Vlakke meetkunde

Vlakke meetkunde > Rekenen in driehoeken

123456Rekenen in driehoeken

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1

Doen, begin met $A B = 5$ cm en zet daar $∠ A$ op. Pas vervolgens $A C = 4$ cm af en trek $B C$ .

Iedereen die dit doet krijgt dezelfde driehoek.

Begin met $A B = 5$ cm en zet daar $∠ A$ op. Cirkel vervolgens $B C = 4$ cm om en vindt punt $C$ . Er zijn twee mogelijkheden!

Nee, er zijn twee driehoeken mogelijk.

Opgave V2

Kies voor zijde $A B$ een lengte en teken die zijde. Zet de twee hoeken op de uiteinden van deze zijde en maak de driehoek af. Doe dit twee keer met verschillende lengtes voor zijde $A B$ .

Ze zijn gelijkvormig.

Opgave 1

Dit zijn X-hoeken, overstaande hoeken.

Dit zijn Z-hoeken bij evenwijdige lijnen.

Ja, de overeenkomstige hoeken staan op dezelfde plaats.

$1,5 / 6 = 0,25$

$C D = 0,25 \cdot 7 = 1,75$ cm en $D C = 0,25 \cdot 4,5 = 1,125$ cm.

Opgave 2

Dit zijn F-hoeken bij evenwijdige lijnen.

Ook dit zijn F-hoeken bij evenwijdige lijnen.

$Δ A B C \sim Δ A B E$

$7 / 3 = \frac{7}{3}$

$A E = \frac{7}{3} \cdot A C = \frac{7}{3} \cdot 7 = 16 \frac{1}{3}$ en $C E = 16 \frac{1}{3} - 7 = 9 \frac{1}{3}$ .

Opgave 3

Omdat de hoeken van elke driehoek samen $180 °$ zijn en dus het derde paar hoeken ook wel gelijk moet zijn.

De vergrotingsfactor van $Δ D E F$ naar $Δ A B C$ bedraagt $\frac{3}{2}$ . Als je die wilt gebruiken om vanuit zijde $B C$ de lengte van $E F$ te berekenen, moet je $B C = \frac{3}{2} \cdot E F$ omwerken tot $E F = B C / \frac{3}{2}$ .

Opgave 4

Omdat $∠ A = ∠ E$ en de overeenkomstige zijden op de benen van die hoeken dezelfde vergrotingsfactor hebben: $A B = 2,5 \cdot E D$ en $A C = 2,5 \cdot E F$ .

$Δ A B C \sim Δ E D F$

$B C = 2,5 \cdot D F = 2,5 \cdot 4,5 = 11,25$ .

Opgave 5

Omdat ze twee paar gelijke hoeken hebben, dat is een gelijkvormigheidskenmerk.

$D E = A E - A D = 12 - 4 = 8$ .

Uit de tabel en de vergrotingsfactor volgt $x = \frac{2}{3} \cdot (x + 3)$ en dus $3 x = 2 (x + 3) = 2 x + 6$ en daaruit volgt $x = C E = 6$ .

Opgave 6

Omdat $∠ A = ∠ A$ en $∠ A B C = ∠ A D E$ (F-hoeken).

Maak een verhoudingstabel van overeenkomstige zijden.

$A B$ $12$ cm	$B C$ $10$ cm	$A C$ $x + 5$ cm
$A D$ $5$ cm	$D E$ $y$ cm	$A E$ $x$ cm

De vergrotingsfactor van $Δ A B C$ naar $Δ A D E$ is $5 / 12 = \frac{5}{12}$ .
$D E = \frac{5}{12} \cdot 10 = \frac{25}{6}$ cm.
$x = \frac{5}{12} \cdot (x + 5)$ geeft $12 x = 5 x + 25$ en dus $A E = x = \frac{25}{7}$ cm.

Opgave 7

$Δ A B C \sim Δ A E D$ omdat $∠ B A C = ∠ E A D$ (X-hoeken) en $∠ A B C = ∠ D E A$ (Z-hoeken).

Maak een verhoudingstabel van overeenkomstige zijden.

$A B$ $10$ cm	$B C$ $9$ cm	$A C$ $x + 5$ cm
$A E$ $4$ cm	$E D$ $y$ cm	$D A$ $2,5$ cm

De vergrotingsfactor van $Δ A B C$ naar $Δ A D E$ is $4 / 10 = 0,4$ .
$D E = 0,4 \cdot 9 = 3,6$ cm.
$A C = 2,5 / 0,4 = 6,25$ cm.

