Vlakke meetkunde > Bijzondere lijnen
123456Bijzondere lijnen

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1
a

Een middelloodlijn van een lijnstuk is een lijn die loodrecht op dat lijnstuk staat en door het midden ervan gaat.

b

Maak een tekening en/of werk met de applet.

c

Het middelpunt is M, het snijpunt van de drie middelloodlijnen.

Opgave 1
a

Eigen antwoord, deel alle hoeken in twee gelijke delen.

b

Ja, als het goed is wel.

c

Teken een lijnstukje vanuit `D` loodrecht op één van de zijden. Dit lijnstukje is de straal van de ingeschreven cirkel.

Opgave 2
a

Eigen antwoord, verdeel alle zijden in twee gelijke delen.

b

Ja, als het goed is wel. Dit punt heet het zwaartepunt van de driehoek en is ook echt het natuurkundige zwaartepunt als de driehoek van één soort materiaal is gemaakt en overal even dik is.

Opgave 3
a

Neem bijvoorbeeld driehoek A B C met A B = 8 cm, A C = 7 cm en B C = 6 cm.

b

Doen.

c

Ja, als het goed is wel.

Opgave 4
a

Neem bijvoorbeeld driehoek A B C met A B = 8 cm, A C = 5 cm en B C = 4 cm.

b

Doen, twee hoogtelijnen vallen buiten de driehoek.

c

Ja.

Opgave 5

Teken de drie deellijnen door de hoeken op te meten en middendoor te delen.
De drie bissectrices gaan door punt D.
Teken een loodlijntje vanuit `D` en loodrecht op (bijvoorbeeld) `AB` en geef het punt op `AB` de letter `E` .
Zet de stalen passerpunt in D en de potloodpunt op E. De cirkel tekenen en klaar...

Opgave 6
a

Omdat ze C gemeenschappelijk hebben en C F = 1 2 C A en C E = 1 2 C B .

b

De vergrotingsfactor van Δ A B C naar Δ F E C bedraagt 1 2 . Dus is E F = 1 2 A B .
Verder volgt uit de gelijkvormigheid bij a dat B A C = E F C , dus E F / / A B .

c

Omdat E F / / A B is B A Z = F E Z , A B Z = E F Z (Z-hoeken). En verder is A Z B = E Z F (X-hoeken). Beide driehoeken hebben dus gelijke overeenkomstige hoeken.

d

Die volgt uit E F = 1 2 A B , zie b.

Opgave 7

Maak eerst een schets van de situatie. De zwaartelijnen noem je A E , B F en C D .

Omdat de driehoek gelijkbenig is, is de zwaartelijn A E ook hoogtelijn, dus kun je de stelling van Pythagoras gebruiken: A E 2 + 2 2 = 6 2 . Daarom is A E = 32 .
Omdat A Z : Z E = 2 : 1 is A Z = 2 3 32 .

Opgave 8
a

Eigen antwoord. Zorg er voor dat A D loodrecht op B C staat.

b

Δ A B D Δ A C D

c

Uit de congruentie volgt dat B A D = C A D en dat B D = D C . Punt D is dus het midden van zijde B C .

Opgave 9
a

Doen, de derde hoogtelijn gaat door `R` en het snijpunt van de andere twee hoogtelijnen.

b

Omdat P = P en S = U = 90 ° .

c

Met de stelling van Pythagoras is R U 2 + 2 2 = 8 2 en dus R U = 8 2 - 2 2 = 60 .

Vanwege de gelijkvormigheid (maak een verhoudingstabel) bij b is Q S = 1 2 R U = 1 2 60 . En de hoogtelijn P T is even lang.

Opgave 10

Teken zo'n driehoek. De zwaartelijnen zijn ook middelloodlijnen en deellijnen. Het snijpunt M van de middelloodlijnen is ook snijpunt van de deellijnen en dus middelpunt van zowel de omgeschreven cirel als de ingeschreven cirkel. De omgeschreven cirkel gaat door de hoekpunten van de driehoek, de ingeschreven cirkel door de middens van de zijden.

Opgave 11
a

Doen, teken de zwaartelijnen er in.

b

Omdat Δ P Q T rechthoekig is, kun je de stelling van Pythagoras toepassen. Dus Q T = 5 cm. Dat betekent dat Q R = 10 cm. Met behulp van de stelling van Pythagoras vind je dan R U = 244 .

c

Omdat R Z : R U = 2 : 1 is R U = 1 3 244 .

Opgave 12

Teken de middelloodlijnen van de driehoek waarvan jouw punten de hoekpunten zijn. Het snijpunt van die middelloodlijnen (aan twee heb je genoeg) is het middelpunt van de cirkel die je wilt tekenen.

Opgave 13Zwaartepunt en zwaartekracht
Zwaartepunt en zwaartekracht
a

Doen, teken de drie zwaartelijnen. Als het goed is gaan ze ook nu door één punt.

b

Doen, hopelijk lukt het allemaal.

Opgave 14Verdelen in gelijke oppervlaktes
Verdelen in gelijke oppervlaktes
a

De oppervlakte van een driehoek is de helft van het product van basis en hoogte. De oppervlakte van Δ A B C is dus 1 2 A B C E .

b

De oppervlakte van Δ A D C is 1 2 A D C E .

De oppervlakte van Δ D B C is 1 2 D B C E .

Omdat C D een zwaartelijn is, is A D = D B . En dus zijn deze oppervlaktes gelijk.

Opgave 15
a

Zie figuur.

b

Noem die zwaartelijn `CD` , dan is `AD=DB` en zijn de driehoeken `ADC` en `BDC` congruent (alle overeenkomstige zijden zijn gelijk).
Dit betekent dat `/_ADC=/_BDC=90^@` en `CD` zowel hoogtelijn uit `C` als middelloodlijn van `AB` is.
Het betekent ook dat `/_ACD = /_BCD` en dus dat `CD` bissectrice is.

Opgave 16

Teken de driehoek. Zet de drie middelloodlijnen van de zijden er in.
De omgeschreven cirkel heeft het snijpunt van de drie middelloodlijnen als middelpunt `M` en bijvoorbeeld `MA` als straal.

verder | terug