Vlakke meetkunde

Vlakke meetkunde > Bijzondere lijnen

Overzicht

123456Bijzondere lijnen

Antwoorden van de opgaven

Opgave 1

Een middelloodlijn van een lijnstuk is lijn die loodrecht op dat lijnstuk staat en door het midden ervan gaat.

Doen.

Het middelpunt is $M$ .

Opgave 2

Doen.

Ja.

Doen.

Opgave 3

Doen.

Ja.

Opgave 4

Neem bijvoorbeeld driehoek $A B C$ met $A B = 8$ cm, $A C = 7$ cm en $B C = 6$ cm.

Doen.

Ja.

Opgave 5

Neem bijvoorbeeld driehoek $A B C$ met $A B = 8$ cm, $A C = 5$ cm en $B C = 4$ cm.

Doen.

Ja.

Opgave 6

Teken de drie deellijnen door de hoeken op te meten en middendoor te delen. De drie bissectrices gaan door punt $D$ . Zet de stalen passerpunt in $D$ en de potloodpunt op een zijde in een punt dat zo dicht mogelijk bij $D$ ligt. Omcirkelen en klaar...

Opgave 7

Omdat ze $∠ C$ gemeenschappelijk hebben en $C F = \frac{1}{2} \cdot C A$ en $C E = \frac{1}{2} \cdot C B$ .

De vergrotingsfactor van $∆ A B C$ naar $∆ F E C$ bedraagt $\frac{1}{2}$ . Dus is $E F = \frac{1}{2} \cdot A B$ .
Verder volgt uit de gelijkvormigheid bij a dat $∠ B A C = ∠ E F C$ , dus $E F / / A B$ .

Omdat $E F / / A B$ is $∠ B A Z = ∠ F E Z$ , $∠ A B Z = ∠ E F Z$ (Z-hoeken). En verder is $∠ A Z B = ∠ E Z F$ (X-hoeken). Beide driehoeken hebben dus gelijke overeenkomstige hoeken.

Die volgt uit $E F = \frac{1}{2} \cdot A B$ , zie b.

Opgave 8

Maak eerst een schets van de situatie. De zwaartelijnen noem je $A E$ , $B F$ en $C D$ .

Omdat de driehoek gelijkbenig is, is de zwaartelijn $A E$ ook hoogtelijn, dus kun je de stelling van Pythagoras gebruiken: $A E^{2} + 2^{2} = 6^{2}$ . Daarom is $A E = \sqrt{32} = 4 \sqrt{2}$ .
Omdat $A Z : Z E = 2 : 1$ is $A Z = \frac{2}{3} \cdot 4 \sqrt{2} = \frac{8}{3} \sqrt{2}$ .

Opgave 9

Eigen antwoord. Zorg er voor dat $A D$ loodrecht op $B C$ staat.

$∆ A B D ≅ ∆ A C D$

Uit de congruentie volgt dat $∠ B A D = ∠ C A D$ en dat $B D = D C$ . Punt $D$ is dus het midden van zijde $B C$ .

Opgave 10

Doen.

Omdat $∠ P = ∠ P$ en $∠ S = ∠ U = 90 °$ .

Met de stelling van Pythagoras is $R U^{2} + 2^{2} = 8^{2}$ en dus $R U = \sqrt{8^{2} - 2^{2}} = \sqrt{60} = 2 \sqrt{15}$ .

Vanwege de gelijkvormigheid (maak een verhoudingstabel) bij b is $Q S = \frac{1}{2} \cdot R U = \sqrt{15}$ . En de hoogtelijn $P T$ is even lang.

Opgave 11

Teken zo'n driehoek. De zwaartelijnen zijn ook middelloodlijnen en deellijnen. Het snijpunt $M$ van de middelloodlijnen is ook snijpunt van de deellijnen en dus middelpunt van zowel de omgeschreven cirel als de ingeschreven cirkel. De omgeschreven cirkel gaat door de hoekpunten van de driehoek, de ingeschreven cirkel door de middens van de zijden.

Opgave 12

Doen, teken de zwaartelijnen er in.

Omdat $∆ P Q T$ rechthoekig is, kun je de stelling van Pythagoras toepassen. Dus $Q T = 5$ cm. Dat betekent dat $Q R = 10$ cm. Met behulp van de stelling van Pythagoras vind je dan $R U = \sqrt{244}$ .

Omdat $R Z : R U = 2 : 1$ is $R U = \frac{1}{3} \sqrt{244}$ .

Opgave 13

Teken de middelloodlijnen van de driehoek waarvan jouw punten de hoekpunten zijn. Het snijpunt van die middelloodlijnen (aan twee heb je genoeg) is het middelpunt van de cirkel die je wilt tekenen.

Opgave 14Zwaartepunt en zwaartekracht

Zwaartepunt en zwaartekracht

Doen, teken de drie zwaartelijnen. Als het goed is gaan ze ook nu door één punt.

Doen, hopelijk lukt het allemaal. Je kunt aan alle drie de punten van de driehoek weer andere (even zware) kleinere driehoek ophangen en zo een mobile maken.

Opgave 15Verdelen in gelijke oppervlaktes

Verdelen in gelijke oppervlaktes

De oppervlakte van een driehoek is de helft van het product van basis en hoogte. De oppervlakte van $∆ A B C$ is dus $\frac{1}{2} \cdot A B \cdot C E$ .

De oppervlakte van $∆ A D C$ is $\frac{1}{2} \cdot A D \cdot C E$ .

De oppervlakte van $∆ D B C$ is $\frac{1}{2} \cdot D B \cdot C E$ .

Omdat $C D$ een zwaartelijn is, is $A D = D B$ . En dus zijn deze oppervlaktes gelijk.

verder | terug