Vlakke meetkunde > Rekenen in driehoeken
123456Rekenen in driehoeken

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1
a

Doen, begin met A B = 5 cm en zet daar A op. Pas vervolgens A C = 4 cm af en trek B C .

Iedereen die dit doet krijgt dezelfde driehoek.

b

Doen, begin met A B = 5 cm en zet daar A op. Cirkel vervolgens B C = 4 cm om en vindt punt C. Er zijn twee mogelijkheden!

Nee, er zijn twee driehoeken mogelijk.

Opgave V2
a

Kies voor zijde A B een lengte en teken die zijde. Zet de twee hoeken op de uiteinden van deze zijde en maak de driehoek af. Doe dit twee keer met verschillende lengtes voor zijde A B.

b

Ze zijn gelijkvormig.

Opgave 1
a

Dit zijn X-hoeken, overstaande hoeken.

b

Dit zijn Z-hoeken bij evenwijdige lijnen.

c

Ja, de overeenkomstige hoeken staan op dezelfde plaats.

d

1,5 / 6 = 0,25

e

C D = 0,25 7 = 1,75 cm en D C = 0,25 4,5 = 1,125 cm.

Opgave 2
a

Dit zijn F-hoeken bij evenwijdige lijnen.

b

Ook dit zijn F-hoeken bij evenwijdige lijnen.

c

Δ A B C Δ A B E

d

7 / 3 = 7 3

e

A E = 7 3 A C = 7 3 7 = 16 1 3 en C E = 16 1 3 - 7 = 9 1 3 .

Opgave 3
a

Omdat de hoeken van elke driehoek samen 180 ° zijn en dus het derde paar hoeken ook wel gelijk moet zijn.

b

De vergrotingsfactor van Δ D E F naar Δ A B C bedraagt 3 2 . Als je die wilt gebruiken om vanuit zijde B C de lengte van E F te berekenen, moet je B C = 3 2 E F omwerken tot E F = B C / 3 2 .

Opgave 4
a

Omdat A = E en de overeenkomstige zijden op de benen van die hoeken dezelfde vergrotingsfactor hebben: A B = 2,5 E D en A C = 2,5 E F .

b

Δ A B C Δ E D F

c

B C = 2,5 D F = 2,5 4,5 = 11,25 .

Opgave 5
a

Omdat ze twee paar gelijke hoeken hebben, dat is een gelijkvormigheidskenmerk.

b

D E = A E - A D = 12 - 4 = 8 .

c

Uit de tabel en de vergrotingsfactor volgt x = 2 3 ( x + 3 ) en dus 3 x = 2 ( x + 3 ) = 2 x + 6 en daaruit volgt x = C E = 6 .

Opgave 6
a

Omdat A = A en A B C = A D E (F-hoeken).

b

Maak een verhoudingstabel van overeenkomstige zijden.

A B
12 cm

B C
10 cm

A C
x + 5 cm

A D
5 cm

D E
y cm

A E
x cm

De vergrotingsfactor van Δ A B C naar Δ A D E is 5 / 12 = 5 12 .
D E = 5 12 10 = 25 6 cm.
x = 5 12 ( x + 5 ) geeft 12 x = 5 x + 25 en dus A E = x = 25 7 cm.

Opgave 7
a

Δ A B C Δ A E D omdat B A C = E A D (X-hoeken) en A B C = D E A (Z-hoeken).

b

Maak een verhoudingstabel van overeenkomstige zijden.

A B
10 cm

B C
9 cm

A C
x + 5 cm

A E
4 cm

E D
y cm

D A
2,5 cm

De vergrotingsfactor van Δ A B C naar Δ A D E is 4 / 10 = 0,4 .
D E = 0,4 9 = 3,6 cm.
A C = 2,5 / 0,4 = 6,25 cm.

Opgave 8
a

Omdat B A C = A D C = 90 ° en A C B = D C A .

b

Doen.

c

Omdat A D = 96 208 krijg je met de stelling van Pythagoras: ( 96 208 ) 2 + B D 2 = 12 2 en dus B D = 12 2 - ( 96 208 ) 2 9,9 .

Je kunt ook met behulp van de tabel uit het voorbeeld eerst de lengte van D C berekenen en dan deze lengte aftrekken van de lengte van B C . Ga na, dat je hetzelfde vindt.

Opgave 9

Bereken eerst D B met de stelling van Pythagoras: D B 2 = 5 2 + 12 2 dus D B = 5 2 + 12 2 = 13 .

Gebruik Δ A B C Δ E B D en maak een verhoudingstabel van overeenkomstige zijden.

A B
18 cm

B C
x cm

A C
y cm

E B
12 cm

B D
13 cm

E D
5 cm

De vergrotingsfactor van Δ E B D naar Δ A B C is 18 / 12 = 1,5 .
A C = 1,5 5 = 7,5 cm.

