Goniometrie > Totaalbeeld
123456Totaalbeeld

Antwoorden van de opgaven

Opgave 1

Zie figuur.

Van de bovenste windvector is de component in de fietsrichting 16 cos ( 31 ° ) 13,7 m/s en de component daar loodrecht op is 16 sin ( 31 ° ) 8,2 m/s.

Van de onderste windvector is de component in de fietsrichting 12 cos ( 128 ° ) - 7,4 m/s en de component daar loodrecht op is 12 sin ( 128 ° ) 9,5 m/s.

Opgave 2

Je kunt twee verschillende situaties tekenen. Teken ze beide.

Omdat de component van de windvector in de fietsrichting - 6 m/s bedraagt, kun je de gevraagde hoek berekenen vanuit 16 cos ( α ) - 6 .

Daarbij passen de hoeken α 112 ° en α 248 ° .

Opgave 3

A C = 15 tan ( 20 ) 5,5 .
Uit 15 = A B cos ( 20 ) volgt A B 16,0 .

Hoogtelijn F P tekenen.
F P = 15 sin ( 20 ) 5,13 en D P = 15 cos ( 20 ) 15,96 . P E 21 - 15,96 = 5,04 .
E F 5,13 2 + 5,04 2 7,2 .

G H = 25 sin ( 52 ) 19,7 .
I H = 25 cos ( 52 ) 15,4 .

K M = 10 / sin ( 71 ) 10,6 .
K L = 10 / tan ( 71 ) 3,4 .

Opgave 4

Uit tan ( B ) = 5 13 volgt B 21 ° .

Hoogtelijn F P tekenen.
F P = 16 sin ( 35 ) 9,18 en D P = 16 cos ( 35 ) 13,11 . P E 21 - 13,11 = 7,89 .
Uit tan ( E ) 9,18 7,89 volgt E 49 ° .
D F P = 90 ° - 35 ° = 55 ° en P F E = 90 ° - 49 ° = 41 ° geeft F 55 ° + 41 ° = 96 °

Uit sin ( I ) = 12 20 volgt I 37 ° .

Opgave 5
a

tan ( α ) 0,15 geeft α 8,5 ° .

b

2,3 sin ( 8,5 ) 0,340 dus ongeveer 340 m.

Opgave 6
a

Maak een schets van de vlieger.
Noem het snijpunt van de diagonalen en punt .
Dan is .
En .
De oppervlakte is cm2.

b

De omtrek is cm.

Opgave 7
a

De gevraagde hoek is S T P = α . Deze hoek zit in een rechthoekige driehoek met een hypothenusa van 150 cm.

cos ( α ) = 50 150 geeft α 70,5 ° 71 ° .

b

Teken hoogtelijn P Q van Δ S P T .
P Q = 60 sin ( 70,5 ) 56,6 cm en T Q = 60 cos ( 70,5 ) 20,0 cm. En dan is Q S 75 2 - 56,6 2 49,2 .

Dit betekent dat punt S ongeveer 250 - 20,0 - 49,2 181 cm boven de grond zit.

Opgave 8

Maak een schets van de situatie: punt S als startpunt, punt A daar 8 km boven (eerste koerscorrectie), punt B als punt van het afstoten van het deel dat terugkeert op Aarde met punt D op Aarde daar recht onder, tenslotte punt C als plek van neerstorten van het afgestoten deel. Je wilt de lengte van S C berekenen.

S D = 5 sin ( 40 ) 3,214 en B D = 8 + 5 cos ( 40 ) 11,830 .
D C 11,830 tan ( 20 ) 4,306 .
Het afgestoten deel komt ongeveer 3,214 + 4,306 7,62 km van het startpunt in zee.

Opgave 9

De component van de windvector in haar fietsrichting is 12 cos ( 220 ) -9,2 km/uur.
Ze zal dus nog 8,8 km/uur vooruit gaan.

Opgave 10

Teken lijnstuk B P loodrecht op D C .
A D = B P = 10 sin ( 50 ) 7,7 en A B = D P = 10 - 10 cos ( 50 ) 3.6 .

Teken hoogtelijn F Q .
F Q = 10 sin ( 30 ) = 5 en dus is sin ( G ) = 5 12 zodat G 25 ° .

Teken lijnstuk K M . Het snijpunt van K M en N L is S .
sin ( N M S ) = 4 10 zodat M = 2 N M S 47 ° .

Opgave 11
a

Teken hoogtelijn C D .

