Vlakke meetkunde > Vlakke figuren
123456Vlakke figuren

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1
a

Elke vijfhoek kun je verdelen in drie driehoeken, dus de hoekensom ervan is 540 °. Elke hoek is daarom 540 / 5 = 108 ° .

b

Begin met een zijde en zet daarop hoeken van 108 ° af. Pas op de benen van die hoeken dezelfde lengte af als je eerste zijde was en ga zo door.

c

Je vindt het middelpunt van die cirkel door de middelloodlijnen van twee zijden te tekenen. De middelloodlijnen van alle zijden gaan door één punt en dat is het middelpunt van de omgeschreven cirkel.

Opgave 1
a

Bekijk in de Uitleg hoe je dat kunt doen.

b

Ja, ook die kun je in vijf driehoeken verdelen.

c

Nee, dat hoeft niet. Je kunt heel goed een zevenhoek met alle zijden gelijk aan 2 cm tekenen, zonder dat alle hoeken gelijk zijn.

d

Omdat het middelpunt van deze omgeschreven cirkel even ver van alle hoekpunten af moet liggen, ligt het op de middelloodlijnen van de zijden. Die snijden elkaar in het middelpunt van de omgeschreven cirkel.

Opgave 2
a

Je kunt hem in vier driehoeken verdelen, dus de hoekensom is 4 180 = 720 ° .
Dus zijn alle hoeken 120 °.

b

Dit kun je op dezelfde manier doen als in de Uitleg wordt gedaan voor de regelmatige zevenhoek. Nu zijn alle hoeken 120 °.

c

Teken twee (of meer) middelloodlijnen van de zijden en bepaal hun snijpunt. Dit is het middelpunt M van de omgeschreven cirkel.

d

Je kunt de regelmatige zeshoek verdelen in zes gelijkbenige driehoeken met hun tophoek in M. Die tophoeken zijn dan allemaal 360 / 6 = 60 ° . En dus zijn ook de basishoeken van de zes gelijkbenige driehoeken allemaal 60 ° . Omdat alle hoeken gelijk zijn, zijn de zijden dat ook, dus het zijn gelijkzijdige driehoeken. Dus de straal van de omgeschreven cirkel is gelijk aan de lengte van een zijde.

Opgave 3
a

Zo'n vierhoek heet een ruit. Je kunt hem nog niet tekenen, daarvoor moet je iets van de hoeken weten.

b

Ja, begin maar eens met Δ A B C . Die ligt vast, want je weet A = 60 ° en de twee benen van die hoek zijn 4 cm. Daarmee ligt ook A D vast. En (omdat van de lengtes van alle zijden vast liggen) dus ligt ook Δ B C D vast.

c

Nee, een regelmatige vierhoek is een vierkant. Alleen dan zijn alle zijden en alle hoeken gelijk.

d

Nee, van zo'n cirkel zou het middelpunt het midden van A D moeten zijn. En de punten A en B liggen daar niet even ver vandaan.

Opgave 4
a

Stelling van Pythagoras: A C 2 = A B 2 + B C 2 .
Dit geeft 2 2 = 1 2 + B C 2 , zodat B C 2 = 3 en B C = 3 .

b

Het middelpunt M van deze cirkel is het snijpunt van de middelloodlijnen. M is het midden van A C, dus de straal van deze cirkel is 1 cm.

c

Je kunt dit doen met behulp van gelijkvormigheid van (bijvoorbeeld) de driehoeken A B D en A C B .
Maar je kunt ook gebruik maken van het feit dat driehoek A B D een halve gelijkzijdige driehoek is (de hoeken zijn ook 30 ° , 60 ° en 90 ° ). Omdat A B = 1 cm is A D = 1 2 en B D = 1 2 3 .

Opgave 5
a

Teken eerst de cirkel. Verdeel de cirkel in zes gelijke sectoren met een sectorhoek van 360 / 6 = 60 ° .

b

Van elk van die twaalf driehoeken is de oppervlakte 1 2 1 3 = 1 2 3 .
De regelmatige zeshoek heeft dus een oppervlakte van 12 1 2 3 = 6 3 .

Opgave 6
a

Doen.

b

Construeer het middelpunt van de omgeschreven cirkel. Bepaal het geschikte snijpunt met de cirkel waar punt D op ligt.

c

De kortste lengte van C D ontstaat als punt D op lijnstuk A C ligt. (Dan is er sprake van een driehoek, net niet meer van een vierhoek.)
Nu kun je de lengte van A C uitrekenen met behulp van de stelling van Pythagoras: A C = 61 .
En dus moet C D > 61 - 4 .

