Goniometrie > Hoeken berekenen
123456Hoeken berekenen

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1

De begane grond is de hoofdrichting. Daarop start het vliegtuig, bijvoorbeeld in punt A. Na 3000 m heeft het vector A V ⟹; afgelegd. Als B het punt op de begane grond recht onder het vliegtuig is, dan is B V = 1000 m. Dat is de zijwaartse component van vector A V ⟹; . De lengte van die component is ook 3000 sin ( α ) als α de gevraagde hoek is.
Dus is 3000 sin ( α ) = 1000 , zodat sin ( α ) = 0,333 . Met de applet in Practicum vind je α 19 °.

Opgave 1
a

De sinus, want de zijwaartse component is gegeven, de begane grond is de hoofdrichting.

b

Doen, ga na dat je dezelfde hoek vindt.

Opgave 2

10 sin ( A ) = 4 geeft sin ( A ) = 0,4 en dus A 23,6 ° .

Om dit met behulp van cosinus te kunnen doen bereken je met de stelling van Pythagoras A B = 84 .
Dan volgt uit 10 cos ( A ) = 84 dezelfde waarde voor de grootte van A .

Opgave 3
a

De centrale component van deze hoek is negatief, want tegen de hoofdrichting in. Je vindt voor de hoek α 114 ° .

b

15 sin ( β ) = 10 geeft β 138 ° .
Opmerking: als je dit met de applet in het Practicum doet, vind je meteen de goede hoek. Je rekenmachine weet niet dat het om een stompe hoek gaat en geeft daarom een hoek van 42 °. Je moet dan zelf bedenken dat de goede hoek β 180 ° - 42 ° = 138 ° is.

Opgave 4
a

Doen.

b

B C = 13 2 - 12 2 = 5 en dus is 13 cos ( C ) = 5 . Hieruit volgt cos ( C ) = 5 13 en dat levert dezelfde grootte van de hoek op als in het voorbeeld.

c

Je weet dat A = 90 ° - C .

Opgave 5

Uit 13 cos ( B ) = 12 volgt cos ( B ) = 12 13 en B 23 ° .

Uit 5 sin ( D ) = 3 volgt sin ( D ) = 3 5 en D 37 ° .

Uit 10 cos ( I ) = 7 volgt cos ( I ) = 7 10 en I 46 ° .

Opgave 6

Bereken eerst met behulp van de stelling van Pythagoras dat B C = 5 . Nu kun je in de rechthoekige driehoek B D C rekenen met sinus of cosinus om D C B te berekenen.

Uit 5 cos ( D C B ) = 4 volgt cos ( D C B ) = 0,8 en D C B 37 ° .

En dan is B A D = 90 ° - D C B 53 ° .

Opgave 7
a

Doen.

b

7 sin ( β ) = 3 geeft β 25,4 ° en dat klopt met α 64,6 want deze twee waarden samen zijn 90 °.

c

Dat is om de hoogte van die mast nauwkeuriger te kunnen berekenen, een afwijking van maar een halve graad kan gerekend over 7 m al een aardig verschil betekenen.

d

Doen, je vindt tot op twee decimalen nauwkeurig (dus tot op cm nauwkeurig) dezelfde waarde 6,32 m.

Opgave 8

Als je de draadlengte d noemt, dan moet d sin ( 50 ) = 10 . Hieruit volgt d = 10 sin ( 50 ) 13,05 m.

Opgave 9

Maak een schets van de situatie, bedenk dat de hoek tussen de vliegrichting en de windrichting stomp is.

Als je de gevraagde hoek α noemt, dan moet 60 cos ( α ) = - 15 . Hieruit volgt cos ( α ) = - 0,25 en α 104,5 ° .

Opgave 10

Eerste figuur (linksboven):
31 cos ( α ) = 22 geeft cos ( α ) = 22 31 en dus α 45 ° .

Tweede figuur (linksboven):
16 sin ( α ) = 7 geeft sin ( α ) = 7 16 en dus α 154 ° .

Derde figuur (rechtsmidden):
12 cos ( α ) = - 8 geeft cos ( α ) = - 8 12 en dus α 132 ° .

Vierde figuur (uiterst rechts):
25 cos ( α ) = - 18 geeft cos ( α ) = - 18 25 en dus α 224 ° .

Opgave 11

Noem de gevraagde hoek α, maak eventueel een schets.

200 sin ( α ) = 68 geeft sin ( α ) = 68 200 en dus α 20 ° .

Opgave 12

Noem de gevraagde hoek α, maak eventueel een schets. Na het eerste deel van de tocht is hij 400 sin ( 5 ) 34,86 m gestegen. Hij moet dus nog 15,14 m stijgen.

200 sin ( α ) = 15,14 geeft α 4,3 ° .

Opgave 13

De gevraagde breedte is A C .

A C sin ( 32 ) = 4 geeft A C = 4 sin ( 32 ) 7,55 m.

Opgave 14

Per trede kun je een rechthoekige driehoek tekenen waarvan de hypothenusa ongeveer 33,5 cm is (stelling van Pythagoras).
Noem de gevraagde hoek α.

33,5 sin ( α ) = 15 geeft α 26,6 ° .

Opgave 15

Teken een hoogtelijn in deze driehoek en bereken de lengte ervan: 10 cm (stelling van Pythagoras).
Noem een basishoeken α.

12 cos ( α ) = 5 geeft α 65,4 ° .

De hoeken zijn daarom in graden nauwkeurig: 65 ° , 65 ° en 50 ° .

Opgave 16Hoeken van 45 graden
Hoeken van 45 graden
a

De twee rechthoekszijden zijn gelijk, dus allebei a cm.
De hypothenusa bereken je dan met de stelling van Pythagoras. Laat zien dat die a 2 wordt.

b

Uit a 2 cos ( 45 ) = a volgt cos ( 45 ° ) = a a 2 = 1 2 = 1 2 2 .

Uit a 2 sin ( 45 ) = a volgt sin ( 45 ° ) = a a 2 = 1 2 = 1 2 2 .

Opgave 17Hoeken van 30 graden en 60 graden
Hoeken van 30 graden en 60 graden
a

De kortste rechthoekszijde is a cm. De hypothenusa is dan twee keer zo lang, dus 2 a cm.
De langste rechthoekszijde bereken je dan met de stelling van Pythagoras. Laat zien dat die a 3 wordt.

b

Uit 2 a cos ( 60 ) = a volgt cos ( 60 ° ) = a 2 a = 1 2 .

Uit 2 a 2 sin ( 60 ) = a 3 volgt sin ( 60 ° ) = a 3 2 a = 1 2 3 .

c

Uit 2 a 2 cos ( 30 ) = a 3 volgt cos ( 30 ° ) = a 3 2 a = 1 2 3 .

Uit 2 a cos ( 30 ) = a volgt sin ( 30 ° ) = a 2 a = 1 2 .

verder | terug