Opgave 10
a

E D C = E F B (gegeven) en D E C = F E B (X-hoeken).

b

Maak een verhoudingstabel van de zijden. De vergrotingsfactor van Δ D E C naar Δ F E B is 3 / 10 = 0,3 . Dus E B = 0,3 12 = 3,6 cm.

c

Bijvoorbeeld Δ A B C Δ D E C . (Je kunt ook gebruik maken van Δ A B C Δ F E B .)

b

Maak een verhoudingstabel van de zijden. De vergrotingsfactor van Δ D E C naar Δ A B C is 15,6 / 10 = 1,56 . Dus A B = 1,56 10 = 15,6 cm.

Opgave 11
a

Δ A B C Δ B D C , want C = C en D B C = A (gegeven).

b

Maak een verhoudingstabel van de zijden. De vergrotingsfactor van Δ A B C naar Δ B D C is 6 / 7 = 6 7 . Dus D C = 6 7 6 = 36 7 en A D = 7 - 36 7 = 13 7 cm.

Opgave 12

Bereken eerst met behulp van de stelling van Pythagoras dat B C = 13 en A D = 160 .

Nu is Δ A E C Δ D E B , want A C E = D B E (Z-hoeken bij de evenwijdige lijnen A C en B D ) en A E C = D E B (overstaande hoeken).

Maak een verhoudingstabel van de zijden.

A E
x

E C
y

A C
5

D E
13 - x

E B
160 - y

D B
4

De vergrotingsfactor van Δ A E C naar Δ D E B is 4 / 5 = 0,8 .
Uit 0,8 x = 13 - x volgt x = 13 / 1,8 7,2 . En uit 0,8 y = 160 - y volgt y = 160 / 1,8 7,1 .
Dus C E 7,2 en E D 5,5 .

Opgave 13

Maak een schets, neem aan dat de boom een lijnstuk is dat verticaal op de grond staat en dat Boris dat ook is.

Bij Boris zit een rechthoekige driehoek met rechthoekszijden van 1,40 m en 1,80 m. Bij de boom zit een daarmee gelijkvormige rechthoekige driehoek met rechthoekszijden van 25 m en h m. Hierin is h de hoogte van de boom.

Hierbij hoort een verhoudingstabel:

1,40 1,80
25 h

De vergrotingsfactor van de driehoek bij Boris naar de driehoek bij de boom is 25 / 1,40 17,86 .
Dus h 17,86 1,80 32 m.

Opgave 14

Bij Heleen zit een rechthoekige driehoek met rechthoekszijden van 10 m en 9 m. Over het kanaal ligt een daarmee gelijkvormige rechthoekige driehoek met rechthoekszijden van 36 m en b m. Hierin is b de breedte van het kanaal.

Hierbij hoort een verhoudingstabel:

10 9
36 b

De vergrotingsfactor van de driehoek bij Heleen naar de driehoek op het kanaal is 36 / 10 3,6 .
Dus b = 3,6 9 32 m.

Opgave 15

Bereken om te beginnen met de stelling van Pythagoras dat P B = 24 mm.

Nu is Δ P B Q Δ S A P . Dat moet je wel aantonen. Eerst merk je op dat B = A = 90 ° . Vervolgens is (gestrekte hoek bij P) B P Q = 180 ° - 90 ° - A P S = 90 ° - A P S en (in Δ A P S ) A S P = 180 ° - 90 ° - A P S = 90 ° - A P S . En dus hebben beide driehoeken twee paren gelijke hoeken.

De vergrotingsfactor van Δ B P Q naar Δ S A P is 1,3 / 2,6 0,5 .
Dus A P = 0,5 10 = 5 mm en A S = 0,5 24 = 12 mm.

De gevraagde afmetingen zijn dus 24 + 5 = 29 mm en 10 + 12 = 22 mm.

Opgave 16Lijnstukken in een kubus
Lijnstukken in een kubus

Bereken eerst de lengte van A N met de stelling van Pythagoras: A C 2 = 4 2 + 4 2 = 32 dus A C = 32 = 4 2 .

Diagonaalvlak A C G E is een rechthoek met A E = 4 en A C = 4 2 cm. Hierin kun je met de stelling van Pythagoras berekenen dat A G = 4 3 en B M = 24 = 2 6 .

Ga na, dat de driehoeken A B N en G M N gelijkvormig zijn en maak daar een verhoudingstabel bij. Je vindt dan A N = 2 3 4 3 = 8 3 3 en C N = 2 3 2 6 = 4 3 6 .

Opgave 17Lijnstukken in een balk
Lijnstukken in een balk

Antwoord.

verder | terug