Opgave 7
a

Begin met A = 60 ° , A B = 6 cm en A D = 4 cm. Teken vervolgens een lijn door D en evenwijdig aan A B en cirkel vanuit punt B het lijnstuk B C = 4 cm om. Het linker punt waar deze cirkel de lijn door D en evenwijdig aan A B snijdt, is punt C. (Het rechter punt zou ook kunnen, maar dan is de vierhoek ook een parallellogram en dan is niet voldaan aan A B D C .)

b

Teken lijnstuk E D / / B C . Dan is driehoek A E D gelijkzijdig met zijden van 4 cm. En dus is E B = 2 cm.
Omdat E B C D een parallellogram is, is D C = E B = 2 cm.

c

De hoogte is bijvoorbeeld lijnstuk F C dat loodrecht staat op A B . Omdat driehoek A E D gelijkzijdig is, is F het midden van A E . Dus A F = 2 cm.
Met behulp van de stelling van Pythagoras vind je C F = 2 3 cm.
De oppervlakte van het trapezium is 1 2 6 2 3 + 1 2 2 2 3 = 8 3 cm2.

d

De lengte van B D bereken je met behulp van de stelling van Pythagoras: B D 2 = 4 2 + ( 2 3 ) 2 = 28 . Dus B D = 28 .

Nu zijn de driehoeken A B S en C D S gelijkvormig, want ze hebben drie gelijke hoeken (Z-hoeken en X-hoeken).

De vergrotingsfactor van driehoek A B S naar driehoek C D S is 2 / 6 = 1 3 . Neem B S = x , dan is x + 1 3 x = 28 en dus x = 3 4 28 .

Opgave 8
a

Een twaalfhoek heeft een hoekensom van 10 180 = 1800 ° , dus een regelmatige twaalfhoek heeft hoeken van 150 °.

b

Je tekent eerst een zijde van de juiste lengte en zet daar aan weerszijden een hoek van 150 ° op. De benen van die hoeken worden 2 cm en daarop zet je weer hoeken van 150 °, etc.

c

Teken de middelloodlijnen van minstens twee zijden. Hun snijpunt is het middelpunt van de omgeschreven cirkel.

Opgave 9

Teken in deze driehoek de drie deellijnen/hoogtelijnen/zwaartelijnen/middelloodlijnen. (Dat zijn drie lijnstukken, want in een gelijkzijdige driehoek is de deellijn van een hoek hetzelfde als de hoogtelijn vanuit dat hoekpunt en de zwaartelijn vanuit dat hoekpunt en de middelloodlijn van de overstaande zijde.) Omdat de zwaartelijnen elkaar verdelen in een verhouding van 2 : 1 en het snijpunt van deze lijnen het middelpunt van de ingeschreven cirkel is, is de straal ervan 1 3 deel van de lengte van elke deellijn/hoogtelijn/zwaartelijn/middelloodlijn. Die lengte kun je berekenen met de stelling van Pythagoras, bijvoorbeeld C D = 3 3 . De straal van de ingeschreven cirkel is dus 3 cm.

Opgave 10

Van een gelijkzijdige driehoek zijn alle hoeken 60 ° . Verder is P C B = P D A = 30 ° .
Omdat de driehoeken P C B en P D A gelijkbenig zijn, is B P C = A P D = ( 180 - 30 ) / 2 = 75 ° . En dus is A P B = 360 - 60 - 2 75 = 150 ° .

Opgave 11
a

Nee, de hoeken kunnen nog variëren.

b

Doen, begin met driehoek D A B , daarvan weet je twee zijden en hun ingesloten hoek. Vervolgens kun je de zijden B C en D C met de passer omcirkelen.

c

S is het snijpunt van beide diagonalen. De diagonalen staan (vanwege de symmetrie) loodrecht op elkaar. En driehoek D A B is gelijkzijdig, dus D B = 6 cm. Hieruit volgt met behulp van de stelling van Pythagoras: A S = 6 2 - 3 2 = 3 3 en S C = 4 2 - 3 2 = 7 .
A C = 3 3 + 7 .

d

De vlieger heeft geen omgeschreven cirkel: de vier middelloodlijnen gaan niet door één punt.

Opgave 12

De diagonalen van het vierkant hebben een lengte van 2 2 cm. De diameter van de kleine cirkel is daarom 2 2 - 2 cm. De straal is dus 2 - 1 cm.

Opgave 13Sangaku
Sangaku

Noem het middelpunt van de grote cirkel M 1 en dat van de kleinere cirkel M 2 . Nu is M 1 M 2 = 2 + 3 = 5 .
Te berekenen (het vraagteken) is dan x.
Met de stelling van Pythagoras vind je:

x 2 + ( 3 - 2 ) 2 = 5 2

En dit levert op: x 2 = 24 en dus x = 24 .

verder | terug