Ruimtemeetkunde > Doorsneden
12345Doorsneden

Uitleg

Je ziet hiernaast de doorsnede A P G Q van een plat vlak met een kubus getekend. De kubus heeft ribben van 5 cm. P en Q zijn de middens van de ribben waarop ze liggen.

Als je naar de kubus kijkt loodrecht op diagonaalvlak `ACGE` (dus in richting B D ), zie je A, B, P en Q op één lijn liggen. En daarom weet je zeker dat ze in één vlak liggen. Je kunt het ook zo zien: de snijlijnen in twee overstaande evenwijdige grensvlakken van de kubus (bijvoorbeeld A P en Q C ) zijn evenwijdig en dus is A P G Q een plat vlak. Bedenk dat lijnen die in één vlak liggen elkaar altijd snijden of evenwijdig lopen. Lijnen die elkaar niet snijden èn niet evenwijdig lopen noem je "kruisende lijnen" . In een vlak kunnen nooit kruisende lijnen liggen! En daarom kan de "vierhoek" A P G H nooit een vierhoek in een plat vlak zijn: de lijnstukken A H en P G zijn niet evenwijdig en liggen dus op kruisende lijnen.

Als je A P G Q op ware grootte wilt zien moet je de kubus zo draaien dat je loodrecht op dat vlak kijkt. Je ziet dan dat A P G Q een ruit is met ribben van 5 2 + 2,5 2 = 31,25 cm en een diagonaal P Q van 50 cm. Je tekent hem zelf op ware grootte door eerst P Q te tekenen en dan de zijden vanuit P en Q om te cirkelen.

Opgave 1

Bekijk de kubussen in de Uitleg . Je ziet dat in de bovenste kubus een vlak A P G Q is getekend.

a

Teken het aanzicht van de bovenste kubus waarbij je kijkt in de richting van B D met het vlak A P G Q er in. Waaraan zie je dat A P G Q een plat vlak is?

b

Kun je van de onderste kubus een aanzicht tekenen waarbij de punten A, P, G en H op één lijn liggen?

c

Waarom zijn de zijden van A P G Q in twee overstaande vlakken van de kubus evenwijdig? En waarom zijn ze dus ook gelijk?

d

Teken de doorsnede A P G Q op ware grootte.

e

Bereken de lengte van diagonaal A G .

Opgave 2

In de Uitleg wordt gesproken over kruisende lijnen.

a

Waarom zijn de lijnen A H en P G kruisend?

b

Zijn de lijnen A P en H G kruisend, of snijdend? (Denk er om dat deze lijnen ook buiten de lijnstukken A P en H G doorlopen.)

c

Zijn de lijnen A P en E F kruisend, of snijdend?

Opgave 3

In kubus A B C D . E F G H met ribben van 6 cm is vierhoek K C G L een doorsnede van een plat vlak met de kubus. Punt K is het midden van ribbe A B .

a

Waarom is driehoek K C G geen complete doorsnede van een vlak met deze kubus?

b

Waarom moet punt L het midden van ribbe E F zijn?

c

Teken de doorsnede K C G L op ware grootte.

verder | terug