C D = 12 sin ( 40 ) 7,713 , dus de oppervlakte is ongeveer 1 2 20 7,713 77,1 .

b

Nu is 1 2 20 C D = 80 , zodat C D = 8 .

En dan is sin ( α ) = 8 12 zodat α 41,8 ° .

Opgave 12

Noem die hoogte h, dan is 100 = h - 1,70 tan ( 10 ) - h - 1,70 tan ( 15 ) . Hieruit volgt h 53,3 .

Opgave 13

Noem de lengte l en de breedte b, dan is l = 10 - b .
Verder is tan ( 20 ) = b l = b 10 - b . Hieruit volgt b 2,67 en dus is l 7,33 . De oppervlakte is ongeveer 19,6.

Opgave 14
a

In de figuur is A B = B C = C D = D E = 3 en E F = F G = G H = H A = 2,5 . Verder zijn er twee hoeken gegeven.

b

H I = 2,5 sin ( 65 ) 2,266
A I = 2,5 cos ( 65 ) 1,057
Als K het snijpunt is van H F en G C , dan is H K 3 - 1,057 = 1,943 .
G K 2,5 2 - 1,943 2 1,57 .
De gevraagde hoogte is C G 3 + 2,27 + 1,57 = 6,84 m.

c

De hellingshoek is F H G en er cos ( F H G ) 1,943 2,5 zodat F H G 39 ° , dus versteviging is niet nodig.

Opgave 15
a

Cirkel met middelpunt M en straal 1 tekenen en dan bij M vijf gelijke hoeken van 360 / 5 = 72 ° tekenen. De snijpunten van de benen van die hoeken met de cirkel moet je nog met elkaar verbinden.

b

Werk in Δ M A B en teken daarin hoogtelijn M P.
Dan is M P = cos ( 36 ) en A P = sin ( 36 ). De zijden van de vijfhoek hebben een lengte van 2 sin ( 36 ) 1,176 m, dus 1176 mm.

c

De oppervlakte is 5 1 cos ( 36 ) 2,3776 m2.

d

Werk in Δ M A D. Daarin is A D = 2 sin ( 72 ). Het kruis bestaat uit vijf diagonalen van de vijfhoek en heeft dus een lengte van 5 2 sin ( 72 ) 9,511 m.

e

C F = 2 sin ( 36 ) cos ( 36 ) 0,951
D F = 2 sin ( 36 ) sin ( 36 ) 0,691
C D D = 180 ° - 2 36 ° = 108 °, dus F G D = 72 °.
F G = D F / tan ( 72 ) 0,225
De éne lengte is 2 F G 0,449 m en de andere is G C 0,951 - 0,225 = 0,726 m.

Opgave 16De sinusregel
De sinusregel
a

Doen. Je krijgt nu twee rechthoekige driehoeken waarin je de goniometrische verhoudingen kunt toepassen.

b

Je moet dan een andere hoogtelijn tekenen, bijvoorbeeld hoogtelijn B E . Dan is B E = c sin ( α ) en ook B E = a sin ( γ ) . Daar kun je de rest van de sinusregel uit afleiden.

c

5 sin ( 70 ) = b sin ( 50 ) geeft b = 5 sin ( 50 ) sin ( 70 ) 4,1 cm.

d

Teken de driehoek met passer en liniaal.

e

5 sin ( 70 ) = 4 sin ( β ) geeft sin ( β ) = 4 sin ( 70 ) 5 0,751 en dus β 49 ° .

Opgave 17De sinusregel toepassen
De sinusregel toepassen
a

Doen. Begin met A = 40 ° en pas dan A C = 6 cm af. Nu kun je C B = 4 cm omcirkelen met de passer. Die cirkel gaat op twee plaatsen door het andere been van A = 40 ° .

b

4 sin ( 40 ) = 6 sin ( β ) geeft sin ( β ) = 6 sin ( 40 ) 4 0,964 en dus β 75 ° of β = 180 ° - 75 ° = 105 ° .

c

Doen, werk met passer en liniaal.

d

Je kunt niet met de sinusregel de hoeken van een driehoek berekenen als er nog geen enkele bekend is, omdat hij uit drie breuken bestaat die dan alle drie onbekend zijn. In de cosinusregel komen zowel de drie zijden van de driehoek als één van de hoeken voor. Als de zijden gegeven zijn, kun je dus die éne hoek uitrekenen. Daarna bereken je met de sinusregel de overige hoeken.

verder | terug