Vlakke meetkunde > Bijzondere lijnen
123456Bijzondere lijnen

Voorbeeld 2

Je ziet hiernaast Δ A B C waarin de drie zwaartelijnen zijn getekend. Deze lijnstukken verbinden een hoekpunt met het midden van de overstaande zijde. Hun snijpunt is het zwaartepunt Z van de driehoek. Een opvallende eigenschap van het zwaartepunt is dat dit punt de zwaartelijnen in twee stukken verdeeld die de verhouding 2 : 1 hebben.

Laat dit zien met behulp van gelijkvormigheid.

> antwoord

Teken lijnstuk E F .
Uit de gelijkvormigheid van de driehoeken A B C en F E C volgt E F / / A B en E F = 1 2 A B .
En daarom is Δ A B Z Δ E F Z . De overeenkomstige zijden vormen dus een verhoudingstabel:

A B B Z A Z
E F F Z E Z

De vergrotingsfactor van Δ A B Z naar Δ E F Z bedraagt 1 2 , dus E Z = 1 2 A Z en F Z = 1 2 B Z . En dus is A Z : E Z = B Z : F Z = 2 : 1 .

Opgave 6

Bekijk Voorbeeld 2.

a

Teken zelf Δ A B C met de zwaartelijnen A E en B F en teken lijnstuk E F .
Waarom zijn de driehoeken A B C en F E C gelijkvormig?

b

Leg uit, dat dit betekent dat E F / / A B en E F = 1 2 A B .

c

Leg uit, dat uit het voorgaande volgt dat Δ A B Z Δ E F Z .

d

Hoe kom je aan de vergrotingsfactor van Δ A B Z naar Δ E F Z ?

Opgave 7

De stelling dat de zwaartelijnen in een driehoek elkaar verdelen in stukken die zich verhouden als 2 : 1 kun je gebruiken bij meetkundige berekeningen.

Van een gelijkbenige driehoek A B C is A B = A C = 6 en B C = 4 cm. De drie zwaartelijnen snijden elkaar in punt Z.
Bereken de lengte van lijnstuk A Z .

verder | terug