $A D$ wordt zijde $A D$ en dus helemaal niet vergroot. De overeenkomstige zijden worden niet allemaal met dezelfde factor vergroot en dus zijn de twee vierhoeken niet gelijkvormig.

De hoek bij $A$ hebben ze gemeenschappelijk. De hoeken bij $B$ en $E$ zijn gelijk, dat is in de figuur aangegeven. De hoeken bij $D$ en $I$ zijn gelijk, dat is in de figuur aangegeven. Omdat de hoeken van een vierhoek samen $360 °$ zijn, moeten de hoeken $B C D$ en $E G I$ ook wel gelijk zijn. Alle hoeken zijn dus gelijk.

Maar nu de zijden. Maak een tabel met de overeenkomstige zijden boven elkaar.

$A B$ $5$	$B C$ $4$	$C D$ $2$	$D A$ $3$
$A E$ $9$	$E G$ $5,4$	$G I$ $3,6$	$I A$ $7,2$

Ga na dat voor alle paren overeenkomstige zijden met dezelfde factor $1,8$ worden vergroot.

Opgave 7

Overeenkomstige zijden waarvan de lengtes bekend zijn, zijn $B C$ en $Q R$ . Dus de vergrotingsfactor van vierhoek $A B C D$ naar vierhoek $P Q R S$ is $8 / 6 = 1,25$ .

Dus is $P Q = 1,25 \cdot A B = 1,25 \cdot 5 = 6,25$ cm.

Opgave 8

Doen, gebruik je passer.

Je krijgt dezelfde $Δ A B C$ door te beginnen met zijde $A B$ .

Nee, er zijn dan nog verschillende mogelijkheden. In het Practicum kun je dat nagaan.

Knip $Δ A B C$ uit en pas de hoeken op die van $Δ D E F$ .

Pas de hoeken $Δ A B C$ op die van $Δ K L M$ en ga zo na dat de overeenkomstige hoeken gelijk zijn.

Opgave 9

Doen, gebruik je passer en je geodriehoek.

Omdat de hoeken van elke driehoek samen $180 °$ zijn en de andere hoeken al gelijk zijn.

Je vindt $B C \approx 3,5$ en $A C \approx 3,1$ cm.
En bij de andere driehoek $E F \approx 5,3$ en $D F \approx 4,7$ cm.

De vergrotingsfactor is telkens (binnen de onnauwkeurigheid van het meten) $6 / 4 = 1,5$ .

Nee, neem maar een vierkant en een rechthoek die niet vierkant is. Ze hebben een verschillende vorm, terwijl hun hoeken allemaal recht zijn.

Opgave 10

Omdat $∠ A = ∠ A$ en $∠ A B C = ∠ A D E$ .

Maak een tabel waarin de overeenkomstige zijden van beide driehoeken staan. Omdat beide driehoeken gelijkvormig zijn is dit een verhoudingstabel.

$A B$ $6$ cm	$B C$ $3$ cm	$C A$ $5$ cm
$A D$ $8$ cm	$D E$ $x$ cm	$E A$ $y$ cm

De vergrotingsfactor is $8 / 6 = 1 \frac{1}{3}$ . Dus $D E = 1 \frac{1}{3} \cdot B C = 1 \frac{1}{3} \cdot 3 = 4$ cm. En $E A = 1 \frac{1}{3} \cdot A C = 1 \frac{1}{3} \cdot 5 = 6 \frac{2}{3}$ cm, zodat $C E = 6 \frac{2}{3} - 5 = 1 \frac{2}{3}$ cm.

Opgave 11

De vergrotingsfactor kan $6 / 18 = \frac{1}{3}$ zijn, de afmetingen van de verkleining zijn dan $6$ bij $10$ cm.

De vergrotingsfactor kan $6 / 30 = \frac{1}{5}$ zijn, de afmetingen van de verkleining zijn dan $6$ bij $3,6$ cm.

Opgave 12

$∠ A = ∠ G F C$ (allebei recht), $∠ H = ∠ B C F$ (allebei recht), $∠ A = ∠ G F C$ , $∠ A B G = ∠ B G F$ (Z-hoeken) en $∠ B G H = ∠ G B C$ (Z-hoeken).

En verder zijn de overeenkomstige zijden gelijk, ga maar na.

Alle overeenkomstige hoeken zijn gelijk. Maar de overeenkomstige zijden vormen geen verhoudingstabel, want $G E = \frac{8}{6} \cdot A B$ en $B G = G B$ . Deze vierhoeken zijn daarom niet gelijkvormig.

Alle overeenkomstige hoeken zijn gelijk. Maar de overeenkomstige zijden vormen geen verhoudingstabel, want $D E = \frac{1}{2} \cdot A D$ en $C D = \frac{2}{5} \cdot A H$ . Deze rechthoeken zijn daarom niet gelijkvormig.

Opgave 13

Maak een verhoudingstabel van de overeenkomstige zijden van beide driehoeken.

$A B$ $9$	$B C$ $5$	$A C$ $7,2$
$P Q$ $13$	$Q R$	$P R$

De vergrotingsfactor is $\frac{13}{9}$ . En dus is $Q R = \frac{13}{9} \cdot 5 = \frac{65}{9}$ en $P R = \frac{13}{9} \cdot 7,2 = 10,4$ .

Opgave 14

Maak een verhoudingstabel van de overeenkomstige zijden van beide driehoeken.

$A B$ $7,4$	$B C$ $5$	$A C$
$K L$	$L M$ $3,5$	$K M$ $2,8$

De vergrotingsfactor is van $Δ A B C$ naar $Δ K L M$ is $3,5 / 5 = 0,7$ . En dus is $K L = 0,7 \cdot 7,4 = 5,18$ en $A C = K L / 0,7 = 4$ .

Opgave 15

De vergrotingsfactor is $504 / 18 = 28$ . Dus de afstand van de fotograaf tot de vrachtwagen is $28 \cdot 35 = 980$ cm. De vrachtwagen staat daarom $9,45$ m verder van de fotograaf.

Opgave 16

Er zijn twee mogelijkheden:

De lengte van de poster zo houden. De breedte moet dan $\frac{80}{100} \cdot 60 = 48$ cm worden. De oppervlakte van de poster wordt dan $48 \cdot 80 = 3840$ cm².
De breedte van de poster zo houden. De lengte moet dan $\frac{50}{60} \cdot 100 \approx 83,3$ cm worden. Dat kan echter niet, want de lengte is maar $80$ cm.

En dus kies je voor de eerste mogelijkheid.

Opgave 17Gulden Snede

Gulden Snede

Bereken bij verschillende waarden van $p$ de verhoudingen $A E / E F$ en $E F / B E$ en zoek de waarde van $p$ waarvoor deze verhoudingen gelijk zijn.

Dat lukt het beste als $p \approx 2,47$ .
De afmetingen van rechthoek $A E F D$ zijn dan ongeveer $6,47$ bij $4$ .
De Gulden Snede is ongeveer $1,62$ .

Opgave 18

`Delta DEF`

`DE=12` en `EF=6` .

Opgave 19

Omdat van alle vierkanten de hoeken allemaal recht zijn en van een vierkant alle vier de zijden gelijk zijn. Als je dan twee vierkanten naast elkaar legt en het éne vierkant heeft een zijde die groter is dan een zijde van het andere vierkant dan kun je daarbij een vergrotingsfactor uitrekenen. En die geldt dan ook meteen voor alle andere zijden.

`~~21,2` cm.

verder | terug