Goniometrie > Rekenen in driehoeken
123456Rekenen in driehoeken

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1
a

Vat hypothenusa A C op als vector A C ⟹; met centrale richting A B ⟹; . Dan is a = b sin ( α ) , c = b cos ( α ) en tan ( α ) = a c .

b

sin ( γ ) = c b , cos ( γ ) = a b en tan ( γ ) = c a .

c

Als je nu B C opvat als vector B C ⟹; met centrale richting B A ⟹; , dan is de zijwaartse component b = b sin ( β ) en de centrale component 0 = b cos ( β ) , terwijl tan ( β ) = 1 0 . Dus sin ( 90 ° ) = 1 , cos ( 90 ° ) = 0 en tan ( 90 ° ) bestaat niet.

Opgave 1
a

A B is de aanliggende rechthoekszijde en B C is de overstaande rechthoekszijde.

b

sin ( α ) = 5 13 , cos ( α ) = 12 13 en tan ( α ) = 5 12 .

c

Je vindt drie keer α 22,6 °.

d

Dat is zijde B C . Dus is cos ( γ ) = 5 13 en γ 77,4 ° .

Opgave 2
a

Omdat A gegeven is en je de overstaande rechthoekszijde van A wilt berekenen, terwijl de aanliggende rechthoekszijde gegeven is.

b

tan ( 41 ) = B C 12 , dus B C = 12 tan ( 41 ) 10,4 .

c

tan ( 49 ) = 12 B C , dus B C = 12 / tan ( 49 ) 10,4 .

Opgave 3
a

Zijde A C is de schuine zijde van de driehoek en zijde A B is de aanliggende rechthoekszijde van A . Je werkt daarom met de cosinus van deze hoek.
Je ziet dat cos ( 60 ° ) = 5 A B . Dus A B = 5 / cos ( 60 ° ) 10 .

b

De gegeven rechthoekige driehoek is een bijzondere driehoek, namelijk de helft van een gelijkzijdige driehoek. En daarvan is de langste zijde (de hypothenusa) twee keer zo groot dan de kortste zijde A B .

c

Bijvoorbeeld B C = 5 tan ( 60 ) 8,66 en B C = 10 2 - 5 2 = 75 = 5 3 8,66 . Maar je kunt dit ook meteen afleiden uit de twee tekendriehoeken die je eerder hebt gezien.

Opgave 4

tan ( 40 ) = K L 7,1 geeft K L = 7.1 tan ( 40 ) 6,0 cm.

Opgave 5

cos ( P ) = 5 8 geeft P 51 ° .

Opgave 6
a

Omdat de andere hoogtelijnen altijd of een gegeven zijde, of de gegeven hoek in twee onbekende stukken verdelen. Bovendien loopt C D netjes verticaal, zodat je de rechthoekige driehoeken die nu ontstaan goed kunt zien.

b

A D = 8 cos ( 55 ) 4,59 en C D = 8 sin ( 55 ) 6,55 .
Je neemt twee decimalen omdat de omtrek en de oppervlakte in één decimaal nauwkeurig moeten worden gegeven.

c

Doen.

d

De omtrek is A D + D B + B C + A C 41,1 cm.

De oppervlakte is 1 2 A B C D 59,2 cm2.

Opgave 7

Teken de driehoek en zet er (om goniometrie te kunnen gebruiken) de hoogtelijn M N in.

K N = 16 cos ( 34 ) 13,26 en M N = 16 sin ( 34 ) 8,95 .
L N = 10 2 - 8,95 2 4,47 .

De omtrek van de driehoek is ongeveer 43,7 cm.

Verder is cos ( L ) 4,47 10 zodat L 63 ° .

Opgave 8

Teken de driehoek en zet er de hoogtelijn C D in. Deze hoogtelijn ligt buiten de driehoek!

D C B = 90 ° - 23 ° - 46 ° = 21 ° .
Uit tan ( 21 ) = B D 5 volgt B D = 5 tan ( 21 ) 1,92 .
Uit tan ( 67 ) = A D 5 volgt A D = 5 tan ( 67 ) 11,78 .

De oppervlakte van de driehoek is 1 2 A B C D 1 2 ( 11,78 - 1,92 ) 5 24,7 cm2.

Opgave 9

B C = 5 tan ( 10 ) 0,9 .
A B 5 2 + 0,88 2 5,1

D F = 12 cos ( 72 ) 3,7 .
F E = 12 sin ( 72 ) 11,4 .

H I = 10 / tan ( 37 ) ~ 13,3 .
H G 10 2 + 13,27 2 16,6 .

Hoogtelijn M N tekenen.
M N = 14 sin ( 27 ) 6,36 en L N = 14 cos ( 27 ) 12,47 .
K N 7 2 - 6,36 2 2,56 , dus K L 12,47 + 2,56 13,0 .

Opgave 10

tan ( B ) = 3 7 geeft B 23 ° . En dus is C 67 ° .

cos ( E ) = 5 17 geeft E 73 ° . En dus is D 17 ° .

K I = 3 (stelling van Pythagoras).
cos ( H ) = 4 5 geeft B 37 ° .
sin ( G ) = 6 7 geeft G 59 ° .
I 180 ° - 59 ° - 37 ° = 84 ° .

Opgave 11

Noem de hellingshoek α.

sin ( α ) = 525 1400 geeft α 22 ° .

Opgave 12

Teken de rechthoek en zet de gegevens er in. Maak er een rechthoekige driehoek in.

De breedte van de rechthoek is 16 sin ( 20 ° ) 5,47 .
De lengte van de rechthoek is 16 cos ( 20 ° ) 15,03 .

De oppervlakte is ongeveer 82,2 cm2.

Opgave 13

Teken de situatie en zet de gegevens er in. Maak een rechthoekige driehoek.

Als de gevraagde hoek is, dan is en daaruit volgt .

Opgave 14
a

Teken de situatie en zet de gegevens er in.

De hoogte van het driehoekje dat het zijaanzicht van de "hoofdsteun" van de iPad voorstelt bereken je met de stelling van Pythagoras: h = 4,3 2 - 2,8 2 3,26 .
Voor de gevraagde hellingshoek α geldt: sin ( α ) = 3,26 18,5 , zodat α 10 ° .

b

Zie figuur.

De gevraagde hoek is twee keer de grootte van β en sin ( β ) = 2,8 4,3 . Dus is de gevraagde hoek ongeveer 81 °.

De bovenrand van de tablet zit dan 18,5 sin ( 81,3 ° ) 18,3 cm boven tafel.

Opgave 15Regelmatige vijfhoek
Regelmatige vijfhoek
a

5

b

Eén tophoek van 360 ° / 5 = 72 ° en twee basishoeken van 54 °.

c

De hoogte is cos ( 36 ° ) en de basis is 2 sin ( 36 ° ) .

De oppervlakte is daarom sin ( 36 ° ) cos ( 36 ° ) 0,475 .

d

5 sin ( 36 ° ) cos ( 36 ° ) 2,378

Opgave 16Regelmatige zeshoek, achthoek, ...
Regelmatige zeshoek, achthoek, ...
a

6 sin ( 30 ° ) cos ( 30 ° ) 2,598

b

8 sin ( 22,5 ° ) cos ( 22,5 ° ) 2,828

c

10 sin ( 18 ° ) cos ( 18 ° ) 2,939

d

100 sin ( 1,8 ° ) cos ( 1,8 ° ) 3,140

d

Het getal π.

verder | terug