Opgave 8

Omdat $∠ B A C = ∠ A D C = 90 °$ en $∠ A C B = ∠ D C A$ .

Doen.

Omdat $A D = \frac{96}{\sqrt{208}}$ krijg je met de stelling van Pythagoras: ${(\frac{96}{\sqrt{208}})}^{2} + B D^{2} = 12^{2}$ en dus $B D = \sqrt{12^{2} - {(\frac{96}{\sqrt{208}})}^{2}} \approx 9,9$ .

Je kunt ook met behulp van de tabel uit het voorbeeld eerst de lengte van $D C$ berekenen en dan deze lengte aftrekken van de lengte van $B C$ . Ga na, dat je hetzelfde vindt.

Opgave 9

Bereken eerst $D B$ met de stelling van Pythagoras: $D B^{2} = 5^{2} + 12^{2}$ dus $D B = \sqrt{5^{2} + 12^{2}} = 13$ .

Gebruik $Δ A B C \sim Δ E B D$ en maak een verhoudingstabel van overeenkomstige zijden.

$A B$ $18$ cm	$B C$ $x$ cm	$A C$ $y$ cm
$E B$ $12$ cm	$B D$ $13$ cm	$E D$ $5$ cm

De vergrotingsfactor van $Δ E B D$ naar $Δ A B C$ is $18 / 12 = 1,5$ .
$A C = 1,5 \cdot 5 = 7,5$ cm.

Opgave 10

$∠ E D C = ∠ E F B$ (gegeven) en $∠ D E C = ∠ F E B$ (X-hoeken).

Maak een verhoudingstabel van de zijden. De vergrotingsfactor van $Δ D E C$ naar $Δ F E B$ is $3 / 10 = 0,3$ . Dus $E B = 0,3 \cdot 12 = 3,6$ cm.

Bijvoorbeeld $Δ A B C \sim Δ D E C$ . (Je kunt ook gebruik maken van $Δ A B C \sim Δ F E B$ .)

Maak een verhoudingstabel van de zijden. De vergrotingsfactor van $Δ D E C$ naar $Δ A B C$ is $15,6 / 12 = 1,3$ . Dus $A B = 1,3 \cdot 10 = 13$ cm.

Opgave 11

$Δ A B C \sim Δ B D C$ , want $∠ C = ∠ C$ en $∠ D B C = ∠ A$ (gegeven).

Maak een verhoudingstabel van de zijden. De vergrotingsfactor van $Δ A B C$ naar $Δ B D C$ is $6 / 7 = \frac{6}{7}$ . Dus $D C = \frac{6}{7} \cdot 6 = \frac{36}{7}$ en $A D = 7 - \frac{36}{7} = \frac{13}{7}$ cm.

Opgave 12

Bereken eerst met behulp van de stelling van Pythagoras dat $B C = 13$ en $A D = \sqrt{160}$ .

Nu is $Δ A E C \sim Δ D E B$ , want $∠ A C E = ∠ D B E$ (Z-hoeken bij de evenwijdige lijnen $A C$ en $B D$ ) en $∠ A E C = ∠ D E B$ (overstaande hoeken).

Maak een verhoudingstabel van de zijden.

$A E$ $x$	$E C$ $y$	$A C$ $5$
$E D$ $\sqrt{160} - x$	$B E$ $13 - y$	$D B$ $4$

De vergrotingsfactor van $Δ A E C$ naar $Δ D E B$ is $4 / 5 = 0,8$ .
Uit $0,8 y = 13 - y$ volgt $y = 13 / 1,8 \approx 7,2$ . En uit $0,8 x = \sqrt{160} - x$ volgt $x = \sqrt{160} / 1,8 \approx 7,0$ .
Dus $C E \approx 7,2$ en $E D \approx 5,6$ .

Opgave 13

Maak een schets, neem aan dat de boom een lijnstuk is dat verticaal op de grond staat en dat Boris dat ook is.

Bij Boris zit een rechthoekige driehoek met rechthoekszijden van $1,40$ m en $1,80$ m. Bij de boom zit een daarmee gelijkvormige rechthoekige driehoek met rechthoekszijden van $25$ m en $h$ m. Hierin is $h$ de hoogte van de boom.

Hierbij hoort een verhoudingstabel:

$1,40$	$1,80$
$25$	$h$

De vergrotingsfactor van de driehoek bij Boris naar de driehoek bij de boom is $25 / 1,40 \approx 17,86$ .
Dus $h \approx 17,86 \cdot 1,80 \approx 32$ m.

