Vlakke meetkunde

Vlakke meetkunde > Totaalbeeld

123456Totaalbeeld

Antwoorden van de opgaven

Opgave 1

Congruent zijn de vierhoeken $A B C D$ en $P S R Q$ . Door "hokjes tellen" kun je nagaan dat de overeenkomstige zijden en de overeenkomstige hoeken gelijk zijn.

Gelijkvormig zijn de vierhoeken $A B C D$ en $M N K L$ . Door "hokjes tellen" kun je nagaan dat de overeenkomstige hoeken gelijk zijn en de overeenkomstige zijden met een vast vergrotingsfactor worden vermenigvuldigt. Die factor is $1,5$ als je uitgaan van vierhoek $A B C D$ .

Opgave 2

$∆ A B C \sim ∆ A E D$ omdat $∠ B = ∠ E$ (Z-hoeken) en $∠ B A C = ∠ E A D$ (X-hoeken).

Zijde $E D$ .

Maak eventueel een verhoudingstabel van de overeenkomstige zijden. De vergrotingsfactor van $∆ A B C$ naar $∆ A E D$ is $0,4$ . Dus $E D = 0,4 \cdot B C = 0,4 \cdot 9 = 3,6$ .

Opgave 3

$∆ A B C \sim ∆ D E C$ omdat $∠ A = ∠ E D C$ (gegeven) en $∠ C = ∠ C$ (gemeenschappelijke hoek).

Zijde $E C$ .

Maak eventueel een verhoudingstabel. De vergrotingsfactor van $∆ A B C$ naar $∆ D E C$ is $0,6$ . Neem $E C = x$ , dan is $x = 0,6 (x + 3)$ , dus $E C = x = 4,5$ .

Opgave 4

$∆ A B C \sim ∆ B D C \sim ∆ A D B$ .

Met de stelling van Pythagoras kun je berekenen dat $A C = 26$ .

Gebruik bijvoorbeeld $∆ A B C \sim ∆ B D C$ en maak een verhoudingstabel van de overeenkomstige zijden. De vergrotingsfactor van $∆ A B C$ naar $∆ B D C$ is $\frac{10}{26}$ , dus $B D = \frac{10}{26} \cdot A B = \frac{10}{26} \cdot 24 = \frac{120}{13} \approx 9.23$ .

Opgave 5

De hoekensom van zo'n negenhoek is $7 \cdot 180 = 1260 °$ , dus elke hoek ervan is $140 °$ .

Begin met een zijde van $4$ cm en zet daarop aan beide uiteinden een hoek van $108 °$ . Pas op de benen van die hoek $4$ cm af en zet op de uiteinden weer opnieuw hoeken van $108 °$ af.

Begin met een zijde van $4$ cm en zet daarop aan beide uiteinden een hoek van $140 °$ . Pas op de benen van die hoek $4$ cm af en zet op de uiteinden weer opnieuw hoeken van $140 °$ af, enz.

Opgave 6

$∆ A B D \sim ∆ B C D$ en de lengtevergrotingsfactor van $∆ A B D$ naar $∆ B C D$ is $\frac{10}{24} = \frac{5}{12}$ .

De bijbehorende oppervlaktevergrotingsfactor is ${(\frac{5}{12})}^{2} = \frac{25}{144}$ .

Opgave 7

Hoewel de overeenkomstige hoeken gelijk zijn, hoeven de overeenkomstige zijden nog niet in een verhoudingstabel te passen.

Omdat je nu gelijkvormige driehoeken krijgt. Voor gelijkvormigheid van driehoeken is het immers genoeg dat de overeenkomstige hoeken gelijk zijn.

Teken (in gedachten) de lijn evenwijdig $A C$ en door $F$ . Het snijpunt met $A D$ noem je bijvoorbeeld $P$ en dat met $B E$ is $Q$ : $P Q = A B$ .

Nu is $∆ P D F \sim ∆ Q E F$ met vergrotingsfactor $\frac{3}{15}$ . Dus $2 = \frac{3}{15} (P Q + 2)$ zodat $P Q = 8$ en dus ook $A B = 8$ .

Opgave 8

Met de stelling van Pythagoras vind je $B E = 100$ .
Met behulp van gelijkvormigheid vind je $B H = \frac{40}{60} \cdot 100 = \frac{200}{3}$ .

Ga na, dat $E D = 110 - 80 = 30$ en $A F = 40$ en $F D = 20$ .
Met de stelling van Pythagoras vind je $A E = \sqrt{4500} = 30 \sqrt{5}$ .
Met behulp van gelijkvormigheid vind je $A G = \frac{40}{60} \cdot 30 \sqrt{5} = 80 \sqrt{5}$ .

Opgave 9

$\frac{10}{0,60} \cdot 0,30 + 1,65 = 6,65$ , dus ongeveer $6,7$ m.

Opgave 10

Uit $∆ A B C \sim ∆ B D C$ want $∠ A = ∠ D B C$ en $∠ C = ∠ C$ .

Uit $∆ A B C \sim ∆ B D C$ volgt $B D = \frac{5}{6} \cdot 10 = \frac{25}{3}$ .

Opgave 11

$∆ A B D \sim ∆ C A D$ . Stel $A D = h$ , dan volgt uit de verhoudingstabel $\frac{h}{3} = \frac{8}{h}$ en dus $h^{2} = 24$ .

Dit geeft $h = \sqrt{24}$ .

Opgave 12

De regelmatige zeshoek bestaat uit zes gelijkzijdige driehoeken met zijden van $8$ cm en een hoogte van $4 \sqrt{3}$ cm (gebruik de stelling van Pythagoras).
De oppervlakte van zo'n driehoek is $\frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 4 \sqrt{3} = 16 \sqrt{3}$ .
De oppervlakte van de regelmatige zeshoek is daarom $6 \cdot 16 \sqrt{3} = 96 \sqrt{3}$ .

Opgave 13

Het vloertje is gelijkvormig met het grondvlak van de piramide met een lengtevergrotingsfactor van $\frac{6}{8} = \frac{3}{4}$ . De bijbehorende oppervlaktevergrotingsfactor is ${(\frac{3}{4})}^{2} = \frac{9}{16}$ en dus is de oppervlakte van het houten vloertje $\frac{9}{16} \cdot 3^{2} = \frac{81}{16} = 5,0625$ m² en dat is ongeveer $506$ dm².

Opgave 14Hoogte meten met de Jacobsstaf

Hoogte meten met de Jacobsstaf

Doen.

$\frac{100}{0,65} \cdot 0,30 + 1,70 \approx 47,9$ m.

Opgave 15Practicum Jacobsstaf

Practicum Jacobsstaf

Doen.

Eigen antwoord.

verder | terug