Vlakke meetkunde > Vergrotingsfactoren
123456Vergrotingsfactoren

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1
a

Met de stelling van Pythagoras bereken je de zijden. Bijvoorbeeld A B = 1 2 + 4 2 = 17 .

De omtrek is dan 17 + 13 + 8 .

De oppervlakte is ( "hokjes tellen" ) 5 roosterhokjes.

b

De omtrek is (gebruik de stelling van Pythagoras) 2 17 + 2 13 + 2 8 .

De oppervlakte is ( "hokjes tellen" ) 20 roosterhokjes.

c

De omtrek is 5 17 + 5 13 + 5 8 .

De oppervlakte is 125 roosterhokjes.

Opgave 1
a

In de breedte gaan er vijf naast elkaar en in de lengte gaan er vijf boven elkaar.

b

4 2 = 16 keer zo groot.

c

0,5 2 = 0,25

d

9 = 3

Opgave 2
a

De omtrek is 10 + 5 + 10 + 5 = 30 cm.

De oppervlakte is 10 4 = 40 cm2.

b

De omtrek wordt 0,2 keer zo groot, dus 0,2 30 = 6 cm.
De oppervlakte wordt 0,2 2 = 0,04 keer zo groot, dus 0,04 40 = 1,6 cm2.

Opgave 3
a

In de figuur zie je dat S T / / P Q en dus is T S R = P en S T R = Q (F-hoeken). Beide driehoeken hebben dus gelijke hoeken.

b

Teken hoogtelijn R M . Punt M is dan het midden van P Q, dus P M = 4 cm.
Met behulp van de stelling van Pythagoras vind je R M = 13 2 - 4 2 = 153 .

c

Doen.

Opgave 4
a

In de figuur zie je dat B = D en verder is A B C = D B E (X-hoeken). Beide driehoeken hebben dus gelijke hoeken en zijn gelijkvormig.

b

Van de gelijkbenige Δ D B E is de hoogte B M = 8 2 - 2 2 = 56 (waarin M het midden van D E is).
De oppervlakte van Δ D B E is 1 2 4 56 = 2 56 .

De oppervlakte van Δ D B E is ( 15 8 ) 2 2 56 = 225 32 56 .

De totale oppervlakte van beide driehoeken samen is 289 32 56 .

Opgave 5

Ga na, dat Δ A B C Δ D A C .
Verder is D C = 12 2 - 10 2 = 5 .

De lengtevergrotingsfactor van Δ D A C naar Δ A B C is 12 / 5 = 2,4 .

De oppervlakte van Δ D A C is 1 2 5 10 = 25 .

De oppervlakte van Δ A B C is dus 2,4 2 25 = 144 .

Opgave 6
a

Omdat 240 / 20 = 12 .

b

Als de lengtevergrotingsfactor k is, dan is de oppervlaktevergrotingsfactor k 2 . En uit k 2 = 12 volgt als enige positieve antwoord k = 12 .

c

De oppervlaktevergrotingsfactor van A4 naar A3 is 2, de lengtevergrotingsfactor dus 2 .
Een blad A3 is daarom 420 mm bij 297 mm.

Opgave 7

Ga na, dat Δ A B C Δ Q B P .
Verder is de oppervlaktevergrotingsfactor van Δ A B C naar Δ Q B P gelijk aan 0,5.

De lengtevergrotingsfactor van Δ A B C naar Δ Q B P is daarom 0,5 = 1 2 2 .

En daarom is B P = 1 2 2 B C .
Met de stelling van Pythagoras vind je B C = 5 2 + 10 2 = 125 , dus B P = 1 2 2 125 = 1 2 250 .

En A P = 10 - 1 2 250 cm.

Opgave 8
a

A = A en A D E = A B C (F-hoeken).

De lengtevergrotingsfactor is 9 12 = 0,75 .

b

Δ D F E Δ C F B , want en E D C = D C B en D E B = E B C (Z-hoeken).

Uit de gelijkvormigheid bij a volgt dat D E = 0,75 6 = 4,5 .
De lengtevergrotingsfactor Δ D F E naar Δ C F B is dus ook 9 12 = 0,75 . De bijbehorende oppervlaktevergrotingsfactor is ( 3 4 ) 2 = 9 16 , dus de oppervlaktes verhouden zich als 9 : 16 .

Opgave 9
a

De lengtevergrotingsfactor is 24 7 , dus de hoogte van de vergroting is 24 7 10 34,3 cm.

b

7 24 15 = 4,375 cm.

c

( 24 7 ) 2 6 70,53 cm2.

Opgave 10
a

Omdat A = F E C is E F / / A B en dus B = E F C .
Omdat D = E G C is E G / / A D en dus D A C = G E C .
Van beide vierhoeken zijn de hoeken gelijk.

Maar je moet ook de zijden nagaan, die moeten een vaste vergrotingsfactor hebben. Dat volgt uit de gelijkvormigheid van de driehoeken A B C en E F C en de gelijkvormigheid van de driehoeken A C D en E C G .

b

De lengtevergrotingsfactor van vierhoek A B C D naar vierhoek E F C G is 0,5. Dus de oppervlaktevergrotingsfactor is 0,25 .

Opgave 11
a

448 25 = 11200 cm, dus 112 m.

b

11000 / 25 2 = 17,6 m2.

Opgave 12

De oppervlaktevergrotingsfactor van ruit A B C D naar ruit P Q R D is 3 4 , dus de lengtevergrotingsfactor is 3 4 .

Δ A B C is een gelijkzijdige driehoek met zijden van 6 cm. Het midden van A C is punt M en met de stelling van Pythagoras kun je berekenen dat B M = 3 3 . En dus is B D = 6 3 en Q D = 3 4 6 3 = 9 . Dus is B Q = 6 3 - 9 .

Opgave 13Kubus vergroten
Kubus vergroten
a

6 4 4 = 96 cm2.

b

6 12 12 = 864 cm2.

c

6 4 k 4 k = 96 k 2 cm2.

Opgave 14Verfblikken
Verfblikken
a

De mantel van de cilinder is een gebogen rechthoek. Die rechthoek heeft een lengte die gelijk is aan de omtrek van de grondcirkel. De oppervlakte ervan is dus 2 π 8 14 = 224 π 704 cm2.
De bodem en het deksel zijn cirkels met een oppervlakte van π 8 2 = 64 π 201 cm2.

De oppervlakte van het verfblik is dus ongeveer 1106 cm2.

b

De oppervlakte wordt dan 4 keer zo groot, dus ongeveer 4424 cm2.

c

Nee, de cilindermantel heeft wel een even grote oppervlakte, maar de bodem en het deksel niet, die worden 4 keer zo groot.

verder | terug