Opgave 14

Bij Heleen zit een rechthoekige driehoek met rechthoekszijden van $10$ m en $9$ m. Over het kanaal ligt een daarmee gelijkvormige rechthoekige driehoek met rechthoekszijden van $36$ m en $b$ m. Hierin is $b$ de breedte van het kanaal.

Hierbij hoort een verhoudingstabel:

$10$	$9$
$36$	$b$

De vergrotingsfactor van de driehoek bij Heleen naar de driehoek op het kanaal is $36 / 10 \approx 3,6$ .
Dus $b = 3,6 \cdot 9 \approx 32$ m.

Opgave 15

Bereken om te beginnen met de stelling van Pythagoras dat $P B = 24$ mm.

Nu is $Δ P B Q \sim Δ S A P$ . Dat moet je wel aantonen. Eerst merk je op dat $∠ B = ∠ A = 90 °$ . Vervolgens is (gestrekte hoek bij $P$ ) $∠ B P Q = 180 ° - 90 ° - ∠ A P S = 90 ° - ∠ A P S$ en (in $Δ A P S$ ) $∠ A S P = 180 ° - 90 ° - ∠ A P S = 90 ° - ∠ A P S$ . En dus hebben beide driehoeken twee paren gelijke hoeken.

De vergrotingsfactor van $Δ B P Q$ naar $Δ S A P$ is $1,3 / 2,6 \approx 0,5$ .
Dus $A P = 0,5 \cdot 10 = 5$ mm en $A S = 0,5 \cdot 24 = 12$ mm.

De gevraagde afmetingen zijn dus $24 + 5 = 29$ mm en $10 + 12 = 22$ mm.

Opgave 16Lijnstukken in een kubus

Lijnstukken in een kubus

Bereken eerst de lengte van $A N$ met de stelling van Pythagoras: $A C^{2} = 4^{2} + 4^{2} = 32$ dus $A C = \sqrt{32}$ .

Diagonaalvlak $A C G E$ is een rechthoek met $A E = 4$ en $A C = \sqrt{32}$ cm. Hierin kun je met de stelling van Pythagoras berekenen dat $A G = \sqrt{48}$ en $B M = \sqrt{24}$ .

Ga na, dat de driehoeken $A B N$ en $G M N$ gelijkvormig zijn en maak daar een verhoudingstabel bij. Je vindt dan $A N = \frac{2}{3} \cdot \sqrt{48}$ en $C N = \frac{2}{3} \cdot \sqrt{24}$ .

Opgave 17Lijnstukken in een balk

Lijnstukken in een balk

Ga in de linker figuur na, dat `Delta ACP ∼ Delta EQP` .
In `Delta ACP` is `AP = 7` en `AC = sqrt(8^2 + 4^2) = sqrt(80)` cm.
In `Delta EQT` is `EP = 3` cm. De vergrotingsfactor van `Delta ACP` naar `Delta EQP` is dus `3/7` en `EQ = 3/7 * AC = 3/7 * sqrt(80)` cm.

Ga in de rechter figuur na, dat de driehoeken `RAS` en `REH` congruent zijn.
Dit betekent dat `AS = EH = 4` cm.

Ga in de rechter figuur na, dat `Delta DVH ∼ Delta CVW` .
In `Delta DVH` is `DV = 10` en `DH = 4` cm.
In `Delta CVW` is `CV = 2` cm. De vergrotingsfactor van `Delta DVH` naar `Delta CVW` is dus `2/10` en `CW = 2/10 * DH = 8/10 = 0,8` cm.

Ga in de rechter figuur na, dat `Delta DSV ∼ Delta DUT` .
In `Delta DSV` is `DS = 8` , `DV = 10` en `SV = sqrt(8^2 + 10^2) = sqrt(164)` cm.
Om een zijde van `Delta DUT` te bepalen, gebruik je eerst de gelijkvormigheid van `Delta AST` en `Delta DSV` . Daaruit vind je dat `AT = 1/2 DV = 5` cm.
In `Delta DUT` is `DT = 8-5 = 3` cm. De vergrotingsfactor van `Delta DSV` naar `Delta DUT` is dus `3/10` en `TU = 3/10 * SV = 3/10 * sqrt(164)` cm.

Opgave 18

Omdat `/_ ABD = /_ CBD = 90^@` en `/_ A = /_ BDC` geldt het gelijkvormigheidskenmerk `hh` .

`CD = 2sqrt(20)`

Opgave 19

`8,40` m.

verder | terug