Goniometrie

Goniometrie > Sinus en cosinus

123456Sinus en cosinus

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1

De begane grond is de hoofdrichting. Daarop start het vliegtuig, bijvoorbeeld in punt $A$ . Na $3000$ m heeft het vector $\vec{A V}$ afgelegd. Als $B$ het punt op de begane grond recht onder het vliegtuig is, dan wil je weten hoe lang $B V$ is. Dat is de zijwaartse component van vector $\vec{A V}$ . De lengte van die component is $3000 \cdot 0,358 \approx 1075$ m (gebruik de applet) en dat is de hoogte van de onderkant van het vliegtuig.

Bij een vlucht onder $20,5 °$ is de hoogte $3000 \cdot 0,350 \approx 1051$ m.
Bij een vlucht onder $21,4 °$ is de hoogte $3000 \cdot 0,365 \approx 1095$ m.
Dat is een verschil van maar liefst $44$ m!

Dat zou in de vliegerij best kunnen. Je vliegt behoorlijk snel en als je door afronden opeens meer dan $20$ m hoger zit dan je hebt berekend, mag je hopen dat er geen vliegtuigen in de buurt rondvliegen.

Opgave 1

De sinus, want het gaat om de zijwaartse component, de begane grond is de hoofdrichting.

$3000 \cdot \sin (21 °) \approx 1075,1$ m.

Gebruik je rekenmachine of de applet in het Practicum.

Opgave 2

Maak eventueel een figuur. Het noorden is de centrale richting.

$15 \cdot \cos (63) \approx 6,810$ km noordelijker en $15 \cdot \sin (63) \approx 13,365$ km oostelijker.

$20 \cdot \cos (150) \approx -17,321$ km noordelijker (dus $17,321$ km zuidelijker) en $20 \cdot \sin (150) \approx 10$ km oostelijker.

Opgave 3

Omdat de hoek tussen $A B$ en $A C$ gegeven is en je altijd de hoek van een vector ten opzichte van de centrale richting gebruikt om de componenten mee te berekenen.

De zijwaartse component.

De lengte van $B C$ is $10 \cdot \sin (21) \approx 3,58$ .

Gebruik je rekenmachine of de applet in het Practicum.

De lengte van $B C$ is $15 \cdot \sin (21) \approx 5,38$ .

Dat is inderdaad $1,5$ keer zo groot.

Opgave 4

Doen.

Er wordt cosinus gebruikt voor het berekenen van $\vec{A B}$ omdat dit de centrale component is in dit geval.

$\vec{A B}$ is $14 \cdot \cos (100) \approx -2,4$ en $\vec{B C}$ is $14 \cdot \sin (100) \approx 13,8$ .

Hij wijst tegen de centrale richting in.

Bij hoeken tussen $180 °$ en $270 °$ in.

Opgave 5

De centrale component is negatief, want tegen de centrale richting in.

De centrale component is $10 \cdot \cos (134) \approx - 6,947$ en $\vec{B C}$ is $10 \cdot \sin (134) \approx 7,193$ .

Ja dat geldt ook voor de componenten, want de rechthoekige driehoeken waarvan de componenten de rechthoekszijden zijn, zijn gelijkvormig. De hoeken veranderen immers niet.

Opgave 6

Er wordt cosinus gebruikt voor het berekenen van $A B$ omdat dit hier de centrale component is.

Nu is:

$\vec{A B}$ is $15 \cdot \sin (40) \approx 9,64$
$\vec{B C}$ is $15 \cdot \cos (40) \approx 11,49$

Opgave 7

Kies $K L$ als centrale richting. Dan is:

de lengte van $\vec{K L}$ is $21 \cdot \cos (32) \approx 17,8$
de lengte van $\vec{L M}$ is $21 \cdot \sin (32) \approx 11,1$

Opgave 8

Maak een tekening zoals deze. Dan is het hoogteverschil $340 \cdot \sin (60) \approx 294,4$ m.

Opgave 9

Er wordt sinus gebruikt voor het berekenen van $A C$ omdat dit hier de zijwaartse component is.

Nu is:

$A B = A C \cdot \cos (40)$

Hieruit volgt $A C = \frac{10}{\cos (40)} \approx 13,1$ cm.

$A B \approx 13,1 \cdot \cos (50) \approx 8,4$

(Dit kan ook met de stelling van Pythagoras. Rond niet vroegtijdig af, dus reken met meer decimalen dan in $13,1$ !)

Opgave 10

Kies $K L$ als centrale richting. Dan is:

$K L = K M \cdot \cos (32)$ en dus $21 = K M \cdot \cos (32)$ zodat $K M = \frac{21}{\cos (32)} \approx 24,8$ cm.
$L M = K M \cdot \sin (32) \approx 24,8 \cdot \sin (32) \approx 13,1$

Opgave 11

Eerste figuur (linksboven):

de centrale component is $31 \cdot \cos (24) \approx 28,3$
de zijwaartse component is $31 \cdot \sin (24) \approx 12,6$

Tweede figuur (linksonder):

de centrale component is $16 \cdot \cos (148) \approx - 13,6$
de zijwaartse component is $16 \cdot \sin (148) \approx 8,5$

Derde figuur (rechtsmidden):

de centrale component is $12 \cdot \cos (130) \approx - 7,7$
de zijwaartse component is $12 \cdot \sin (130) \approx 9,2$

Vierde figuur (uiterst rechts):

de centrale component is $25 \cdot \cos (212) \approx - 21,2$
de zijwaartse component is $25 \cdot \sin (212) \approx 13,2$

Opgave 12

Kies $P Q$ als centrale richting. Dan is:

$P Q = 12 \cdot \cos (31) \approx 10,3$
$P R = 12 \cdot \sin (31) \approx 6,2$

Opgave 13

Kies $R Q$ als centrale richting. Dan is:

$R Q = P R \cdot \cos (55)$ en dus $8 = P R \cdot \cos (55)$ zodat $P R = \frac{8}{\cos (55)} \approx 13,9$ cm.

Bekijk eventueel eerst Voorbeeld 3.

Kies $R Q$ als centrale richting. Dan is:

$R Q = P R \cdot \cos (55)$ en dus $8 = P R \cdot \cos (55)$ zodat $P R = \frac{8}{\cos (55)} \approx 13,9$ cm.

$P Q = \sqrt{{(13,9...)}^{2} - 8^{2}} \approx 11,4$

$P Q = 13,9... \cdot \cos (55) \approx 11,4$

Opgave 14

Ongeveer $200 \cdot \sin (17) \approx 58,5$ m.

Opgave 15

$150 = Q E \cdot \cos (30,4)$ geeft $Q E \approx 173,9$ m.
Dan is de breedte van de rivier $P E \approx 173,9 \cdot \sin (30,4) \approx 88$ m.

Opgave 16Onbemand vliegtuigje

Onbemand vliegtuigje

Een schets is voldoende.

Het onbemande vliegtuigje is $5 \cdot \cos (40) + 3 \cdot \cos (120) \approx -0,892$ km ten noorden van de vliegbasis en $5 \cdot \sin (40) + 3 \cdot \sin (120) \approx 5,467$ km ten oosten van de vliegbasis terecht is gekomen.

Dat kun je met de stelling van Pythagoras uitrekenen. Je vindt ongeveer $5,539$ km.

Opgave 17

Voor het berekenen van sinus en cosinus gebruik je de applet in het Practicum. De antwoorden staan in de figuur.

Opgave 18

Ongeveer $7,88$ m.

verder | terug